专升本高数复习资料.docx

1、专升本高数复习资料第一章极限和连续第一节极限复习考试要求1.了解极限的概念（对极限定义 川，等形式的描述不作要求）。会求函数在一点处的左极限与右极限，了解函数在一点处极限存在的充分必要条件。2.了解极限的有关性质，掌握极限的四则运算法则。3.理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小量的性质、无穷小量与无穷大量的关系。会进行无穷小量阶的比较（高阶、低阶、同阶和等价）。会运用等价无穷小量代换求极限。4.熟练掌握用两个重要极限求极限的方法。第二节函数的连续性复习考试要求1.理解函数在一点处连续与间断的概念，理解函数在一点处连续与极限存在之间的关系，掌握判断函数（含分段函数）在一点处连续性的方法。2会

2、求函数的间断点。3掌握在闭区间上连续函数的性质会用它们证明一些简单命题。4.理解初等函数在其定义区间上的连续性，会利用函数连续性求极限。第二章一元函数微分学第一节导数与微分复习考试要求1.理解导数的概念及其几何意义，了解可导性与连续性的关系，会用定义求函数在一点处的导数。2会求曲线上一点处的切线方程与法线方程。3.熟练掌握导数的基本公式、四则运算法则以及复合函数的求导方法。4.掌握隐函数的求导法与对数求导法。会求分段函数的导数。5.了解高阶导数的概念。会求简单函数的高阶导数。6.理解微分的概念，掌握微分法则，了解可微和可导的关系，会求函数的一阶微分。第二节导数的应用复习考试要求H n * P

3、E M1.熟练掌握用洛必达法则求 “ 0 型未定式的极限的方法。2.掌握利用导数判定函数的单调性及求函数的单调增、减区间的方法。会利用函数的单调性证明简单的不等式。3.理解函数极值的概念，掌握求函数的驻点、极值点、极值、最大值与最小值的方法，会解简单的应用题。4.会判断曲线的凹凸性，会求曲线的拐点。5.会求曲线的水平渐近线与铅直渐近线第三章一元函数积分学第一节不定积分复习考试要求1.理解原函数与不定积分的概念及其关系，掌握不定积分的性质。2.熟练掌握不定积分的基本公式。3.熟练掌握不定积分第一换元法，掌握第二换元法（仅限三角代换与简单的根式代换）。4.熟练掌握不定积分的分部积分法。5掌握简单有

4、理函数不定积分的计算。第二节定积分及其应用复习考试要求1.理解定积分的概念及其几何意义，了解函数可积的条件2掌握定积分的基本性质3.理解变上限积分是变上限的函数，掌握对变上限积分求导数的方法。4.熟练掌握牛顿一莱布尼茨公式。5掌握定积分的换元积分法与分部积分法。6.理解无穷区间的广义积分的概念，掌握其计算方法。7掌握直角坐标系下用定积分计算平面图形的面积以及平面图形绕坐标轴旋转所生成的旋转体的体积。第四章多元函数微分学复习考试要求1.了解多元函数的概念，会求二元函数的定义域。了解二元函数的几何意义。2.了解二元函数的极限与连续的概念。3.理解二元函数一阶偏导数和全微分的概念，掌握二元函数的一阶

5、偏导数的求法。掌握二元函数的二阶偏导数的求 法，掌握二元函数的全微分的求法。4.掌握复合函数与隐函数的一阶偏导数的求法。5会求二元函数的无条件极值和条件极值。6.会用二元函数的无条件极值及条件极值解简单的实际问题。第五章概率论初步复习考试要求1. 了解随机现象、随机试验的基本特点；理解基本事件、样本空间、随机事件的概念。2掌握事件之间的关系：包含关系、相等关系、互不相容关系及对立关系。3.理解事件之间并（和）、交（积）、差运算的意义，掌握其运算规律。4.理解概率的古典型意义，掌握事件概率的基本性质及事件概率的计算。5.会求事件的条件概率；掌握概率的乘法公式及事件的独立性。6.了解随机变量的概念

6、及其分布函数。7.理解离散性随机变量的意义及其概率分布掌握概率分布的计算方法。8.会求离散性随机变量的数学期望、方差和标准差。第一章极限和连续第一节极限复习考试要求1.了解极限的概念（对极限定义一、-一等形式的描述不作要求）。会求函数在一点处的左极限与右极限，了 解函数在一点处极限存在的充分必要条件。2.了解极限的有关性质，掌握极限的四则运算法则。3.理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小量的性质、无穷小量与无穷大量的关系。会进行无穷小量阶的比较 （高阶、低阶、同阶和等价）。会运用等价无穷小量代换求极限。4.熟练掌握用两个重要极限求极限的方法。主要知识内容（一）数列的极限1.数列定义按一定顺

