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专升本高数复习资料

第一章极限和连续

第一节极限

［复习考试要求］

1.了解极限的概念（对极限定义「川「，「「等形式的描述不作要求）。

会求函数在一点处的左极限与右极限，了

解函数在一点处极限存在的充分必要条件。

2.了解极限的有关性质，掌握极限的四则运算法则。

3.理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小量的性质、无穷小量与无穷大量的关系。

会进行无穷小量阶的比较

（高阶、低阶、同阶和等价）。

会运用等价无穷小量代换求极限。

4.熟练掌握用两个重要极限求极限的方法。

第二节函数的连续性

［复习考试要求］

1.理解函数在一点处连续与间断的概念，理解函数在一点处连续与极限存在之间的关系，掌握判断函数（含分段函

数）在一点处连续性的方法。

2•会求函数的间断点。

3•掌握在闭区间上连续函数的性质会用它们证明一些简单命题。

4.理解初等函数在其定义区间上的连续性，会利用函数连续性求极限。

第二章一元函数微分学

第一节导数与微分

［复习考试要求］

1.理解导数的概念及其几何意义，了解可导性与连续性的关系，会用定义求函数在一点处的导数。

2•会求曲线上一点处的切线方程与法线方程。

3.熟练掌握导数的基本公式、四则运算法则以及复合函数的求导方法。

4.掌握隐函数的求导法与对数求导法。

会求分段函数的导数。

5.了解高阶导数的概念。

会求简单函数的高阶导数。

6.理解微分的概念，掌握微分法则，了解可微和可导的关系，会求函数的一阶微分。

第二节导数的应用

［复习考试要求］

Hn*PEM

1.熟练掌握用洛必达法则求“0型未定式的极限的方法。

2.掌握利用导数判定函数的单调性及求函数的单调增、减区间的方法。

会利用函数的单调性证明简单的不等式。

3.理解函数极值的概念，掌握求函数的驻点、极值点、极值、最大值与最小值的方法，会解简单的应用题。

4.会判断曲线的凹凸性，会求曲线的拐点。

5.会求曲线的水平渐近线与铅直渐近线

第三章一元函数积分学

第一节不定积分

［复习考试要求］

1.理解原函数与不定积分的概念及其关系，掌握不定积分的性质。

2.熟练掌握不定积分的基本公式。

3.熟练掌握不定积分第一换元法，掌握第二换元法（仅限三角代换与简单的根式代换）。

4.熟练掌握不定积分的分部积分法。

5•掌握简单有理函数不定积分的计算。

第二节定积分及其应用

［复习考试要求］

1.理解定积分的概念及其几何意义，了解函数可积的条件

2•掌握定积分的基本性质

3.理解变上限积分是变上限的函数，掌握对变上限积分求导数的方法。

4.熟练掌握牛顿一莱布尼茨公式。

5•掌握定积分的换元积分法与分部积分法。

6.理解无穷区间的广义积分的概念，掌握其计算方法。

7•掌握直角坐标系下用定积分计算平面图形的面积以及平面图形绕坐标轴旋转所生成的旋转体的体积。

第四章多元函数微分学

［复习考试要求］

1.了解多元函数的概念，会求二元函数的定义域。

了解二元函数的几何意义。

2.了解二元函数的极限与连续的概念。

3.理解二元函数一阶偏导数和全微分的概念，掌握二元函数的一阶偏导数的求法。

掌握二元函数的二阶偏导数的求法，掌握二元函数的全微分的求法。

4.掌握复合函数与隐函数的一阶偏导数的求法。

5•会求二元函数的无条件极值和条件极值。

6.会用二元函数的无条件极值及条件极值解简单的实际问题。

第五章概率论初步

［复习考试要求］

1.了解随机现象、随机试验的基本特点；理解基本事件、样本空间、随机事件的概念。

2•掌握事件之间的关系：

包含关系、相等关系、互不相容关系及对立关系。

3.理解事件之间并（和）、交（积）、差运算的意义，掌握其运算规律。

4.理解概率的古典型意义，掌握事件概率的基本性质及事件概率的计算。

5.会求事件的条件概率；掌握概率的乘法公式及事件的独立性。

6.了解随机变量的概念及其分布函数。

7.理解离散性随机变量的意义及其概率分布掌握概率分布的计算方法。

8.会求离散性随机变量的数学期望、方差和标准差。

第一章极限和连续

第一节极限

［复习考试要求］

1.了解极限的概念（对极限定义一、-「一等形式的描述不作要求）。

