离散数学第一章部分习题.docx

1、离散数学第一章部分习题第一章习题& 判断下列语句是否为命题,若是命题请指出是简单命题还是复合命题.并将命题符号化,并讨论它们的真值.(1) 2是无理数.是命题,简单命题.p:2是无理数.真值:1(2) 5能被2整除. 是命题,简单命题.p:5能被2整除.真值:0(3) 现在在开会吗?不是命题.(4) x+50.不是命题.(5) 这朵花真好看呀! 不是命题. (6) 2是素数当且仅当三角形有3条边. 是命题,复合命题.p:2是素数.q:三角形有3条边.p q真值:1 (7) 雪是黑色的当且仅当太阳从东方升起. 是命题,复合命题.p:雪是黑色的.q:太阳从东方升起. p q真值:0 (8) 200

2、8年10月1日天气晴好. 是命题,简单命题.p:2008年10月1日天气晴好.真值唯一. (9) 太阳系以外的星球上有生物. 是命题,简单命题.p:太阳系以外的星球上有生物.真值唯一. (10) 小李在宿舍里. 是命题,简单命题.P:小李在宿舍里.真值唯一. (11) 全体起立! 不是命题. (12) 4是2的倍数或是3的倍数. 是命题,复合命题.p:4是2的倍数.q:4是3的倍数.pq真值:1 (13) 4是偶数且是奇数. 是命题,复合命题.P:4是偶数.q:4是奇数.pq真值:0 (14) 李明与王华是同学. 是命题,简单命题.p: 李明与王华是同学.真值唯一. (15) 蓝色和黄色可以调

3、配成绿色. 是命题,简单命题.p: 蓝色和黄色可以调配成绿色.真值:1 判断下列各命题的真值.(1)若 2+2=4,则 3+3=6.(2)若 2+2=4,则 3+36.(3)若 2+24,则 3+3=6.(4)若 2+24,则 3+36.(5)2+2=4当且仅当3+3=6.(6)2+2=4当且仅当3+36.(7)2+24当且仅当3+3=6.(8)2+24当且仅当3+36.答案: 设p:2+2=4,q:3+3=6,则p,q都是真命题.(1)pq,真值为1.(2)pq,真值为0.(3)pq,真值为1.(4)pq,真值为1.(5)p q,真值为1.(6)p q,真值为0.(7)p q,真值为0.(8

4、)p q,真值为1.14将下列命题符号化，并讨论其真值。 （1）如果今天是1号，则明天是2号。 p:今天是1号。 q:明天是2号。 符号化为：p q 真值为：1 （2）如果今天是1号，则明天是3号。 p:今天是1号。 q:明天是3号。 符号化为：p q 真值为：0将下列命题符号化。（1）2是偶数又是素数。（2）小王不但聪明而且用功。（3）虽然天气很冷，老王还是来了。（4）他一边吃饭，一边看电视。（5）如果天下雨，他就乘公共汽车上班。（6）只有天下雨，他才乘公共汽车上班。（7）除非天下雨，否则他不乘公共汽车上班。(意思为：如果他乘公共汽车上班，则天下雨或如果不是天下雨，那么他就不乘公共汽车上班)

5、（8）不经一事，不长一智。答案：（1）设p：2是偶数，q：2是素数。符号化为：pq （2）设p：小王聪明，q：小王用功。符号化为：pq （3）设p：天气很冷，q：老王来了。符号化为：pq （4）设p：他吃饭,q：他看电视。符号化为：pq （5）设p：天下雨，q：他乘公共汽车。符号化为：pq （6）设p：天下雨，q：他乘公共汽上班。符号化为：qp （7）设p：天下雨，q：他乘公共汽车上班。符号化为：qp或 q p（8）设p：经一事，q：长一智。符号化为： p q设p,q的真值为0；r,s的真值为1，求下列各命题公式的真值。（1） p(qr)（2） (pr)(ps)（3） (p(qr)(pq)(r

6、s)（4） (p(q(rp) (rs) 解：（1） p(qr)pqrqrp(qr) 00100(2) (pr)(ps) pqrsp rpps(p r)(ps)00110110(3)(p(qr)(pq)(rs)pqrsqrp(qr)pqrs(pq)(rs)(p(qr)(pq)(rs)0011100101 (4) (p(q(rp) (rs)pqrsprpq(rp)(p(q(rp)(rs)(p(q(rp) (rs)001111111117 判断下列命题公式的类型。（1）p (p q r) 解：pqrp qp q rp (p q r)0000010010110101110111111001111011

7、11110111111111由真值表可知，该命题公式为重言式。（2）（p p） p ppp p（p p） p01111001由真值知命题公式的类型是：重言式（3）(qp)ppqqp（qp）(qp)p00100010101010011100此命题公式是矛盾式。 (4)(pq) (qp) 解:其真值表为:pqpqpqqp(pq)(qp)0011111011011110010011100111由真值表观察,此命题为重言式. (5)( pq) (qp) 解:其真值表为:pqppqqp(pq)(qp)001011011111100111110100 由真值表观察,此命题为非重言式的可满足式.（7）（pp