7、序排列的无穷多个数备為.称为无穷数列，简称数列，记作 xn，数列中每一个数称为数列的项，第 n项xn为数列的一般项或通项，例如(1)1，3，5，(2n-1 ),(等差数列)(2(等比数列)(3)忌士(递增数列)I I (-L/4*(4)1 , 0,1 , 0, ，(震荡数列)都是数列。它们的一般项分别为1 n -旷(2n-1 ), 。对于每一个正整数 n ,都有一个Xn与之对应，所以说数列xn可看作自变量n的函数xn=f (n),它的定义域是全体 正整数，当自变量 n依次取1,2,3一切正整数时，对应的函数值就排列成数列。在几何上，数列xn可看作数轴上的一个动点，它依次取数轴上的点 X1,X2

8、,X3,.Xn,。2.数列的极限定义对于数列xn，如果当nis时，xn无限地趋于一个确定的常数 A，则称当n趋于无穷大时，数列xn以常数A为极限，或称数列收敛于 A，记作 rm比如：討卜4无限的趋向o-,无限的趋向1否则，对于数列Xn,如果当nis时，Xn不是无限地趋于一个确定的常数，称数列 Xn没有极限，如果数列没有极限，就称数列是发散的。比如：1 , 3, 5，(2n-1 ),i+(-it4*1 , 0, 1, 0,数列极限的几何意义：将常数 A及数列的项 依次用数轴上的点表示，若数列 Xn以A为极限，就表示当 n趋于无穷大时，点 Xn可以无限靠近点 A，即点Xn与点A之间的距离|Xn-A

9、|趋于0。比如：討卜4无限的趋向0厂无限的趋向1(二)数列极限的性质与运算法则1.数列极限的性质定理1.1 (惟一性)若数列Xn收敛，则其极限值必定惟一。定理1.2 (有界性)若数列Xn收敛，则它必定有界。注意：这个定理反过来不成立，也就是说，有界数列不一定收敛。比如：11 , 0, 1 , 0, 有界：0, 12.数列极限的存在准则定理1.3 (两面夹准则)若数列Xn,yn,Zn满足以下条件：(1 )：.； - .(2)，贝y定理1.4若数列Xn单调有界，则它必有极限。3.数列极限的四则运算定理 。定理1.5如異:im 号 直JN(1)brn(yh)-krabniA(2)Ion /(i) l

10、iB H希 Htn显然，函数的左极限 右极限 与函数的极限 之间有以下关系: 定理1.6当xtxo时，函数f (x)的极限等于 A的必要充分条件是反之，如果左、右极限都等于A，则必有AJTJ- (JT-OI-X T 1 时 f(x) T ?X工1J-l J-l X+LX T 1f(x) T 2,当xt 1时，f (x)的左极限是2，右极限也是2。hrn x- L对于函数2.当xTg时，函数f ( x)的极限(1 )当XTg时，函数f ( X)的极限y=f(x)x Tg f(x) T ?y=f(x)=1 +X Tg f(x)=1+ T 1lirnl f(x)-(jn /(x) (limjcLiu

11、 4 =/c 、/ lina W- * D n . gE hm g B ,（3 ）当 时， 时，上述运算法则可推广到有限多个函数的代数和及乘积的情形，有以下推论：（1 - - -（2）-：1 ：- -bmL/（r = ibm /jr（3）用极限的运算法则求极限时，必须注意：这些法则要求每个参与运算的函数的极限存在，且求商的极限时，还要求 分母的极限不能为零。另外，上述极限的运算法则对于 的情形也都成立。（五）无穷小量和无穷大量1.无穷小量（简称无穷小）定义对于函数 ，如果自变量x在某个变化过程中， 函数 的极限为零，则称在该变化过程中， 为无穷小量,一般记作 常用希腊字母 ，来表示无穷小量。定