会求函数在一点处的左极限与右极限，了解函数在一点处极限存在的充分必要条件。

2.了解极限的有关性质，掌握极限的四则运算法则。

3.理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小量的性质、无穷小量与无穷大量的关系。

会进行无穷小量阶的比较（高阶、低阶、同阶和等价）。

会运用等价无穷小量代换求极限。

4.熟练掌握用两个重要极限求极限的方法。

［主要知识内容］

（一）数列的极限

1.数列

定义按一定顺序排列的无穷多个数

备為.・・・£「・・・

称为无穷数列，简称数列，记作｛xn｝，数列中每一个数称为数列的项，第n项xn为数列的一般项或通项，例如

（1）1，3，5，…，（2n-1）,…（等差数列）

（2（等比数列）

（3）忌士"（递增数列）

II（-L/4*

（4）1,0,1,0,…，…（震荡数列）

都是数列。

它们的一般项分别为

1n-旷

（2n-1）,。

对于每一个正整数n,都有一个Xn与之对应，所以说数列｛xn｝可看作自变量n的函数xn=f（n）,它的定义域是全体正整数，当自变量n依次取1,2,3…一切正整数时，对应的函数值就排列成数列。

在几何上，数列｛xn｝可看作数轴上的一个动点，它依次取数轴上的点X1,X2,X3,...Xn,…。

2.数列的极限

定义对于数列｛xn｝，如果当nis时，xn无限地趋于一个确定的常数A，则称当n趋于无穷大时，数列｛xn｝以常数A

为极限，或称数列收敛于A，记作r’m

比如：

討卜4无限的趋向o

-",无限的趋向1

否则，对于数列｛Xn｝,如果当nis时，Xn不是无限地趋于一个确定的常数，称数列｛Xn｝没有极限，如果数列没有极

限，就称数列是发散的。

比如：

1,3,5，…，（2n-1）,…

i+（-it4*

1,0,1,0,…

数列极限的几何意义：

将常数A及数列的项依次用数轴上的点表示，若数列｛Xn｝以A为极限，就表示当n

趋于无穷大时，点Xn可以无限靠近点A，即点Xn与点A之间的距离|Xn-A|趋于0。

比如：

討卜4无限的趋向0

厂无限的趋向1

（二）数列极限的性质与运算法则

1.数列极限的性质

定理1.1（惟一性）若数列｛Xn｝收敛，则其极限值必定惟一。

定理1.2（有界性）若数列｛Xn｝收敛，则它必定有界。

注意：

这个定理反过来不成立，也就是说，有界数列不一定收敛。

比如：

1,0,1,0,…有界：

0,1

2.数列极限的存在准则

定理1.3（两面夹准则）若数列｛Xn｝,｛yn｝,｛Zn｝满足以下条件：

（1）：

「■.；""-■.■

（2），贝y

定理1.4若数列｛Xn｝单调有界，则它必有极限。

3.数列极限的四则运算定理。

定理1.5

如異:

im号■■直JN

（1）

brn（^±yh）-kra^±bniA

（2）

Ion/（i）liBH希Htn

显然，函数的左极限右极限与函数的极限之间有以下关系:

定理1.6当xtxo时，函数f（x）的极限等于A的必要充分条件是

反之，如果左、右极限都等于

A，则必有

AJTJ-—（JT-O

I-]

XT1时f（x）T?

X工1

J-lJ-l・X+L

XT1f（x）T2

当xt1时，f（x）的左极限是2，右极限也是2。

hrnx-L

对于函数

2.当xTg时，函数f（x）的极限

（1）当XTg时，函数f（X）的极限

y=f（x）xTgf（x）T?

y=f（x）=1+

XTgf（x）=1+T1

lirn[l<■—）-]

定义对于函数y=f（x），如果当xTg时，f（x）无限地趋于一个常数A，则称当XTg时，函数f（x）的极限是A,记作

服或f（x）tA（当XTg时）

（2）当XT+g时，函数f（X）的极限

定义对于函数y=f（x）,如果当xt+g时，f（x）无限地趋于一个常数

是A，记作

这个定义与数列极限的定义基本上一样，数列极限的定义中

出XT+g,且其中的X不一定是正整数，而为任意实数。

A，则称当xt+g时，函数f（x）的极限

n是正整数；而在这个定义中，则要明确写

y=f（x）xt+gf（x）xt?

xt+g,f（x）=2+t2

擁gf2

例：

函数f（x）=2+e-X，当xt+g时，f（x）t?

