完整版全等三角形的经典模型一.docx

1、完整版全等三角形的经典模型一全等三角形的经典模型（一）漫画释义作弊？三角形 7 级 倍长中线与截长补短三角形 9 级全等三角形的经典模型（二）三角形 8 级全等三角形的经典模型（一）满分晋级秋季班第二讲秋季班第三讲秋季班第四讲等腰直角三角形数学模型思路：利用特殊边特殊角证题（ AC=BC 或 90，45 ，45 ）.如图 1；常见辅助线为作高，利用三线合一的性质解决问题 . 如图 2；补全为正方形 . 如图 3， 4.典题精练解析】例 1】已知：如图所示， RtABC 中，AB=AC， BAC 90，O 为 BC的中点，写出点 O 到 ABC 的三个顶点 A、B、C 的距离的关系（不要 求证明

2、）如果点 M、N 分别在线段 AC、 AB上移动，且在移动中保持 AN=CM.试判断 OMN 的形状，并证明你的结论 .如果点 M、 N 分别在线段 CA、 AB 的延长线上移动，且在移动中 保持 AN=CM，试判断中结论是否依然成立，如果是请给出证明证明： BAC=90， AB=AC，O 为 BC 中点 BAO=OAC=ABC=ACB=45， AO=BO=OC， 在 ANO 和 CMO 中，AN CMBAO CAO CO ANO CMO （ SAS）ON=OM，AON=COM， 又 COM AOM =90， OMN 为等腰直角三角形两个全等的含 30o ， 60o角的三角板 ADE和三角板

3、ABC ，如 图所示放置， E,A,C 三点在一条直线上，连接 BD，取 BD的 中点 M ，连接 ME ，MC 试判断 EMC 的形状， 并说明理由解析】 EMC 是等腰直角三角形证明：连接 AM 由题意，得DE AC, DAE BAC 90o , DAB 90.o DAB 为等腰直角三角形 . DM MB ， MA MB DM , MDA MAB 45o MDE MAC 105o ， EDM CAM EM MC, DME AMC 又 EMC EMA AMC EMA DME 90o CM EM ， EMC 是等腰直角三角形例 3】 已知：如图， ABC 中， AB AC ， BAC 点， A

4、F BD于 E，交 BC于F，连接 DF 求证： ADB CDF 12AB AC3C ABM CAF AM CF 在 ADM 和 CDF 中 ，AD CDDAM CAM CF ADM CDF ADB CDF 证法二：如图，作 CM AC 交 AF 的延长线于 M AF BD ， 3 2 90， BAC 90， 1 2 90 ， 1 3 M在 ACM 和 BAD 中，13 AC ABACM BAD 90 ACM BAD M ADB ， AD CM AD DC ， CM CD 在 CMF 和 CDF 中，CF CFMCF DCF 45CM CD CMF CDF M CDF ADB CDF 解析】

5、补 全正方形 ACBD ，连接 DP，BAD 45 ，易证 ADP 是等边三角形， DAP 60 ，BAP 15 ， PAC 30 ， ACP 75 ，BCP 15【探究对象】等腰直角三角形添补成正方形的几种常见题型 在解有关等腰直角三角形中的一些问题， 若遇到不易解决或解法比较复杂时， 可将等腰 直角三角形引辅助线转化成正方形， 再利用正方形的一些性质来解， 常常可以起到化难为易 的效果，从而顺利地求解。例 4 为求角度的应用，其他应用探究如下：【探究一】证角等【备选 1】如图， Rt ABC中， BAC=90，AB=AC，M为AC中点，连结 BM ，作ADBM 交 BC 于点 D，连结 D

6、M，求证 :AMB=CMD 解析】 作 等腰 RtABC 关于 BC 对称的等腰 Rt BFC ，延长 AD 交 CF 于点 N， ANBM，由正方形的性质，可得 AN=BM ，易证 RtABM RtCAN， AMB = CND ，CN =AM ，M 为 AC 中点， CM =CN ， 1=2，可证得 CMD CND， CND = CMD ， AMB = CMD 探究二】判定三角形形状备选 2】如图， RtABC中， BAC= 90，AB=AC，AD=CE，ANBD于点M，延长 BD 交 NE 的延长线于点 F ，试判定 DEF 的形状解析】 作 等腰 RtABC 关于 BC 对称的等腰 Rt

7、 BHC， 可知四边形 ABHC 为正方形，延长 AN 交 HC 于点 K ， AKBD，可知 AK=BD ，易证 :RtABDRtCAK， ADB=CKN ，CK=AD， AD=EC，CK=CE， 易证CKNCEN， CKN=CEN， 易证 EDF = DEF ， DEF 为等腰三角形探究三】利用等积变形求面积备选 3】如图， RtABC 中， A=90，AB=AC，D 为 BC 上一点， DEAC，DFAB， 且 BE=4，CF=3，求 S 矩形 DFAE解析】 作 等腰 RtABC 关于 BC 的对称的等腰 可知四边形 ABGC 为正方形，分别延长可知 DN=EB=4，DM=FC=3，

