线性代数重要公式.docx

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线性代数重要公式

3.

4.

5.

【线性代数重要公式】

1、行列式

1.n行列式共有n2个元素，展开后有n!

项，可分解为2n行列式；

2.代数余子式的性质：

1、Aj和aj的大小无关；

2、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式为

3、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为IA；

代数余子式和余子式的关系：

Mij=（-1）ijAijAij=（J）ijMij

设n行列式D:

将D上、下翻转或左右翻转，所得行列式为D，则Di=（_1）（JD；将D顺时针或逆时针旋转90,所得行列式为D2,则D2=（-1）"TD；将D主对角线翻转后（转置），所得行列式为D3,则DD；将D主副角线翻转后，所得行列式为D4,则D"D；行列式的重要公式：

1、主对角行列式：

主对角元素的乘积；

2、副对角行列式：

副对角元素的乘积（-1）"（"■I）；

3

、上、下三角行列式（、二X）:

主对角元素的乘积;

④、匚和丄：

副对角元素的乘积（一1）"（T；

6、范德蒙行列式：

大指标减小指标的连乘积；

7、特征值；

6.对于n阶行列式A,恒有：

-AZ」（-1）kSk'njc,其中Sk为k阶主子式;

k=t7

7.证明A=0的方法：

①、A=-A；

2、反证法；

3、构造齐次方程组Ax=O,证明其有非零解;

4、利用秩，证明r（A）：

n；

⑤、证明O是其特征值；

2、矩阵

1.A是n阶可逆矩阵：

A-0（是非奇异矩阵）；

=r（A）=n（是满秩矩阵）

UA的行（列）向量组线性无关；

U齐次方程组AX=O有非零解；

=~bRn，AX=b总有唯一解；

UA与E等价；

-A可表示成若干个初等矩阵的乘积；

二A的特征值全不为0；

-ATA是正定矩阵；

=A的行（列）向量组是Rn的一组基；

UA是Rn中某两组基的过渡矩阵；

2.对于n阶矩阵A:

AA=AA=IAlE无条件恒成立；

3.（A丄）*=（A*）1（AI）T=（AT）1（A*）T=（AT）*

（AB）T=BTAT（AB）*=B*A*（AB）A=BAA亠

4.矩阵是表格，推导符号为波浪号或箭头；行列式是数值，可求代数和；

5.关于分块矩阵的重要结论，其中均A、B可逆：

A

若A=A匕，则：

I、AfA2IAS；

U、A―匚；

■

IA亠J

②、IOo卜处O!

；（主对角分块）

9B丿2B才

3、OO∣oB亠；（副对角分块）

IB0丿IA-Or

4、卜叮JA丄山七B十（拉普拉斯）

IOB丿（OB丄丿，

1.一一个men矩确定的：

总阵A,总可经过初等变换化为标准形，其标准形是唯一

HErOL；

仏OyA丄OY

ICB）=I-BJCA丄B-/，

3、矩阵的初等变换与线性方程组

等价类：

所有与A等价的矩阵组成的一个集合，称为一个等价类;标准形为其形状最简单的矩阵；

⑤、

（拉普拉斯）

对于同型矩阵A、B，若r（A）=r（B）=A=B；

2.行最简形矩阵：

1、只能通过初等行变换获得；

2、每行首个非O元素必须为1；

3、每行首个非O元素所在列的其他元素必须为0；

3.初等行变换的应用：

（初等列变换类似，或转置后采用初等行变换）

1、若（A,E）I（E,X），则A可逆，且X=A丄；

2、对矩阵（A,B）做初等行变化，当A变为E时，B就变成AdB，即:

C

（A,B）√E,A丄B）；

③、求解线形方程组:

对于n个未知数n个方程Ax=b，如果（A,b）二（E,X），

则A可逆，且X=A丄b；

4.初等矩阵和对角矩阵的概念：

1、初等矩阵是行变换还是列变换，由其位置决定：

左乘为初等行矩阵、右乘为初等列矩阵；

2、A=，左乘矩阵A，入乘A的各行元素；右乘，花乘A的

'、、一入丿

各列元素；

r1、

1

广1A

1

1

I1丿

I1丿

AB=0，贝则：

（

AX=0解（转置运算后的结论）；

③、对调两行或两列，符号E（i,j）,且E（i,j宀E（i,j）,例如:

例如：

④、倍乘某行或某列，符号E（i（k）），且E（i（k））-=E（i

1f1

1_k

1

k

1

1丿

矩阵秩的基本性质:

①、

②、

③、

④、

的秩）

⑤、

⑥、

⑦、

⑧、

5.

