离散数学第一章部分习题.docx
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离散数学第一章部分习题
第一章习题
&判断下列语句是否为命题,若是命题请指出是简单命题还是复合命题.并将命题符号化,并讨论它们的真值.
（1）√2是无理数.
是命题,简单命题.p:
√2是无理数.真值:
1
（2）5能被2整除.
是命题,简单命题.p:
5能被2整除.真值:
0
（3）现在在开会吗?
不是命题.
（4）x+5>0.
不是命题.
（5）这朵花真好看呀!
不是命题.
（6）2是素数当且仅当三角形有3条边.
是命题,复合命题.p:
2是素数.q:
三角形有3条边.pq真值:
1
（7）雪是黑色的当且仅当太阳从东方升起.
是命题,复合命题.p:
雪是黑色的.q:
太阳从东方升起.pq真值:
0
（8）2008年10月1日天气晴好.
是命题,简单命题.p:
2008年10月1日天气晴好.真值唯一.
（9）太阳系以外的星球上有生物.
是命题,简单命题.p:
太阳系以外的星球上有生物.真值唯一.
（10）小李在宿舍里.
是命题,简单命题.P:
小李在宿舍里.真值唯一.
（11）全体起立!
不是命题.
（12）4是2的倍数或是3的倍数.
是命题,复合命题.p:
4是2的倍数.q:
4是3的倍数.p∨q真值:
1
（13）4是偶数且是奇数.
是命题,复合命题.P:
4是偶数.q:
4是奇数.p∧q真值:
0
（14）李明与王华是同学.
是命题,简单命题.p:
李明与王华是同学.真值唯一.
（15）蓝色和黄色可以调配成绿色.
是命题,简单命题.p:
蓝色和黄色可以调配成绿色.真值:
1
判断下列各命题的真值.
（1）若2+2=4,则3+3=6.
（2）若2+2=4,则3+3≠6.
（3）若2+2≠4,则3+3=6.
（4）若2+2≠4,则3+3≠6.
（5）2+2=4当且仅当3+3=6.
（6）2+2=4当且仅当3+3≠6.
（7）2+2≠4当且仅当3+3=6.
（8）2+2≠4当且仅当3+3≠6.
答案:
设p:
2+2=4,q:
3+3=6,则p,q都是真命题.
（1）p→q,真值为1.
（2）p→┐q,真值为0.
（3）┐p→q,真值为1.
（4）┐p→┐q,真值为1.
（5）pq,真值为1.
（6）p┐q,真值为0.
（7）┐pq,真值为0.
（8）┐p┐q,真值为1.
1．4将下列命题符号化，并讨论其真值。
（1）如果今天是1号，则明天是2号。
p:
今天是1号。
q:
明天是2号。
符号化为：
pq
真值为：
1
（2）如果今天是1号，则明天是3号。
p:
今天是1号。
q:
明天是3号。
符号化为：
pq
真值为：
0
将下列命题符号化。
（1）2是偶数又是素数。
（2）小王不但聪明而且用功。
（3）虽然天气很冷，老王还是来了。
（4）他一边吃饭，一边看电视。
（5）如果天下雨，他就乘公共汽车上班。
（6）只有天下雨，他才乘公共汽车上班。
（7）除非天下雨，否则他不乘公共汽车上班。
（意思为：
如果他乘公共汽车上班，则天下雨或如果不是天下雨，那么他就不乘公共汽车上班）
（8）不经一事，不长一智。
答案：
（1）设p：
2是偶数，q：
2是素数。
符号化为：
p∧q
（2）设p：
小王聪明，q：
小王用功。
符号化为：
p∧q
（3）设p：
天气很冷，q：
老王来了。
符号化为：
p∧q
（4）设p：
他吃饭,q：
他看电视。
符号化为：
p∧q
（5）设p：
天下雨，q：
他乘公共汽车。
符号化为：
p→q
（6）设p：
天下雨，q：
他乘公共汽上班。
符号化为：
q→p
（7）设p：
天下雨，q：
他乘公共汽车上班。
符号化为：
q→p或q→p
（8）设p：
经一事，q：
长一智。
符号化为：
p→q
设p,q的真值为0；r,s的真值为1，求下列各命题公式的真值。
（1）p∨（q∧r）
（2）（p↔r）∧（¬p∨s）
（3）（p∧（q∨r））→（p∨q）∧（r∧s）
（4）¬（p∨（q→（r∧¬p））→（r∨¬s）
解：
（1）p∨（q∧r）
p
q
r
q∧r
p∨（q∧r）
0
0
1
0
0
（2）（p↔r）∧（¬p∨s）
p
q
r
s
pr
¬p
¬p∨s
（pr）∧（¬p∨s）
0
0
1
1
0
1
1
0
（3）（p∧（q∨r））→（p∨q）∧（r∧s）
p
q
r
s
q∨r
p∧（q∨r）
p∨q
r∧s
（p∨q）∧（r∧s）
（p∧（q∨r））→（p∨q）∧（r∧s）
0
0