12、理1.10函数 以A为极限的必要充分条件是：可表示为A与一个无穷小量之和。li tn+注意：（1 ）无穷小量是变量，它不是表示量的大小，而是表示变量的变化趋势无限趋于为零。（2）要把无穷小量与很小的数严格区分开，一个很小的数，无论它多么小也不是无穷小量。（3） 个变量是否为无穷小量是与自变量的变化趋势紧密相关的。在不同的变化过程中，同一个变量可以有不同的变化趋势，因此结论也不尽相同。振荡型发散 ，|-：（4 ）越变越小的变量也不一定是无穷小量，例如当 x越变越大时， 就越变越小，但它不是无穷小量。（5 ）无穷小量不是一个常数，但数“ 0”是无穷小量中惟一的一个数，这是因为 。2.无穷大量（简称

13、无穷大）定义；如果当自变量 （或R）时， 的绝对值可以变得充分大（也即无限地增大），则称在该变化过程中,为无穷大量。记作 。注意：无穷大（R）不是一个数值，是一个记号，绝不能写成 或 。3.无穷小量与无穷大量的关系 无穷小量与无穷大量之间有一种简单的关系，见以下的定理。丄 _1_定理1.11在同一变化过程中，如果 为无穷大量，则 为无穷小量；反之，如果 为无穷小量，且 ，则 为无穷大量。TT1- - 1 j当 无穷大7厂无穷小当 为无穷小4.无穷小量的基本性质性质1有限个无穷小量的代数和仍是无穷小量；性质2有界函数(变量)与无穷小量的乘积是无穷小量；特别地，常量与无穷小量的乘积是无穷小量。il

14、D X SD = DX工-丄TEJ 1i lh S 2性质3有限个无穷小量的乘积是无穷小量。性质4无穷小量除以极限不为零的变量所得的商是无穷小量。5.无穷小量的比较定义设 是同一变化过程中的无穷小量，即“-(1 )如果 则称 是比 较高阶的无穷小量，记作 ；i m = c 0(2)如果 则称 与 为同阶的无穷小量；lini.=(3) 如果 则称 与 为等价无穷小量，记为 ； a(4)如果 则称 是比 较低价的无穷小量。当bm J-Lta(5x +)=03-*0 X mO片+ F 0)lim * lim 则等价无穷小量代换定理：lim务如果当时：-：-“， 均为无穷小量，又有 且 存在,均为无穷

15、小F7IL &7皿 叫送 a.rH.d Ha -有又等价无穷小量代换可以在极限的乘除这个性质常常使用在极限运算中，它能起到简化运算的作用。但是必须注意: 运算中使用。常用的等价无穷小量代换有：当 时，sinx x;tan x;arctanx x;arcsinx x;】 啊开一；kl( + sc2(6)两个重要极限1.重要极限I重要极限I是指下面的求极限公式Z 1 .gQ碗聲 =1Jim Z k-1，-eia(j2-=I) . (x+l) iin(xa-I) lira ； = lien :_-1Sil(Jta -L)2.重要极限n重要极限n是指下面的公式：limCl i丄14口e 用lirnQ-

16、t-VJEL| ID（ +t） 二 ft-4其中e是个常数（银行家常数），叫自然对数的底，它的值为e=2.718281828495045其结构式为：Ikm （1. +试囂）严心=这两个重要极限在极限计算中起很重要0重要极限I是属于 型的未定型式，重要极限n是属于“ ”型的未定式时,的作用，熟练掌握它们是非常必要的。（七）求极限的方法：1.利用极限的四则运算法则求极限；2.利用两个重要极限求极限；3.利用无穷小量的性质求极限；4.利用函数的连续性求极限；5.利用洛必达法则求未定式的极限；6.利用等价无穷小代换定理求极限。基本极限公式(3)(4)lim (円/ 4円+叫JT ”，口ICO例1.无穷

17、小量的有关概念（1） 9601下列变量在给定变化过程中为无穷小量的是I 1A叭“ B肩iR(l + T3Ki TO1(Taj答CA.t -*0,丄一rE.smP ,*发散x T 0+B = T -KO, ?+WD.x-3匸=5+犯_汀亲I（2） 0202当 时， 与x比较是A.高阶的无穷小量 B.等价的无穷小量C.非等价的同阶无穷小量 D.低阶的无穷小量 答Blien bl1+ - a lim -Infl + ar)i-0 武 x*tD 込1 1=lira Dnjfl + 炸=Jn( lim fl + 好 I-T&极限的运算:0611 Ui解:T-0 片+1答案-10例2.型因式分解约分求极限

