完整版全等三角形的经典模型一.docx
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完整版全等三角形的经典模型一
全等三角形的
经典模型
（一）
漫画释义
作弊？
三角形7级倍长中线与截长补短
三角形9级
全等三角形的经典模型
（二）
三角形8级
全等三角形的经典模型
（一）
满分晋级
秋季班第二讲
秋季班第三讲
秋季班第四讲
等腰直角三角形数学模型思路：
⑴利用特殊边特殊角证题（AC=BC或90°，45，45）.如图1；
⑵常见辅助线为作高，利用三线合一的性质解决问题.如图2；
⑶补全为正方形.如图3，4.
典题精练
解析】
例1】
已知：
如图所示，Rt△ABC中，AB=AC，BAC90°，O为BC的中点，
⑴写出点O到△ABC的三个顶点A、B、C的距离的关系（不要求证明）
⑵如果点M、N分别在线段AC、AB上移动，且在移动中保持AN=CM.试判断△OMN的形状，并证明你的结论.
⑶如果点M、N分别在线段CA、AB的延长线上移动，且在移动中保持AN=CM，试判断⑵中结论是否依然成立，如果是请给出证明．
证明：
∵∠BAC=90°，AB=AC，O为BC中点∴∠BAO=∠OAC=∠ABC=∠ACB=45°，∴AO=BO=OC，
∵在△ANO和△CMO中，
ANCM
BAOC
AOCO
∴△ANO≌△CMO（SAS）
∴ON=OM，∠AON=∠COM，又∵∠COM∠AOM=90°，∴△OMN为等腰直角三角形．
两个全等的含30o，60o角的三角板ADE和三角板ABC，如图所示放置，E,A,C三点在一条直线上，连接BD，取BD的中点M，连接ME，MC．试判断△EMC的形状，并说明理由．
解析】△EMC是等腰直角三角形
证明：
连接AM．由题意，得
DEAC,DAEBAC90o,DAB90.o∴△DAB为等腰直角三角形.
∵DMMB，
∴MAMBDM,MDAMAB45o．
∴MDEMAC105o，
∴△EDM≌△CAM．
∴EMMC,DMEAMC．
又EMCEMAAMCEMADME90o．
∴CMEM，
∴△EMC是等腰直角三角形．
例3】已知：
如图，△ABC中，ABAC，BAC点，AFBD于E，交BC于F，连接DF．求证：
ADBCDF．
12
ABAC
3C
∴△ABM≌△CAF．∴AMCF．
在△ADM和△CDF中，
ADCD
DAMC
AMCF
∴△ADM≌△CDF．
∴ADBCDF．
证法二：
如图，作CMAC交AF的延长线于M．
∵AFBD，∴3290°，
∵BAC90°，
∴1290°，
∴13．
M
在△ACM和△BAD中，
13ACAB
ACMBAD90°
∴△ACM≌△BAD．
∴MADB，ADCM
∵ADDC，∴CMCD．
在△CMF和△CDF中，
CFCF
MCFDCF45°
CMCD
∴△CMF≌△CDF．∴MCDF∴ADBCDF．
解析】补全正方形ACBD，连接DP，
BAD45，
易证△ADP是等边三角形，DAP60，
BAP15，PAC30，∴ACP75，
BCP15
【探究对象】等腰直角三角形添补成正方形的几种常见题型在解有关等腰直角三角形中的一些问题，若遇到不易解决或解法比较复杂时，可将等腰直角三角形引辅助线转化成正方形，再利用正方形的一些性质来解，常常可以起到化难为易的效果，从而顺利地求解。
例4为求角度的应用，其他应用探究如下：
【探究一】证角等
【备选1】如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，M为AC中点，连结BM，作AD⊥BM交BC于点D，连结DM，求证:
∠AMB=∠CMD．
解析】作等腰Rt△ABC关于BC对称的等腰Rt△BFC，延长AD交CF于点N，∵AN⊥BM，由正方形的性质，可得AN=BM，
易证Rt△ABM≌Rt△CAN，∴∠AMB=∠CND，CN=AM，
∵M为AC中点，∴CM=CN，
∵∠1=∠2，可证得△CMD≌△CND，
∴∠CND=∠CMD，
∴∠AMB=∠CMD．
探究二】判定三角形形状
备选2】如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AD=CE，AN⊥BD于点M，延长BD交NE的延长线于点F，试判定△DEF的形状．
解析】作等腰Rt△ABC关于BC对称的等腰Rt△BHC，可知四边形ABHC为正方形，延长AN交HC于点K，∵AK⊥BD，可知AK=BD，易证:
Rt△ABD≌Rt△CAK，∴∠ADB=∠CKN，CK=AD，∵AD=EC，∴CK=CE，易证△CKN≌△CEN，∴∠CKN=∠CEN，易证∠EDF=∠DEF，∴△DEF为等腰三角形．
探究三】利用等积变形求面积
备选3】如图，Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC，D为BC上一点，DE∥AC，DF∥AB，且BE=4，CF=3，求S矩形DFAE．
解析】作等腰Rt△ABC关于BC的对称的等腰可知四边形ABGC为正方形，分别延长
可知DN=EB=4，DM=FC=3，由正方形对称性质，