0

⑤、倍加某行或某列，符号E（ij（k））,且E（ij（k））A=E（ij（-k））

1-k

1

1

r（AT）=r（A）；

若A=B,贝Ur（A）=r（B）；

若P、Q可逆，则r（A）=r（PA）=r（AQ）=r（PAQ）；（可逆矩阵不影响矩阵

max（r（A）,r（B））

r（A■B）乞r（A）-r（B）；（探）

r（AB）_min（r（A）,r（B））；（探）

如果A是m5矩阵，B是n"矩阵，且

I、B的列向量全部是齐次方程组

U、r（A）r（B）

⑨、若A、B均为n阶方阵，则r（AB）_r（A）r（B）-n；

6.三种特殊矩阵的方幂：

1、秩为1的矩阵：

一定可以分解为列矩阵（向量）/亍矩阵（向量）的形式，再采用结合律；

'1aC

2、型如01b的矩阵：

利用二项展开式；

Q01J

二项展开式：

（a+b）n=Can+cnan*卄+Cman^bm卄+cΓa1bn→Cnbn=丈Cmambj；

mZe

A

注：

1、（a∙b）n展开后有nT项；

□、审=皿Z1）—C0=Cn=I

1雷會ggmm!

（n_m）!

川、组合的性质：

Cm=CnnJmCm1=Cnm-CnmlJCn=2"rCnr=nCnT；

r_0,7

③、利用特征值和相似对角化：

7.伴随矩阵：

fnr（A）=n

1、伴随矩阵的秩：

r（A*）=1

0r（A）：

：

：

n-1

2、伴随矩阵的特征值：

A（AX-X,A=AA律A*X=AX）；

λλ

^③、IA=IAIA丄、A=IAn丄

8.关于A矩阵秩的描述：

1、r（A）=n，A中有n阶子式不为0,n1阶子式全部为0；（两句话）

2、r（A）：

:

n，A中有n阶子式全部为0；

3、r（A）_n，A中有n阶子式不为0；

9.线性方程组：

Ax=b，其中A为mn矩阵，贝I」：

1、m与方程的个数相同，即方程组A^b有m个方程；

2、n与方程组得未知数个数相同，方程组A^b为n元方程；

10.线性方程组A^b的求解：

1、对增广矩阵B进行初等行变换（只能使用初等行变换）；

2、齐次解为对应齐次方程组的解；

Pm1am2

am^Xm/

n个未知数）

3.

4.

5.

込nJ

4、aXl≡2X2加-HanXn=I（线性表出）

5、有解的充要条件：

r（A）=r（A,尢n（n为未知数的个数或维数）

1.

"m构成nxm矢矩阵A=（耳,®，…，。

m）；

4、向量组的线性相关性

m个n维列向量所组成的向量组A:

:

1,"

m个n维行向量所组成的向量组B:

P/,⅛r,…鹿构成mxn矩阵

含有有限个向量的有序向量组与矩阵对应；

1

2.

、向量组的线性相关、无关=AX=O有、无非零解；（齐次线

性方程组）

2、向量的线性表出二A^b是否有解；（线性方程组）

3、向量组的相互线性表示UAX=B是否有解；（矩阵方程）矩阵Am.与Bi/亍向量组等价的充分必要条件是：

齐次方程组AX=0和

BX=0同解；（PiOi例14）

r（ATA）=r（A）；（PiOi例15）

n维向量线性相关的几何意义：

1、，线性相关0；

2、：

J线性相关二：

J坐标成比例或共线（平行）；

3、：

；线性相关U「，共面；

6.