18、L 5（1）0208、宀！ _ 答+ (x+Sjfj- 2) 小 3 3 ; a lim - L血七3（2）0621计算 答例3.型有理化约分求极限(1)0316计算him(2)9516答(5式一 I (亦+ ； - $2+1 +訓VT可4忑解: t-s4 (j -4)(2s + l 4 鼻+囲 hra T-rf (序存1询二-二 = r6 3oa例4.当 时求型的极限冋 4 -（1）0308答般地，有 叱计!卫M*1+#弓2-冉切3+吗存T +“+bm r LLmlira (1-占)JFra 孑 _ L. 1、亍km (3 + -) 峯fg 工例5.用重要极限I求极限竺1竺辿=iD j 同卜

19、弹 収X）（1） 9603下列极限中，成立的是答B.J _ 1(2) 0006 答解：. 1 Jim : hm -X-l i-*L3H-& _27例6.用重要极限n求极限1 Lhe （1+-=蓟 Lun口 + = rQ4新J朋尸u.（1 ） 0416计算 答2 2解析解一：令x -Pj tD3 IPt式w 1個(+ /.K * lir fl 尸lima+O*1 -.f3Id解二：贩戏-応(1 +二)即-Hm(l +刁可： EKD S AW X帕（1+兰严=严“ K03062rccci brtli(1+ x)a- =tfJ0601（2）0118计算 答解：例7.用函数的连续性求极限rc，/ILE

20、 hl(l + !)0407|iinEn. +x3)解：答 0lira kQ + x ) = ls(|i +0 ) = 0例8.用等价无穷小代换定理求极限. 1 - 1bm. i=0 j + aa k0317答 07T T 0.1 CXM X 解:当质式.km - !血一iJT-iO JT4 SU1 工 2.TT片国口 片例9.求分段函数在分段点处的极限2j+lr j 0 Ln-fl+jr）,(1)0307设则在 的左极限答1t /CO-QJ-帥 /(j)- I価(酣T1解析y（Q + q）=血佝=bm】叩+町=Q.2。十 .W0*fM (2)0406设lam/(a:) ，则答1解析 WD Z

21、ilim /M- 例10.求极限的反问题（1）已知 则常数解法二令- ； - - - -上，解得，得即，得（2）若 “f求a,b的值.0解析型未定式.x 十麵 i血.(t-D(+j?O H-jwi iri = lim 見，TLgi珀戸“0 :-J (JT- )(r+l) 1+1A1X所以.siiiax0402前面我们讲的内容：极限的概念；极限的性质；极限的运算法则；两个重要极限；无穷小量、无穷大量的概念；无穷小量的性质以及无 穷小量阶的比较。第二节函数的连续性复习考试要求1.理解函数在一点处连续与间断的概念，理解函数在一点处连续与极限存在之间的关系，掌握判断函数（含分段函 数）在一点处连续性的

22、方法。2.会求函数的间断点。3.掌握在闭区间上连续函数的性质会用它们证明一些简单命题。4.理解初等函数在其定义区间上的连续性，会利用函数连续性求极限。主要知识内容（一）函数连续的概念1.函数在点X0处连续定义1设函数y=f （ x）在点X0的某个邻域内有定义，如果当自变量的改变量 x （初值为X0）趋近于0时，相应的函数的改变量 y也趋近于0，即M - /（Ai） - 0则称函数y=f （ x）在点X0处连续。函数y=f (x)在点xo连续也可作如下定义：定义2设函数y=f (x)在点xo的某个邻域内有定义，如果当 xtxo时，函数y=f (x)的极限值存在，且等于 xo处的函数值f (xo)

23、,即吧恥-mi定义3设函数y=f (x),如果 ，则称函数f ( x)在点xo处左连续；如果 ，则称函数f (x)在点xo处右连续。由上述定义 2可知如果函数y=f ( x)在点xo处连续，则f ( x)在点xo处左连续也右连续。2函数在区间a, b上连续定义如果函数f (x)在闭区间a , b上的每一点x处都连续，则称f (x )在闭区间a , b上连续，并称f (x)为a , b上的连续函数。这里，f (x )在左端点a连续，是指满足关系： ，在右端点b连续，是指满足关系： ，即f (x)在左端点a处是右连续，在右端点 b处是左连续。可以证明：初等函数在其定义的区间内都连续。3函数的间断点定义如果函数f (x)在点xo处不连续则称点xo为f (x) 一个间断点。由函数在某点连续的定义可知，若 f (x)在点xo处有下列三种情况之一:(1)在点xo处，f (x