8、由正方形对称性质，可知 S 矩形 DFAE=S 矩形 DMGN =DM DN=3 4=12探究四】求线段长备选 4】如图， ABC 中， AD BC于点 D，BAC=45，BD=3，CD=2，求 AD 的长分析】 此题若用面积公式结合勾股定理再列方程组求解是可以的， 但解法太繁琐， 本题尽 管已知条件不是等腰直角三角形， 但 BAC =45，若分别以 AB、AC 为对称轴作 RtADB 的对称直角三角形和 Rt ADC 的对称直角三角形，这样就出现两边相等 且夹角为 90的图形，满足等腰直角三角形的条件，然后再引辅助线使之转化为正 方形解析】 以 AB 为轴作 Rt ADB 的对称的 RtAE

9、B，再以 AC 为轴作 RtADC 的对称的 RtAFC可知 BE=BD=3，FC=CD=2，延长 EB、 FC 交点 G， BAC=45， 由对称性，可得 EAF=90，且 AE=AD=AF， 易证四边形 AFGE 为正方形，且边长等于 AD， 设 AD = x，则 BG=x3， CG=x2，在Rt BCG中，由勾股定理，得 x 22 x 3 2 52，解得 x=6，即 AD=6 探究五】求最小值的动点，求 PM+PC 的最小值解析】 将原图形通过引辅助线化归为正方形，即作 RtACB 关于 AB 对称的 RtADB ，可知四边形 ACBD 为正方形，连接 CD，可知点 C关于 AB 的对称

10、点 D，连接 MD 交 AB 于点 P，连接 CP，则 PM+PC 的值为最小，最小值为 :PM+PC=DM= 42 22 2 5 常见三垂直模型已知 ABBD，ED BD，AB=CD，BC=DE，求证： ACCE；若将 CDE 沿 CB 方向平移得到等不同情形， AB C1D ，其余条件不变，试判断 AC C1E 这一结论是否成立？若成立，给予证明；若不成立，请说明理由解析】 ABBD，ED BD B D 90在 ABC 与 CDE 中AB CDBDBC DE ABC CDE （ SAS） 1 E 2 E 90 ACE 90 ,即 AC CE 图 四种情形中，结论永远成立，证明方法与完全类似

11、，只要证明 ABC C1 DEACB C1EDACC1E例 5】 正方形 ABCD 中，点 A 、 B 的坐标分别为 0 ，10 ， 8 ，4 ，点 C 在第一象限求 正方形边长及顶点 C 的坐标（计算应用：在直角三角形中，两条直角边的平方和 等于斜边的平方 . ）解析】 过点 C作CGx轴于 G，过 B作 BEy轴于 E，并反向延长交 CG于F 点 A 、 B 的坐标分别为 0 ，10 ， 8 ，4BE=8， AE=6， AB=10 四边形 ABCD 是正方形， AB=BC 1 3 90 2 3 90 1 2 AEB BFC 90 AEB BFC CF=BE=8，BF=AE=6 CG=12

12、EF=14C（14， 12），正方形的边长为 10 点评】 此 题中三垂直模型：例 6】如图所示， 在直角梯形 ABCD 中， AB BC， E是 AB的中点， CE 求证： BE AD ； 求证： AC 是线段 ED 的垂直平分线； DBC 是等腰三角形吗？请说明理由解析】 ABC 90 ， BD EC ， ECB DBC 90 ， ABDDBC90 ， ECBABD ， ABC DAB 90 ， AB BC BAD CBE ， ADBEE是 AB中点，EB EA 由 得： AD BE ， AEAD AD BC ， CADACB45 ， BAC 45 ， BACDAC由等腰三角形的性质，得：

13、EMMD ，AM DE即 AC 是线段 ED 的垂直平分线 DBC 是等腰三角形， CD BD 由得： CD CE ，由 得： CE BD CD BD ， DBC 是等腰三角形【例7】 如图 1，ABC 是等边三角形， D、E分别是 AB、BC上的点，且 BD=CE，连接 AE、 CD相交于点 P请你补全图形，并直接写出 APD 的度数= ； 如图 2，Rt ABC 中， B=90，M、N 分别是 AB、BC 上的点，且 AM=BC、BM=CN， 连接 AN、CM 相交于点 P请你猜想解析】 延长 AE交 BC 的延长线于 FBE AF ， ACB 90 FAC DBC 在AFC 和BDC 中