解：

f（x）=2+e-x=2+,

xt+g,f（x）=2+t2

所以f'

（3）当xt-g时，函数f（x）的极限

定义对于函数y=f（x）,如果当xt-g时，f（x）无限地趋于一个常数记作

A，则称当xt-g时，f（x）的极限是A,

XT-gf（x）T?

则f（x）=2+（xv0）

Xt-g,・xt+g

f（x）=2+t2

例：

函数

当Xt-g时，f（X）t?

解：

当Xf-a时，-Xf+a

2±f2，即有

的打為I

由上述Xfa,xf+a,xf-a时，函数f（x）极限的定义，不难看出:

是当Xf+a以及xf-a时，函数f（X）有相同的极限A。

例如函数，当Xf-a时，f（X）无限地趋于常数

称当Xfa时的极限是1，记作

其几何意义如图3所示。

xfa时f（x）的极限是A充分必要条件

1，当

a时，f（X）也无限地趋于同一个常数1，因此

f（x）=1+

bmjl*■—）■]

b%l：

L+■—）■]

brn^（L+丄）■」

y=arctanx

bmarct-Hn-j—-—a】icnBccEaojC"—

2ww2

.LimteEojix,.f,审不存在。

但是对函数y=arctanx

hmarctmj--—

来讲，因为有

lUTLarrtmj-—

即虽然当Xf-a时，f

当Xfa时，y=arctanx

（X）的极限存在，当Xf+a时,的极限不存在。

f（X）

的极限也存在，但这两个极限不相同，我们只能说,

x）=1+

hmjl管]

k10^（1*-—）-]

y=arctanx

bmarct-Hn-JG—rllimbecEod—

th*2ww2

M不存在。

但是对函数y=arctanx

hrcarctsj--—hm-arrtacix•—

即虽然当Xf-a时，f'当xfa时，y=arctanx

（四）函数极限的定理定理1.7（惟一性定理））定理1.8（两面夹定理）

（1）忒時兰壬试八

（2）

Um/（ar）-A

则有。

来讲，因为有

（X）的极限存在，当Xf+a时,的极限不存在。

f（X）

如果存在，则极限值必定惟一。

设函数在点的某个邻域内（

Lim£（t）■Lim力（X）■出

注意：

上述定理1.7及定理1.8对也成立。

下面我们给出函数极限的四则运算定理

的极限也存在，但这两个极限不相同，我们只能说,

可除外）满足条件:

定理

C右E1=0Mm/W・

1.9如果

m;,八〜则

（1）

lim/（rt±]im£（!