1
1
1
0
0
1
0
1
（4）¬（p∨（q→（r∧¬p））→（r∨¬s）
p
q
r
s
¬p
r∧¬p
q→（r∧¬p）
（p∨（q→（r∧¬p））
（r∨¬s）
¬（p∨（q→（r∧¬p））→（r∨¬s）
0
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1．7判断下列命题公式的类型。
（1）p（pqr）
解：
p
q
r
pq
pqr
p（pqr）
0
0
0
0
0
1
0
0
1
0
1
1
0
1
0
1
1
1
0
1
1
1
1
1
1
0
0
1
1
1
1
0
1
1
1
1
1
1
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
由真值表可知，该命题公式为重言式。
（2）（p→┑p）→┑p
p
┑p
p→┑p
（p→┑p）→┑p
0
1
1
1
1
0
0
1
由真值知命题公式的类型是：
重言式
（3）┐（q→p）∧p
p
q
q→p
┐（q→p）
┐（q→p）∧p
0
0
1
0
0
0
1
0
1
0
1
0
1
0
0
1
1
1
0
0
此命题公式是矛盾式。
（4）（p→q）→（﹁q→﹁p）
解:
其真值表为:
p
q
﹁p
﹁q
p→q
﹁q→﹁p
（p→q）→（﹁q→﹁p）
0
0
1
1
1
1
1
0
1
1
0
1
1
1
1
0
0
1
0
0
1
1
1
0
0
1
1
1
由真值表观察,此命题为重言式.
（5）（﹁p→q）→（q→﹁p）
解:
其真值表为:
p
q
﹁p
﹁p→q
q→﹁p
（﹁p→q）→（q→﹁p）
0
0
1
0
1
1
0
1
1
1
1
1
1
0
0
1
1
1
1
1
0
1
0
0
由真值表观察,此命题为非重言式的可满足式.
（7）（p∨
p）→（（q∧
q）∧
r）
解：
p
q
r
p∨
p
q∧
q
r
（q∧
q）∧
r
（p∨
p）→（（q∧
q）∧
r）
0
0
0
1
0
1
0
0
0
0
1
1
0
0
0
0
0
1
0
1
0
1
0
0
0
1
1
1
0
0
0
0
1
0
0
1
0
1
0
0
1
0
1
1
0
0
0
0
1
1
0
1
0
1
0
1
1
1
1
0
0
0
结论：
此命题为矛盾式
（8）
（pq）→﹁（p∨q）.
pq
（pq）
（p∨q）
﹁（p∨q）
（pq）→﹁（p∨q）
00
1
0
1
1
01
0
1
0
1
10
0
1
0
1
11
1
1
0
0
由此可以知道，上式为非重言式的可满足式.
（9）（（ｐ→ｑ）∧（ｑ→ｒ））→（ｐ→ｒ）
解:
p
ｑ
ｒ
ｐ→ｑ
ｑ→ｒ
（ｐ→ｑ）∧（ｑ→ｒ）
ｐ→ｒ
A
0
0
0
1
1
1
1
1
0
0
1
1
1
1
1
1
0
1
0
1
0
0
1
1
0
1
1
1
1
1
1
1
1
0
0
0
1
0
0
1
1
0
1
0
1
0
1
1
1
1
0
1
0
0
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
该命题为永真式
（10）（（p∨q）→r）
s
解：
p
q
r
s
p∨q
（p∨q）→r
（p∨q）→r）
s
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
1
1
0
0
1
0
0
1
0
0
0
1
1
0
1
1
0
1
0
0
1
0
1
0
1
0
1
1
0
0
0
1
1
0
1
1
0
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
0
1
1
0
1
1
0
1
1
0
0
1
1
0
0
1
0
1
1
0
0
1
1
0
0
1
0
1
0
1
1
0
1
0
1
1
1
1
1
1
0
0
0
1
0
1
结论：
此命题为非重言式可满足式
用等值演算法证明下列等值式
（1）（p∧q）∨（p∧﹁q）
p
证明：
（p∧q）∨（p∧﹁q）（分配律）
p∧（q∨﹁q）（排中律）
p∧1（同一律）
p
（3）（pq）（（pq）（pq））
证明：
（pq）
（（pq）（qp））
（（pq）（qp））
（pq）（qp）
（pq）（qp）
（（pq）q）（（pq）p）
（（pq）（qq））（（pp）（qp））
（（pq）1）（1（qp））
（pq）（qp）
（pq）（pq）
用等值演算法判断下列公式的类型。
（1）（（pq）p）.