14、， FAC DBCAC BCACF BCDAFC BDC（ASA ） AF=BD1 又 AE BD2 AE 1 AF EF2BE 是 AF 的中垂线 BA=BF BD 平分 ABC训练 2. 已知，在正方形 ABCD 中，E 在 BD 上，DG CE 于 G，DG 交 AC 于 F.求证：OE=OF解析】 ABCD 是正方形OD=OCDOC 90DGCE DGC 90 DOCDGC OFDGFCDODF ECO 在DOF 和COE 中， DOF COEOD OCODF OCE DOF COE（ASA ） OE=OF训练3. 已知：如图， ABC 中， AB AC， BAC 90， D是BC 的

15、中点， AF BE于解析】G 求证： DH DF AB AC ， BAC 90 ， D 是 BC 的中点 AD=BD=CD ， AD BC ADB 90 AF BEAGH 90DBE DAF 在 BDH 和ADF 中，DFDBH DAFBD ADADB ADF BDH ADF（ ASA ） DH=DF训练 4.如图，已知矩形 ABCD 中，E是AD 上的一点， F是 AB上的一点，EFEC，且EF =EC， DE=4cm，矩形 ABCD 的周长为 32cm，求 AE 的长 解析】 在 Rt AEF 和RtDEC 中， EFCE， FEC=90， AEF + DEC =90，而 ECD +DEC

16、 =90， AEF= ECD又 FAE=EDC=90EF=EC RtAEFRtDCEAE=CD AD =AE+4矩形 ABCD 的周长为 32 cm ， 2（AE+AE+4）=32解得 AE=6 cm 复习巩固题型一 等腰直角三角形模型 巩固练习 【练习1】如图， ACB、 ECD 均为等腰直角三角形， BDC 全等的三角形为 .【解析】 AEC则图中与练习 2】 如图，已知 Rt ABC 中 ACB 90 BC 的中点， CE AD ，垂足为 E AC 2BF ， ACBF BC ， D 是AC ，交 CE 的延长线于点 F 求证：解析】 ACB ACD90， BF CBFAC，90题型CA

17、D AD ， FCB ADC CAD FCB 又 AC CB ， ADC CFB DC FB D 是 BC 的中点， BC 2BF ， 即 AC 2BF ADC CE9090三垂直模型 巩固练习ADAB），点 E 在 BC 上，且 AE =AD，练习 3】 已知：如图，四边形 ABCD 是矩形DF AE，垂足为 F请探求 DF 与 AB 有何数量关系？写出你所得到的结论并 给予证明解析】 经 探求，结论是： DF = AB 证明如下：四边形 ABCD 是矩形， B= 90o ， ADBC， DAF = AEBDF AE， AFD = 90o ，AE = AD ，ABE DFAAB = DF 练

18、习 5】 四边形 ABCD 是正方形如图 1，点 G 是 BC 边上任意一点 （不与 B、C 两点重合 ），连接 AG，作 BFAG 于点 F，DEAG 于点 E求证： ABF DAE；在中，线段 EF 与 AF、BF 的等量关系是 （直接写出结论即可，不需要证明 ）；如图 2，点 G 是 CD 边上任意一点 （不与 C、D 两点重合 ），连接 AG，作 BF AG 于点 F，DE AG于点 E那么图中全等三角形是 ，线段 EF 与 AF、BF 的等量关系是 （直接写出结论即可，不需要证明）解析】 在正方形 ABCD 中， AB=AD ， BAFDAE90Q BAFABF90 ABFDAE在A

19、BF 和 DAE 中ABFDAE,AFBDEA,AB DA,BAD 90 ABF DAE （ AAS ） EF AF BF ABF DAEEF BF AF测试1. 问题：已知ABC中， BAC 2 ACB ，点D是 ABC内的一点， 且AD CD，BD BA探究 DBC 与 ABC 度数的比值 请你完成下列探究过程： 先将图形特殊化，得出猜想，再对一般情况进行分析并加以证明 当 BAC 90 时，依问题中的条件补全右图 观察图形， AB与 AC的数量关系为 ；当推出 DAC 15 时，可进一步推出 DBC 的度数为 ；可得到 DBC 与 ABC 度数的比值为 （2010 北京中考）解析】 相等

20、 ；15； 1:3A10cm ， BC 5cm ，一条线段 PQ=AB， P， AC 的射线 AM 上运动 . 当 ABC 和 APQ测试2. 已知：如图，在 ABC 中， ACB 90 ，CD AB于点 D，点E在 AC上，CE=BC， 过 E 点作 AC 的垂线，交 CD 的延长线于点 F. 求证： AB=FC.F解析】 FE AC 于点 E ， ACB 90 FEC ACB 90 F ECF 90 又CD AB 于点 D， A ECF 90 A F 在 ABC 和 FCE 中，A F, ACB FEC,BC CE, ABC FCE AB FC 测试 3. 如图， Rt ABC 中， C=90 , AC Q 两点分别在 AC 上和过 A 点且垂直于 全等时 ,点 Q 到点 A 的距离为 5cm 或 10cm.