）■

X—

（2）

Um[J（x>f（x）]-

（]j£n/（x））（lim

jc—

Liu4==——=£

/c\、［/lina£W-*Dn.gEhmg㈢B,

（3）当时，时，

上述运算法则可推广到有限多个函数的代数和及乘积的情形，有以下推论：

（1---

（2）-：

1"■■：

'-"-

bmL/（^r=ibm/^jr

（3）

用极限的运算法则求极限时，必须注意：

这些法则要求每个参与运算的函数的极限存在，且求商的极限时，还要求分母的极限不能为零。

另外，上述极限的运算法则对于的情形也都成立。

（五）无穷小量和无穷大量

1.无穷小量（简称无穷小）

定义对于函数，如果自变量x在某个变化过程中，函数的极限为零，则称在该变化过程中，为无穷小量,

一般记作常用希腊字母，…来表示无穷小量。

定理1.10函数以A为极限的必要充分条件是：

可表示为A与一个无穷小量之和。

litn+

注意：

（1）无穷小量是变量，它不是表示量的大小，而是表示变量的变化趋势无限趋于为零。

（2）要把无穷小量与很小的数严格区分开，一个很小的数，无论它多么小也不是无穷小量。

（3）—个变量是否为无穷小量是与自变量的变化趋势紧密相关的。

在不同的变化过程中，同一个变量可以有不同

的变化趋势，因此结论也不尽相同。

振荡型发散'，|-：

（4）越变越小的变量也不一定是无穷小量，例如当x越变越大时，就越变越小，但它不是无穷小量。

（5）无穷小量不是一个常数，但数“0”是无穷小量中惟一的一个数，这是因为。

2.无穷大量（简称无穷大）

定义；如果当自变量（或R）时，的绝对值可以变得充分大（也即无限地增大），则称在该变化过程中,

为无穷大量。

记作。

注意：

无穷大（R）不是一个数值，是一个记号，绝不能写成或。

3.无穷小量与无穷大量的关系无穷小量与无穷大量之间有一种简单的关系，见以下的定理。

丄_1_

定理1.11在同一变化过程中，如果为无穷大量，则为无穷小量；反之，如果为无穷小量，且，则为无穷大量。

TT1--1j

当无穷大

^7厂无穷小

当为无穷小

4.无穷小量的基本性质

性质1有限个无穷小量的代数和仍是无穷小量；

性质2有界函数（变量）与无穷小量的乘积是无穷小量；特别地，常量与无穷小量的乘积是无穷小量。

]ilDXSD—=D

工-丄TE

•1』

ilh—S2

性质3有限个无穷小量的乘积是无穷小量。

性质4无穷小量除以极限不为零的变量所得的商是无穷小量。

5.无穷小量的比较

定义设是同一变化过程中的无穷小量，即“"-

（1）如果则称是比较高阶的无穷小量，记作；

]im—■=c0

（2）如果则称与为同阶的无穷小量；

lini.—=]

（3）如果则称与为等价无穷小量，记为；

■a

（4）如果则称是比较低价的无穷小量。

当

bm"J-]Lta（5x+^）=0

3-*0XmO

片+F>0）

lim—*lim—则'

等价无穷小量代换定理：

lim务

如果当时：

-『：

-“，均为无穷小量，又有且存在,

均为无穷小

IL»"&'7'皿叫送a£.rH£.dHa-

有

又

等价无穷小量代换可以在极限的乘除

这个性质常常使用在极限运算中，它能起到简化运算的作用。

但是必须注意:

运算中使用。

常用的等价无穷小量代换有：

当时，

sinx〜x;tan〜x;arctanx〜x;arcsinx〜x;

】■£啊开〜一；kl（]+sc

（6）两个重要极限

1.重要极限I

重要极限I是指下面的求极限公式

Z1.gQ碗聲=1

Jim

Zk-1

，-eia（j2-=I）..（x+l）iin（xa-I）lira；—=lien―:

~—_-—

—1

Si£l（Jta-L）

2.重要极限n

重要极限n是指下面的公式：

limCli■丄「14

口—e用

lirnQ-t-V

]|ID（]+t）^二f

t-4«

其中e是个常数（银行家常数），叫自然对数的底，它的值为

e=2.718281828495045

其结构式为：

km（1.+试囂）严心＜=«

这两个重要极限在极限计算中起很重要

重要极限I是属于型的未定型式，重要极限n是属于“”型的未定式时,

的作用，熟练掌握它们是非常必要的。

（七）求极限的方法：

1.利用极限的四则运算法则求极限；

2.利用两个重要极限求极限；

3.利用无穷小量的性质求极限；

4.利用函数的连续性求极限；

5.利用洛必达法则求未定式的极限；

6.利用等价无穷小代换定理求极限。

基本极限公式

（3）

（4）

lim（円/4■円+叫JT”，・口』

ICO

例1.无穷小量的有关概念

（1）[9601]下列变量在给定变化过程中为无穷小量的是

A叭“B肩i

]R（l+T3KiTO1

（T^aj

[答]C

t-*0,丄一rE.smP,,,

*发散

xT0+B=T-KO,—?

x—-3

匸=

5+犯_汀亲"

（2）[0202]当时，与x比较是

A.高阶的无穷小量B.等价的无穷小量

C.非等价的同阶无穷小量D.低阶的无穷小量［答］B

lienbl'1+-alim-Infl+ar）

i-—^0武x*tD込

=liraDnjfl+炸=Jn（limfl+好］I-T&

极限的运算:

［0611］Ui

解:

T-»0片+1

［答案］-1

例2.型因式分解约分求极限

（1）［0208］"、宀！

_［答］

+（x+'Sjfj-2）小33

;alim—-■—

L血七3

（2）［0621］计算［答

例3.型有理化约分求极限

（1）［0316］计算

him

（2）［9516］

［答］

（5式一I（』亦+；-$2^+1+訓VT可4■忑｝

解:

■

t-s4（j-4）（^2s+l4鼻

+囲

■hra—

T-rf（序存1询

二-二

—»■=r

例4.当时求型的极限

］冋4］■-

（1）［0308］

［答］

般地，有

］叱计■!