解：
（1）（（pq）p）
（（pq）p）蕴含等值式
（（pq））p德·摩根律
pqp双重否定律
ppq交换律
0q矛盾律
0零律
即原式为矛盾式.
（2）（（pq）（qp））（pq）
解：
（（pq）（qp））（pq）
（pq）（pq）
（（pq）（pq））（（pq）（pq））
（Pq）（pq）
（pq）（pq））
1
即（（pq）（qp））（pq）是重言式。
（3）（p→q）→（q→p）.
解：
（p→q）→（q→p）
（（p∨q））∨（q∨p）
（p∧q）∨（q∨p）
（p∨（p∧q））∧（q∨（q∨p））
（（p∨p）∨q）∧（（q∨q）∨p]
（p∨q）∧（p∨q）
（p∨q）
或（p→q）→（q→p）
（（p∨q））∨（q∨p）
（p∧q）∨（q∨p）
（（p∧q）∨q）∨p结合律
p∨q吸收律
结论：
该公式为可满足式。
（1）求下面命题公式的主析取范式、主合取范式、成真赋值、成假赋值。
（p∨（q∧r））→（p∧q∧r）
¬（p∨（q∧r））∨（p∧q∧r）
（¬p∧（¬q∨¬r））∨（p∧q∧r）
（¬p∧¬q）∨（¬p∧¬r）∨（p∧q∧r）
（（¬p∧¬q）∧（r∨¬r））∨（（¬p∧¬r）∧（q∨¬q））∨（p∧q∧r）
（¬p∧¬q∧r）∨（¬p∧¬q∧¬r）∨（¬p∧¬q∧¬r）∨（¬p∧q∧¬r）∨（p∧q∧r）
（¬p∧¬q∧r）∨（¬p∧¬q∧¬r）∨（¬p∧q∧¬r）∨（p∧q∧r）
（（¬p∧¬q∧¬r）∨（¬p∧¬q∧r）∨（¬p∧q∧¬r）∨（p∧q∧r）
m0∨m1∨m2∨m7
∑（0,1,2,7）
故其主析取范式为
（p∨（q∧r））→（p∧q∧r）∑（0,1,2,7）
由最小项定义可知道原命题的成真赋值为
（0,0,0）（0,1,0）（0,0,1）（1,1,1）
成假赋值为（0,1,1）（1,0,0）（1,0,1）（1,1,0）
由主析取范式和主合取范式的关系即可知道主合取范式为
（p∨（q∧r））→（p∧q∧r）∏（3,4,5,6）
（3）（pq）qr
解：
（pq）qr
（pq）qr
pqqr
0
既（pq）qr是矛盾式。
（pq）qr的主合取范式为M0M1M2M3M4M5M6M7，成假赋值为：
000，001，010，011，100，101，111．
13.通过求主析取范式判断下列各组命题公式是否等值。
（1）①p→（q→r）;②q→（p→r）.
