线性代数重要公式.docx

1、线性代数重要公式3.4.5.【线性代数重要公式】1、行列式1.n行列式共有n2个元素，展开后有n!项，可分解为2n行列式；2.代数余子式的性质：1、Aj和aj的大小无关；2、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式为3、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为 IA ；代数余子式和余子式的关系：Mij= （-1）i jAij Aij =（J）i jMij设n行列式D :将D上、下翻转或左右翻转，所得行列式为 D，则Di =（_1） （J D ； 将D顺时针或逆时针旋转90 ,所得行列式为D2 ,则D2=（-1）TD ； 将D主对角线翻转后（转置），所得行列式为 D3 ,则DD

2、； 将D主副角线翻转后，所得行列式为D 4 ,则D D ； 行列式的重要公式：1、主对角行列式：主对角元素的乘积；2、副对角行列式：副对角元素的乘积 （-1）（I）；3、上、下三角行列式（、二X）:主对角元素的乘积;、匚和丄：副对角元素的乘积（一1）（T ；6、范德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积；7、特征值；6.对于n阶行列式A ,恒有：-AZ（-1）kSknjc ,其中Sk为k阶主子式;k=t 77.证明A =0的方法：、A=-A ；2、反证法；3、构造齐次方程组Ax=O ,证明其有非零解;4、利用秩，证明 r （A） ：n ；、证明O是其特征值；2、矩阵1.A是n阶可逆矩阵：A -0 (

3、是非奇异矩阵)；=r (A)= n (是满秩矩阵)U A的行(列)向量组线性无关；U齐次方程组AX= O有非零解；=b Rn， AX =b总有唯一解；U A与E等价；-A可表示成若干个初等矩阵的乘积；二A的特征值全不为0；-ATA是正定矩阵；=A的行(列)向量组是Rn的一组基；U A是Rn中某两组基的过渡矩阵；2.对于n阶矩阵A : AA=A A=IAlE无条件恒成立；3.(A丄)* =(A*)1 (A I)T =(AT )1 (A*)T =( AT )*(AB)T =BTAT (AB)* =B* A* (AB) A= B AA亠4.矩阵是表格，推导符号为波浪号或箭头；行列式是数值，可求代 数

4、和；5.关于分块矩阵的重要结论，其中均 A、B可逆：A若A= A匕，则： A5丿I、 Af A2 IAS ；U、A 匚 ；I A亠J、IO o卜处O !；(主对角分块)9 B丿 2 B才3、O Oo B亠；(副对角分块)IB 0 丿 IA - Or4、卜叮JA丄山七B十(拉普拉斯)IO B丿(O B丄丿，1. 一一个 men 矩 确定的：总阵A ,总可经过初等变换化为标准形，其标准形是唯一HEr OL ；仏Oy A丄 O YIC B) =I-B JCA 丄 B - /，3、矩阵的初等变换与线性方程组等价类：所有与A等价的矩阵组成的一个集合，称为一个等价类; 标准形为其形状最简单的矩阵；、(拉普

5、拉斯)对于同型矩阵A、B，若r (A)= r (B )=A=B ；2.行最简形矩阵：1、只能通过初等行变换获得；2、每行首个非O元素必须为1；3、每行首个非O元素所在列的其他元素必须为 0；3.初等行变换的应用：(初等列变换类似，或转置后采用初等行变 换)1、若(A, E)I(E , X)，则A可逆，且X=A丄；2、对矩阵(A, B)做初等行变化，当A变为E时，B就变成AdB，即:C(A, B) E, A 丄B)；、求解线形方程组:对于n个未知数n个方程Ax =b，如果(A, b)二(E, X)，则A可逆，且X=A丄b ；4.初等矩阵和对角矩阵的概念：1、初等矩阵是行变换还是列变换，由其位置决

6、定：左乘为初等 行矩阵、右乘为初等列矩阵；2、A= ，左乘矩阵A，入乘A的各行元素；右乘，花乘A的、一 入丿各列元素；r 1 、1广1 A1 1I 1丿I 1丿AB= 0，贝则：(AX =0解(转置运算后的结论)；、对调两行或两列，符号E (i, j),且E(i, j宀E (i, j),例如:例如：、倍乘某行或某列，符号E(i(k)， 且E(i(k)- = E(i1 f11 _ k1k11丿矩阵秩的基本性质:、的秩)、5.0 r(Am n)乞min(m, n)；、倍加某行或某列，符号E (ij (k),且 E (ij(k) A= E (ij(-k)1 -k11r (AT) = r (A)；若