8、）(qq) r)解：pqrppqqr(qq) r（pp）(qq) r)00010100001100000101010001110000100101001011000011010101111000结论：此命题为矛盾式(8) (p q)(pq).p q(p q)(pq)(pq)(p q)(pq)0 010110 101011 001011 11100由此可以知道，上式为非重言式的可满足式.(9) ()()() 解:p（）（）A0001111100111111010100110111111110001001101010111101000111111111该命题为永真式（10）（pq）r）s解：pqr

9、spq（pq）r（pq）r）s0000010000101100100100011011010010101011000110110011111111111111110110110110011001011001100101011010111111000101 结论：此命题为非重言式可满足式 用等值演算法证明下列等值式（1）（pq）(pq) p证明：（pq）(pq) （分配律）p(qq) （排中律）p1 (同一律)p （3） （p q） ( ( p q ) ( p q ) ) 证明： （p q） ( ( p q ) (q p ) ) ( ( p q ) ( q p ) ) ( p q ) ( q p

10、 ) ( p q ) ( q p ) ( ( p q ) q ) ( (p q ) p ) ( ( p q ) ( q q ) ) ( ( p p ) ( q p) ) ( p q ) 1) (1 ( q p) ) ( p q ) ( q p) ( p q ) ( p q ) 用等值演算法判断下列公式的类型。 （1） （p q） p）.解：（1） （p q） p） （ （p q） p） 蕴含等值式 （ （p q） p 德摩根律 p q p 双重否定律 p p q 交换律 0 q 矛盾律 0 零律即原式为矛盾式.(2) (p q) (q p) (p q)解：(p q) (q p) (p q) (

11、p q) (p q) (p q) (p q) (p q) (p q) (P q) (p q) (p q) (p q) 1即(p q) (q p) (p q)是重言式。 (3) ( pq)(q p). 解：( pq)(q p) (pq) ( q p) ( p q) ( q p) ( p( p q) ( q( q p) ( ( p p) q) ( q q) p ( p q) ( p q) ( p q)或 ( pq)(q p) (pq) ( q p) ( p q) ( q p) （ ( p q) q） p结合律 p q 吸收律结论：该公式为可满足式。(1)求下面命题公式的主析取范式、主合取范式、成真

12、赋值、成假赋值。 (p(qr)（pqr） (p(qr)(pqr) (p(qr) (pqr) (pq) (pr)(pqr) (pq)(rr) (pr)(qq) (pqr) (pqr)(pqr)(pqr) (pqr) (pqr) (pqr)(pqr) (pqr) (pqr) (pqr) (pqr)(pqr) (pqr) m0m1m2m7 (0,1,2,7)故 其主析取范式为 (p(qr)（pqr） (0,1,2,7)由最小项定义可知道原命题的成真赋值为(0,0,0) (0,1,0) (0,0,1) (1,1,1)成假赋值为(0,1,1)(1,0,0)(1,0,1)(1,1,0)由主析取范式和主合取

13、范式的关系即可知道 主合取范式为 (p(qr)（pqr） (3,4,5,6)（3） （p q） q r解： （p q） q r （ p q） q r p q q r 0既 （p q） q r是矛盾式。 （p q） q r的主合取范式为M0 M1 M2 M3 M4 M5 M6 M7， 成假赋值为：000，001，010，011，100，101，11113.通过求主析取范式判断下列各组命题公式是否等值。 （1）p(qr); q(pr). 解：p(qr) p (qr) p (q r) p q r (p (q q) (r r) (p p) q (r r) (p p) (q q) r) (p q r)

14、(p q r) (p q r) (p q r) (p q r) (p q r) (p q r) (0,1,2,3,4,5,7)q(pr) q (p r) p q r (0,1,2,3,4,5,7) 所以两式等值。（2） p q (pq) (p(qq)(q(pp) (pq)(pq) (qp) (pq) (pq) (pq) (pq) m1m0m2 (0,1,2)(pq)处原为(qp)，不是极小项 令A = p qB= (pq)C=(pq) (pq) (pq)D = pq则B*=(pq) pq=D且A B C所以D A* C*C* = (pq)(pq)(pq) （0，1，2） (3)所以! 某勘探队

15、有3名队员，有一天取得一块矿样，3人判断如下：甲说：这不是铁，也不是铜；乙说：这不是铁，是锡；丙说：这不是锡，是铁；经实验室鉴定后发现，其中一人两个判断都正确，一个人判对一半，另一个人全错了。根据以上情况判断矿样的种类。解：p：是铁 q：是铜 r：是锡 由题意可得共有6种情况：1)甲全对，乙对一半，丙全错：(pq) (pr)(pr) (rp) 2)甲全对，丙对一半，乙全错：(pq) （rp）(rp)）(pr) 3)乙全对，甲对一半，丙全错：（pr）(pq) (qp) (rp) 4)乙全对，丙对一半，甲全错：（pr）(rp) (rp) (pq) 5)丙全对，甲对一半，乙全错：(rp) ( (pq