解：
p→（q→r）﹁p（q→r）
﹁p（﹁qr）
﹁p﹁qr
（﹁p（q﹁q）（r﹁r））（（p﹁p）﹁q（r﹁r））（（p﹁p）（q﹁q）r）
（﹁pqr）（﹁pq﹁r）（﹁p﹁qr）（﹁p﹁q﹁r）（p﹁qr）（p﹁q﹁r）（﹁pqr）
∑（0,1,2,3,4,5,7）
q→（p→r）﹁q（﹁pr）
﹁p﹁qr
∑（0,1,2,3,4,5,7）
所以两式等值。
（2）①pq
¬（p∧q）
（p∧（q∨¬q））∨（q∧（p∨¬p））
（p∧q）∨（¬p∧¬q）∨（¬q∧p）∨（¬p∧¬q）
（¬p∧q）∨（¬p∧¬q）∨（p∧¬q）
m1∨m0∨m2
∑（0,1,2）
（p∧¬q）处原为（¬q∧p），不是极小项
②令A=pq
B=¬（p∧q）
C=（¬p∧q）∨（¬p∧¬q）∨（p∧¬q）
D=p↓q
则B*=¬（p∨q）p↓q=D
且ABC
所以DA*C*
C*=（¬p∨q）∧（¬p∨¬q）∧（p∨¬q）
∏（0，1，2）∑（3）
所以①!
②
某勘探队有3名队员，有一天取得一块矿样，3人判断如下：
甲说：
这不是铁，也不是铜；
乙说：
这不是铁，是锡；
丙说：
这不是锡，是铁；
经实验室鉴定后发现，其中一人两个判断都正确，一个人判对一半，另一个人全错了。
根据以上情况判断矿样的种类。
解：
p：
是铁q：
是铜r：
是锡
由题意可得共有6种情况：
1）甲全对，乙对一半，丙全错：
（﹁p∧﹁q）∧（（﹁p∧﹁r）∨（p∧r））∧（r∧﹁p）①
2）甲全对，丙对一半，乙全错：
（﹁p∧﹁q）∧（（﹁r∧﹁p）∨（r∧p））∧（p∧﹁r）②
3）乙全对，甲对一半，丙全错：
（﹁p∧r）∧（（﹁p∧q）∨（﹁q∧p））∧（r∧﹁p）③
4）乙全对，丙对一半，甲全错：
（﹁p∧r）∧（（﹁r∧﹁p）∨（r∧p））∧（p∧q）④
5）丙全对，甲对一半，乙全错：
（﹁r∧p）∧（（﹁p∧q）∨（p∧﹁q））∧（p∧﹁r）⑤
6）丙全对，乙对一半，甲全错：
（﹁r∧p）∧（（﹁p∧﹁r）∨（p∧r））∧（p∧q）⑥
则①∨②∨③∨④∨⑤∨⑥1
①（﹁p∧﹁q∧﹁p∧﹁r∧r∧﹁p）∨（﹁p∧﹁q∧p∧r∧r∧﹁p）0∨00
②（﹁p∧﹁q∧﹁r∧﹁p∧p∧﹁r）∨（﹁p∧﹁q∧r∧p∧p∧﹁r）0∨00
③（﹁p∧r∧﹁p∧q∧r∧﹁p）∨（﹁p∧r∧﹁q∧p∧r∧﹁p）（﹁p∧q∧r）∨0﹁p∧q∧r
④（﹁p∧r∧﹁r∧﹁p∧p∧q）∨（﹁p∧r∧r∧p∧p∧q）0∨00
⑤（﹁r∧p∧﹁p∧q∧p∧﹁r）∨（﹁r∧p∧p∧﹁q∧p∧﹁r）0∨（p∧﹁q∧﹁r）p∧﹁q∧﹁r
⑥（﹁r∧p∧﹁p∧﹁r∧p∧q）∨（﹁r∧p∧p∧r∧p∧q）0∨00
所以①∨②∨③∨④∨⑤∨⑥（﹁p∧q∧r）∨（p∧﹁q∧﹁r）
而这块矿石不可能既是铜又是锡，所以只能是
判断下列推理是否正确，先将命题符号化，再写出前提和结论，让后进行判断。
3如果今天是1号，则明天是5号。
今天是1号，所以明天是5号。
p：
今天是1号q：
明天是5号
解：
前提：
p→q,p
结论：
q
推理的形式结构为：
（（p→q）∧p）→q
证明：
① p→q前提引入
② p前提引入
③q假言推理
此命题是正确命题
（2）
判断下列推理是否正确，先将命题符号化再写出前提和结论，然后进行判断
如果今天是1号，则明天是5号。
明天是5号，所以今天是1号。
解设p:
今天是1号,q:
明天是5号,则该推理可以写为
（（p→q）∧q）→p
前提p→q，q
结论p
判断
证明
（（p→q）∧q）→p¬（（p→q）∧q）∨p
¬（p→q）∨¬q∨p
¬（¬p∨q）∨¬q∨p
（p∧¬q）∨¬q∨p
¬q∨p
此式子为非重言式的可满足式，故不可以判断其正确性
所以此推理不正确
（3）如果今天是1号，则明天是5号，明天不是5号，所以今天不是1号。
解：
p:
今天1号.
q:
明天是5号.