7、A=B ,贝U r(A)= r(B)；若P、Q可逆，则 r(A)= r(PA)= r(AQ)= r(PAQ) ； (可逆矩阵不影响矩阵max( r (A), r(B) r (A, B ) r (A) r (B)；(探)r (A B)乞 r (A) - r (B)； (探)r(AB) _min(r(A),r(B)；(探)如果A是m5矩阵，B是n矩阵，且I、B的列向量全部是齐次方程组U、 r(A) r(B) 2,:S线性相关，则 W2,Cs S 1必线性相关；若*2,:S线性无关，则：1,y s必线性无关；（向量的个数加加减 减，二者为对偶）若r维向量组A的每个向量上添上n-r个分量，构成n维向量

8、组B : 若A线性无关，则B也线性无关；反之若B线性相关，则A也线性 相关；（向量组的维数加加减减）简言之：无关组延长后仍无关，反之，不确定；7.向量组A (个数为r)能由向量组B (个数为S)线性表示，且A线 性无关，则S (二版P74定理7)；向量组A能由向量组B线性表示，则r( A K r(B)；(丘点定理3) 向量组A能由向量组B线性表示=AX =B有解；二 r(A) =r(A, B) ( P*5 定理 2)向量组A能由向量组B等价=r(A) = r(B) = r(A, B) ( P85定理2推论)8.方阵A可逆=存在有限个初等矩阵P, P?,Pi，使A = PRPi ；1、矩阵行等价

9、：AB PA =B (左乘，P可逆)=AX= 0与BX= 0同解2、矩阵列等价： A BU AQ= B3、矩阵等价：A B=PAQ=B(P、Q可逆)；9.对于矩阵Amn 与 Bin :1、若A与B行等价，则A与B的行秩相等；2、若A 与 B行等价，则AX=O与BX= 0同解，且A 与 B的任何对应的列 向量组具有相同的线性相关性；3、矩阵的初等变换不改变矩阵的秩；4、矩阵A的行秩等于列秩；10.若 Am SBS n =Cm n ， 则：1、C的列向量组能由A的列向量组线性表示，B为系数矩阵；2、C的行向量组能由B的行向量组线性表示，AT为系数矩阵；(转 置)11.齐次方程组BX =0的解一定是

10、ABX=0的解，考试中可以直接作为定 理使用，而无需证明；1、ABX =0只有零解=BX= 0只有零解；2、BX =0有非零解二.ABX= 0 一定存在非零解；12.设向量组Bn诚:b,b2,br可由向量组An遙:讣2,线性表示为：(Pi0题 19结论)(b, b2,br )=(a1, a2,aj K ( B=AK)其中K为S r，且A线性无关，则B组线性无关=r(K)= r ； ( B与K的列向量组具有相同线性相关性)(必要性:r =r (B) =r (AK ) r (K), r (K) r . r (K) = r ；充分性：反证法)注：当，s时，K为方阵，可当作定理使用；13.、对矩阵Am

11、n，存在Qnm , AQ=Em=(A) ”、Q的列向量线性无关； (P87 )、对矩阵Am用，存在Pnm， PA=En = r(A)= n、P的行向量线性无关； 14 ：1, ：2,S线性相关二存在一组不全为O的数K,k2,kS，使得kJ心2 2s = O成立；(定 义)X Vl=心1。2,4) =0有非零解，即Ax=O有非零解；15.设n的矩阵A的秩为r，则n元齐次线性方程组AX= 0的解集S的 秩为：r(S) =n -r ；16.若*为AX =b的一个解，1, 2，n丄为AX= 0的一个基础解系，则,丄线性无关；(Pm题33结论)5、相似矩阵和二次型Lb D1 b,bb2 =a 2b2,

12、ar 鸟”_ br 4,6 bb2, b2 Q 4, Q 丄3.对于普通方阵，不同特征值对应的特征向量线性无关; 对于实对称阵，不同特征值对应的特征向量正交；4.、A与B等价 A经过初等变换得到B ；二 PAQ =B , P、Q 可逆； =r(A) =r(B) , A、B 同型；2、A与B合同 =CTAC=B ,其中可逆；= XTAX与XTBX有相同的正、负惯性指数；3、A与B相似 U P -AP= B ；5.相似一定合同、合同未必相似；若C为正交矩阵，则CTAC=BhA=B，(合同、相似的约束条件不同, 相似的更严格)；6.A为对称阵，则A为二次型矩阵；7.n兀二次型XTAX为正定：-A的正惯性指数为n ；=A与E合同，即存在可逆矩阵C,使CTAC=E ；-A的所有特征值均为正数；U A的各阶顺序主子式均大于O ；N QA 0 ；(必要条件)