16、) (pq) (pr) 6)丙全对，乙对一半，甲全错：(rp) (pr)(pr) (pq) 则 1 (pqprrp) (pqprrp) 00 0 (pqrppr)(pqrppr) 00 0 (prpqrp) （prqprp） (pqr) 0 pqr （prrppq）（prrppq） 00 0 (rppqpr) (rppqpr) 0(pqr) pqr (rpprpq) (rp prpq) 00 0所以 （pqr）（pqr）而这块矿石不可能既是铜又是锡，所以只能是判断下列推理是否正确，先将命题符号化，再写出前提和结论，让后进行判断。3 如果今天是1号，则明天是5号。今天是1号，所以明天是5号。 p

17、：今天是1号 q：明天是5号 解：前提：pq ,p 结论：q 推理的形式结构为：(pq)p)q 证明：pq 前提引入 p 前提引入 q 假言推理此命题是正确命题（2）判断下列推理是否正确，先将命题符号化再写出前提和结论，然后进行判断 如果今天是1号，则明天是5号。明天是5号，所以今天是1号。 解 设p: 今天是1号,q: 明天是5号,则该推理可以写为( (pq)q)p 前提 pq，q结论 p判断 证明 ( (pq)q)p ( (pq)q)p ( pq)qp ( pq) qp (pq) qp qp此式子为非重言式的可满足式，故不可以判断其正确性所以此推理不正确（3）如果今天是1号，则明天是5号，

18、明天不是5号，所以今天不是1号。解：p:今天1号.q:明天是5号.(pq)q)p前提:pq,q.结论: p.证明:pq 前提引入q 前提引入p 拒取式推理正确(1)前提：（pq）,qr,r结论：p.证明：qr 前提引入 r 前提引入 q 析取三段论 (pq) 前提引入 pq 置换 p 析取三段论即推理正确。（2）前提：p(qs),q, pr 结论：r s. 证明： pr 前提引入 r 附加前提引入 p 析取三段论 p(qs) 前提引入 qs 假言推理 q 前提引入 s 假言推理 由附加前提证明法可知，结论正确。 (3): 前提: pq. 结论: p(pq). 证明: pq. 前提引入 p 附加

19、前提引入 q 假言推理pq 合取引入规则 （4）前提：q p,q s,s t,t r. 结论：p q s r.证明：1) t r；前提引入2) t ；1)的化简3) s t；前提引入4)（s t） (t s); 3)的置换5) t s 4)的化简6) s； 2),5)的假言推理7) q s；前提引入8) (q s) (s q)；7)置换9) s q 8)的化简10) q；6),9)的假言推理11) q p；前提引入12) p；10),11)的假言推理13）r 1)的化简14) p q s r 6),10),12),13)的合取所以推理正确。118 如果他是理科学生，他必学好数学。如果他不是文科

20、学生，他必是理科学生。他没学好数学。所以它是文科学生。判断上面推理是否正确，并证明你的结论。解：p:他是理科学生 q:他学好数学 r:他是文科学生 前提：pq ，rp ，q结论：r p 前提引入 pq 前提引入 p 拒取式 rp 前提引入 r 拒取式 给定命题公式如下：p (q r)。 求命题公式的主析取范式、主合取范式、成真赋值、成假赋值。解： p (q r) ( p q q) (r r) (q r) (p p) p q r) p q r) (p q r) (p q r) (p q r) ( p q r) m7 m6 m5vm4 m6 m2 m7 m6 m5vm4 m2 2、4、5、6、7

21、p (q r) 0、1、3 既010、100、101、110、111是成真赋值， 000、001、011是成假赋值 给定命题公式如下： （p q） r。 求命题公式的主析取范式、主合取范式、成真赋值、成假赋值。解： （p q） r (p q) r (p q) (r r) (p p) (q q) r) (p q r) (p q r) (p q r) (p q r) ( p q r) ( p q r) m7 m6 m7 m5 m3 m1 m7 m6 m5 m3 m1 1、3、5、6、7 （p q） r 0、2、4 既001、011、101、110、111是成真赋值， 000、010、100是成假赋值。例题例 给定命题公式如下，用等值演算判断公式类型(1)(pq) (pq) 解： (pq) (pq) pq pq (pp) (qq) 11 1 所以为重言式（2）(pq) (pq)(qp) 解：(pq) (pq)(qp) (pq) (q) (pq)(pq)(pq)(pq) (pq)(pq) (pq) (pq) (pq) (qp) (pq) (qp) (pq) (qp) (pq) (pq) (qp) (qp) (1 (qp)(1(qp) 1 1 1 所以此式是重言式(红色字体部分可删去)（3） (pq)q解： (pq)q ( pq)q (p