可知S矩形DFAE=S矩形DMGN=DM·DN=34=12．
探究四】求线段长
备选4】如图，△ABC中，AD⊥BC于点D，∠BAC=45°，BD=3，CD=2，求AD的长．
分析】此题若用面积公式结合勾股定理再列方程组求解是可以的，但解法太繁琐，本题尽管已知条件不是等腰直角三角形，但∵∠BAC=45°，若分别以AB、AC为对称轴作Rt△ADB的对称直角三角形和Rt△ADC的对称直角三角形，这样就出现两边相等且夹角为90°的图形，满足等腰直角三角形的条件，然后再引辅助线使之转化为正方形．
解析】以AB为轴作Rt△ADB的对称的Rt△AEB，再以AC为轴作Rt△ADC的对称的Rt△AFC．
可知BE=BD=3，FC=CD=2，
延长EB、FC交点G，∵∠BAC=45°，由对称性，可得∠EAF=90°，且AE=AD=AF，易证四边形AFGE为正方形，且边长等于AD，设AD=x，则BG=x－3，CG=x－2，
在Rt△BCG中，由勾股定理，得x22x3252，
解得x=6，即AD=6．
探究五】求最小值
的动点，求PM+PC的最小值．
解析】将原图形通过引辅助线化归为正方形，即作Rt△ACB关于AB对称的Rt△ADB，
可知四边形ACBD为正方形，连接CD，可知点C关于AB的对称点D，连接MD交AB于点P，连接CP，则PM+PC的值为最小，最小值为:
PM+PC=DM=422225．
常见三垂直模型
已知AB⊥BD，ED⊥BD，AB=CD，BC=DE，⑴求证：
AC⊥CE；
⑵若将△CDE沿CB方向平移得到①②③④等不同情形，ABC1D，
其余条件不变，试判断AC⊥C1E这一结论是否成立？
若成立，给予证
明；若不成立，请说明理由
①
解析】⑴∵AB⊥BD，ED⊥BD
∴BD90
在△ABC与△CDE中
ABCD
BD
BCDE
∴△ABC≌△CDE（SAS）
∴1E
∵2E90
∴ACE90,即AC⊥CE
⑵图①②③④四种情形中，结论永远成立，证明方法与⑴完全类似，只要证明
△ABC≌△C1DE
ACBC1ED
∴AC⊥C1E
例5】正方形ABCD中，点A、B的坐标分别为0，10，8，4，点C在第一象限．求正方形边长及顶点C的坐标．（计算应用：
在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方.）
解析】过点C作CG⊥x轴于G，过B作BE⊥y轴于E，并反向延长交CG于F点A、B的坐标分别为0，10，8，4
∴BE=8，AE=6，∴AB=10∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC∵13902390∴12
∵AEBBFC90∴△AEB≌△BFC∴CF=BE=8，BF=AE=6∴CG=12EF=14
∴C（14，12），正方形的边长为10点评】此题中三垂直模型：
例6】
如图所示，在直角梯形ABCD中，ABBC，E是AB的中点，CE⑴求证：
BEAD；
⑵求证：
AC是线段ED的垂直平分线；
⑶△DBC是等腰三角形吗？
请说明理由．
解析】⑴∵
ABC90，BDEC，
∴ECBDBC90，ABD
DBC
90，∴ECB
ABD，
∵ABCDAB90，ABBC
∴△BAD≌△CBE，∴AD
BE．
⑵∵
E是AB中点，∴EBEA由⑴得：
ADBE，∴AE
AD
∵AD∥BC，∴CAD
ACB
45，
∵BAC45，∴BAC
DAC
由等腰三角形的性质，得：
EM
MD，
AMDE
即AC是线段ED的垂直平分线．
⑶△DBC是等腰三角形，CDBD由⑵得：
CDCE，由⑴得：
CEBD∴CDBD，∴△DBC是等腰三角形．
【例7】⑴如图1，△ABC是等边三角形，D、E分别是AB、BC上的点，且BD=CE，连接AE、CD相交于点P．请你补全图形，并直接写出∠APD的度数=；⑵如图2，Rt△ABC中，∠B=90°，M、N分别是AB、BC上的点，且AM=BC、BM=CN，连接AN、CM相交于点P．请你猜想∠
解析】延长AE交BC的延长线于F
∵BE⊥AF，ACB90
∴FACDBC
∴在△AFC和△BDC中，FACDBC
ACBC
ACFBCD
∴△AFC≌△BDC（ASA）∴AF=BD
1又∵AEBD
2
∴AE1AFEF
2
∴BE是AF的中垂线∴BA=BF∴BD平分ABC
训练2.已知，在正方形ABCD中，E在BD上，DG⊥CE于G，DG交AC于F.求证：
OE=OF
解析】
∵ABCD是正方形
∴OD=OC
DOC90
∵DG⊥CE
∴DGC90
∴DOC
DGC∵OFD
GFC
D
ODFECO在△DOF和△COE中，DOFCOE
ODOC
ODFOCE
∴△DOF≌△COE（ASA）
∴OE=OF
训练3.已知：
如图，△ABC中，ABAC，BAC90°，D是BC的中点，AFBE于
解析】
G．求证：
DHDF
∵ABAC，BAC90°，D是BC的中点∴AD=BD=CD，AD⊥BC
∴ADB90
∵AFBE
AGH90
DBEDAF在△BDH和△ADF中，
DF
DBHDAF
BDAD
ADBADF
∴△BDH≌△ADF（ASA）∴DH=DF
训练4.