线性相关与无关的两套定理：

若h,>2,…,:

'S线性相关，则W2,…CsS1必线性相关；

若*2,…,:

S线性无关，则：

1,ys」必线性无关；（向量的个数加加减减，二者为对偶）

若r维向量组A的每个向量上添上n-r个分量，构成n维向量组B:

若A线性无关，则B也线性无关；反之若B线性相关，则A也线性相关；（向量组的维数加加减减）

简言之：

无关组延长后仍无关，反之，不确定；

7.向量组A（个数为r）能由向量组B（个数为S）线性表示，且A线性无关，则^S（二版P74定理7）；

向量组A能由向量组B线性表示，则r（AKr（B）；（丘点定理3）向量组A能由向量组B线性表示

=AX=B有解；

二r（A）=r（A,B）（P*5定理2）

向量组A能由向量组B等价=r（A）=r（B）=r（A,B）（P85定理2推论）

8.方阵A可逆=存在有限个初等矩阵Pι,P?

…,Pi，使A=PR…Pi；

1、矩阵行等价：

A~BPA=B（左乘，P可逆）=AX=0与BX=0同解

2、矩阵列等价：

A~BUAQ=B

3、矩阵等价：

A~B=PAQ=B（P、Q可逆）；

9.对于矩阵Amn与Bin:

1、若A与B行等价，则A与B的行秩相等；

2、若A与B行等价，则AX=O与BX=0同解，且A与B的任何对应的列向量组具有相同的线性相关性；

3、矩阵的初等变换不改变矩阵的秩；

4、矩阵A的行秩等于列秩；

10.若AmSBSn=Cmn，则：

1、C的列向量组能由A的列向量组线性表示，B为系数矩阵；

2、C的行向量组能由B的行向量组线性表示，AT为系数矩阵；（转置）

11.齐次方程组BX=0的解一定是ABX=0的解，考试中可以直接作为定理使用，而无需证明；

1、ABX=0只有零解=BX=0只有零解；

2、BX=0有非零解二.ABX=0一定存在非零解；

12.设向量组Bn诚:

b,b2,…,br可由向量组An遙:

讣2,…,线性表示为：

（Pi0题19结论）

（b,b2,…,br）=（a1,a2,…,ajK（B=AK）

其中K为Sr，且A线性无关，则B组线性无关=r（K）=r；（B与K的列

向量组具有相同线性相关性）

（必要性:

''r=r（B）=r（AK）

反证法）

注：

当，s时，K为方阵，可当作定理使用；

13.①、对矩阵Amn，存在Qnm,AQ=Em=「（A）”、Q的列向量线性无关；（P87）

②、对矩阵Am用，存在Pnm，PA=En=r（A）=n、P的行向量线性无关；14∙：

'1,：

2,…,〉S线性相关

二存在一组不全为O的数K,k2,…,kS，使得kJ心2•…2s=O成立；（定义）

XVl

=心1。

2,…4）[=0有非零解，即Ax=O有非零解；

15.设^n的矩阵A的秩为r，则n元齐次线性方程组AX=0的解集S的秩为：

r（S）=n-r；

16.若*为AX=b的一个解，1,2「，n丄为AX=0的一个基础解系，则

…,©丄线性无关；（Pm题33结论）

5、相似矩阵和二次型

Lb^D1[b,b]

b2=a2

[b2,ar]鸟”_[br4,6]b

[b2,b2][Q4,Q丄]

3.对于普通方阵，不同特征值对应的特征向量线性无关;对于实对称阵，不同特征值对应的特征向量正交；

4.①、A与B等价A经过初等变换得到B；

二PAQ=B,P、Q可逆；=r（A）=r（B）,A、B同型；

2、A与B合同=CTAC=B,其中可逆；

=XTAX与XTBX有相同的正、负惯性指数；

3、A与B相似UP-AP=B；

5.相似一定合同、合同未必相似；

若C为正交矩阵，则CTAC=BhA=B，（合同、相似的约束条件不同,相似的更严格）；

6.A为对称阵，则A为二次型矩阵；

7.n兀二次型XTAX为正定：

-A的正惯性指数为n；

=A与E合同，即存在可逆矩阵C,使CTAC=E；

-A的所有特征值均为正数；

UA的各阶顺序主子式均大于O；

NQ∣A∣0；（必要条件）