（（p→q）∧¬q）→¬p
前提:
p→q,¬q.
结论:
¬p.
证明:
①p→q前提引入
②¬q前提引入
③¬p①②拒取式
推理正确
（1）前提：
﹁（p∧﹁q）,﹁q∨r,﹁r
结论：
﹁p.
证明：
①﹁q∨r前提引入
②﹁r前提引入
③﹁q①②析取三段论
④﹁（p∧﹁q）前提引入
⑤﹁p∨q④置换
⑥﹁p③⑤析取三段论
即推理正确。
（2）前提：
p→（q→s）,q,p∨﹁r
结论：
r→s.
证明：
①p∨﹁r前提引入
②r附加前提引入
③p析取三段论
④p→（q→s）前提引入
⑤q→s假言推理
⑥q前提引入
⑦s假言推理
由附加前提证明法可知，结论正确。
（3）:
前提:
p→q.
结论:
p→（p∧q）.
证明:
①p→q.前提引入
②p附加前提引入
③q①②假言推理
④p∧q②③合取引入规则
（4）前提：
qp,qs,st,tr.
结论：
pqsr.
证明：
1）tr；前提引入
2）t；1）的化简
3）st；前提引入
4）（st）（ts）;3）的置换
5）ts4）的化简
6）s；2）,5）的假言推理
7）qs；前提引入
8）（qs）（sq）；7）置换
9）sq8）的化简
10）q；6）,9）的假言推理
11）qp；前提引入
12）p；10）,11）的假言推理
13）r1）的化简
14）pqsr6）,10）,12）,13）的合取
所以推理正确。
1．18如果他是理科学生，他必学好数学。
如果他不是文科学生，他必是理科学生。
他没学好数学。
所以它是文科学生。
判断上面推理是否正确，并证明你的结论。
解：
p:
他是理科学生q:
他学好数学r:
他是文科学生
前提：
p→q，┐r→p，┐q
结论：
r
①┐p前提引入
②p→q前提引入
③┐p①②拒取式
④┐r→p前提引入
⑤r③④拒取式
给定命题公式如下：
p（qr）。
求命题公式的主析取范式、主合取范式、成真赋值、成假赋值。
解：
p（qr）
（（pqq））（rr））（（qr）（pp））
pqr）pqr）（pqr）（pqr）（pqr）（pqr）
m7m6m5vm4m6m2
m7m6m5vm4m2
2、4、5、6、7
∴p（qr）0、1、3
既010、100、101、110、111是成真赋值，
000、001、011是成假赋值
给定命题公式如下：
（pq）r。
求命题公式的主析取范式、主合取范式、成真赋值、成假赋值。
解：
（pq）r
（pq）r
（（pq）（rr））（（pp）（qq）r）
（pqr）（pqr）（pqr）（pqr）（pqr）（pqr）
m7m6m7m5m3m1
m7m6m5m3m1
1、3、5、6、7
∴（pq）r0、2、4
既001、011、101、110、111是成真赋值，
000、010、100是成假赋值。
例题
例给定命题公式如下，用等值演算判断公式类型
（1）（p∧q）→（p∨q）
解：
﹁（p∧q）∨（p∨q）
﹁p∨﹁q∨p∨q
（﹁p∨p）∨（﹁q∨q）
1∨1
1
所以为重言式
（2）（p↔q）↔（（p→q）∧（q→p））
解：
（p↔q）↔（（p→q）∧（q→p））
（p↔q）↔（↔q）
（（p↔q）→（p↔q））∧（（p↔q）→（p↔q））
（p↔q）→（p↔q）
¬（p↔q）∨（p↔q）
¬（（p→q）∧（q→p））∨（（p→q）∧（q→p））
（（¬（p→q）∨¬（q→p））∨（p→q））∧（¬（p→q）∨¬（q→p））∨（q→p））
（1∨¬（q→p））∧（1∨（q→p））
1∧1
1
所以此式是重言式（红色字体部分可删去）
（3）（p→q）∧q
解：
（p→q）∧q（p∨q）∧q（p∧
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