如图，已知矩形ABCD中，E是AD上的一点，F是AB上的一点，
EF⊥EC，且
EF=EC，DE=4cm，矩形ABCD的周长为32cm，求AE的长．解析】在Rt△AEF和Rt△DEC中，∵EF⊥CE，∴∠FEC=90°，
∴∠AEF+∠DEC=90°，而∠ECD+∠DEC=90°，∴∠AEF=∠ECD．
又∠FAE=∠EDC=90°．EF=EC∴Rt△AEF≌Rt△DCE．
∴AE=CD．
∴AD=AE+4．
∵矩形ABCD的周长为32cm，∴2（AE+AE+4）=32．
解得AE=6cm．
复习巩固
题型一等腰直角三角形模型巩固练习【练习1】如图，△ACB、△ECD均为等腰直角三角形，
△BDC全等的三角形为.
【解析】△AEC
则图中与
练习2】如图，已知Rt△ABC中ACB90°BC的中点，CEAD，垂足为E．AC2BF．
，AC
BF∥
BC，D是
AC，交CE的延长线于点F．求证：
解析】∵ACB
∴ACD
90°，BF∥CBF
AC，
90°
题型
CADAD，∴FCBADC∴CADFCB．又∵ACCB，∴△ADC≌△CFB．∴DCFB．∵D是BC的中点，∴BC2BF，即AC2BF．
ADC∵CE
90°．
90°
三垂直模型巩固练习
AD>AB），点E在BC上，且AE=AD，
练习3】已知：
如图，四边形ABCD是矩形
DF⊥AE，垂足为F．请探求DF与AB有何数量关系？
写出你所得到的结论并给予证明．
解析】经探求，结论是：
DF=AB．证明如下：
四边形ABCD是矩形，∠B=90o，AD∥BC，∠DAF=∠AEB．
DF⊥AE，∴∠AFD=90o，
AE=AD，
△ABE≌△DFA．
AB=DF．
练习5】四边形ABCD是正方形．
⑴如图1，点G是BC边上任意一点（不与B、C两点重合），连接AG，作BF⊥AG于点F，DE⊥AG于点E．求证：
△ABF≌△DAE；
⑵在⑴中，线段EF与AF、BF的等量关系是（直接写出结论即可，
不需要证明）；
⑶如图2，点G是CD边上任意一点（不与C、D两点重合），连接AG，作BF⊥AG于点F，DE⊥AG于点E．那么图中全等三角形是，线段EF与AF、
BF的等量关系是（直接写出结论即可，不需要证
明）．
解析】⑴在正方形ABCD中，AB=AD，
∴BAF
DAE
90°
QBAF
ABF
90
∴ABF
DAE
在△ABF和△DAE中
ABF
DAE,
AFB
DEA,
ABDA,
BAD90
∴△ABF≌△DAE（AAS）
⑵EFAFBF
⑶△ABF≌△DAE
EFBFAF
测试1.问题：
已知△ABC中，BAC2ACB，点D是△ABC内的一点，且ADCD，
BDBA．探究DBC与ABC度数的比值．请你完成下列探究过程：
先将图形特殊化，得出猜想，再对一般情况进行分析并加以证明．当BAC90时，依问题中的条件补全右图．观察图形，AB与AC的数量关系为；
当推出DAC15时，可进一步推出DBC的度数为；
可得到DBC与ABC度数的比值为．
（2010北京中考）
解析】相等；15°；1:
3
A
10cm，BC5cm，一条线段PQ=AB，P，AC的射线AM上运动.当△ABC和△APQ
测试2.已知：
如图，在△ABC中，ACB90，CDAB于点D，点E在AC上，CE=BC，过E点作AC的垂线，交CD的延长线于点F.求证：
AB=FC.
F
解析】∵FEAC于点E，ACB90
∴FECACB90°．
∴FECF90°．又∵CDAB于点D，∴AECF90°．
∴AF．
在△ABC和△FCE中，
AF,ACBFEC,
BCCE,
∴△ABC≌△FCE．
∴ABFC．
测试3.如图，Rt△ABC中，∠C=90°,ACQ两点分别在AC上和过A点且垂直于全等时,点Q到点A的距离为
5cm或10cm.
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