■卫M*"1■+…#弓

2-＞冉切3^+吗存T+“■+£

bmr■LLm

lira（1-占）J

Fra孑_L

.—1、亍

km（3+-）峯fg工

例5.用重要极限I求极限

◎竺—1°竺辿=i

—Dj同£卜弹収X）

（1）［9603］下列极限中，成立的是

[答]B

..]J_1

（2）[0006][答]

解：

...1

■Jim:

—hm——-

X-li-*L3H-&_2

例6.用重要极限n求极限

he（1+-=蓟Lun口+=«r

Q4■新'J朋尸"u.

（1）［0416］计算［答］

［解析］解一：

令

x->®PjtD

Pt式w1個（]+/.K*lir[fl尸

]

[lima+O*]1-.f3

解二：

贩戏-応[（1+二）即-[Hm（l+刁可：

E—KDSA—W»X

帕（1+兰严=严

—“K

[0306]

rcccibrtli（1+x）a-=tfJ

[0601]

（2）［0118］计算［答］

解：

例7.用函数的连续性求极限

rc，/ILEhl（l+■!

）

[0407]

|iinEn.[]+x3）

解：

[答]0

lirakQ+x）=ls（|i+0）=0

例8.用等价无穷小代换定理求极限

.1-1

bm.

i=>0j+aak

[0317]

[答]0

7TT0..1—CXMX«

解:

当

质式.km—-—■!

血一i—

JT-iOJT4SU1工2.TT片[国口片

例9.求分段函数在分段点处的极限

2j+lrj<0Ln-fl+jr）,

（1）[0307]设

则在的左极限

[答]1

t/CO-QJ-帥/（j）-I価（酣T・1

[解析]

y（Q+q）=］血佝=bm】叩+町=Q

.2。

十.W0*

fM«

（2）[0406]设

lam/（a:

）»

，则

[答]1

[解析]'"■WDZi

lim/M-]

例10.求极限的反问题

（1）已知则常数

解法二•令-■'；■------

上

，解得

，得

即，得

（2）若“f求a,b的值.

［解析］型未定式.

..x十麵i■血..（t-D（^+j?

OH-jw

]iiri=lim■

見■，TLgi珀戸“0:

-J（JT-]）（r+l）1+1

A1X

所以

.siiiax

[0402]

前面我们讲的内容：

极限的概念；极限的性质；极限的运算法则；两个重要极限；无穷小量、无穷大量的概念；无穷小量的性质以及无穷小量阶的比较。

第二节函数的连续性

［复习考试要求］

1.理解函数在一点处连续与间断的概念，理解函数在一点处连续与极限存在之间的关系，掌握判断函数（含分段函数）在一点处连续性的方法。

2.会求函数的间断点。

3.掌握在闭区间上连续函数的性质会用它们证明一些简单命题。

4.理解初等函数在其定义区间上的连续性，会利用函数连续性求极限。

［主要知识内容］

（一）函数连续的概念

1.函数在点X0处连续

定义1设函数y=f（x）在点X0的某个邻域内有定义，如果当自变量的改变量△x（初值为X0）趋近于0时，相应的

函数的改变量△y也趋近于0，即

M-/（Ai）］-0

则称函数y=f（x）在点X0处连续。

函数y=f（x）在点xo连续也可作如下定义：

定义2设函数y=f（x）在点xo的某个邻域内有定义，如果当xtxo时，函数y=f（x）的极限值存在，且等于xo

处的函数值f（xo）,即

吧恥-mi

定义3设函数y=f（x）,如果，则称函数f（x）在点xo处左连续；如果，则称函数f（x）在点

xo处右连续。

由上述定义2可知如果函数y=f（x）在点xo处连续，则f（x）在点xo处左连续也右连续。

2•函数在区间［a,b］上连续

定义如果函数f（x）在闭区间［a,b］上的每一点x处都连续，则称f（x）在闭区间［a,b］上连续，并称f（x）为［a,b］上的连续函数。

这里，f（x）在左端点a连续，是指满足关系：

，在右端点b连续，是指满足关系：

，即f（x）在

左端点a处是右连续，在右端点b处是左连续。

可以证明：

初等函数在其定义的区间内都连续。

3•函数的间断点

定义如果函数f（x）在点xo处不连续则称点xo为f（x）一个间断点。

由函数在某点连续的定义可知，若f（x）在点xo处有下列三种情况之一:

（1）在点xo处，f（x

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