届河北省衡水中学高三第一次联合考试数学文试题解析版.docx

1、届河北省衡水中学高三第一次联合考试数学文试题解析版2020届河北省衡水中学高三第一次联合考试数学（文）试题一、单选题1 已知集合A x N x 6 ， B y y 2x,x A，则AI B中元素的个数是（ ）A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【答案】C【解析】用列举法依次表示出集合 A, B，再求出交集，再判断元素个数.【详解】解：t A x N x 6 ,- A 0,1,2,3,4,5 , 又 B y y 2x,x A , B 1,2,4,8,16,32 , AI B 1,2,4 ，有 3个元素,故选：C.【点睛】 本题主要考查用列举法表示集合，考查集合的交集运算，属于基础题.2 .已知

2、复数z满足z （1+i ）= 1+3i，其中i是虚数单位，设z是z的共轭复数，则z 的虚部是（ ）A. i B. 1 C.- i D.- 1【答案】D【解析】先根据复数代数形式的除法运算求出z，再根据共轭复数的定义写出 ，从而得出z的虚部.【详解】解： z 1 i 1 3i ,1 3i13i 1 iz1 i1i 1 i4 2i2故选： D【点睛】本题主要考查复数代数形式的除法运算， 考查共轭复数的定义及复数的虚部， 属于易错 题3. 等差数列an中，S为an的前n项和，若a?, 是关于x的一元二次方程x2- 4x+2=0的两个根，则S5=( )A. 5 B. 10 C. 12 D. 15【答案

3、】 B【解析】 由韦达定理得 a2 a4 4 ,再利用等差数列的性质即可得出结论.【详解】 解： a2,a4是关于x的一元二次方程 x2 4x 2 0的两个根,由韦达定理得a2 a4 4,由等差数列的性质得,a1 a5 a2 a42a34, S5 4 4 2 10 , 故选： B.【点睛】 本题主要考查等差数列的性质与前 n 项和的计算,属于基础题.4. 若f (x) = ex+ae-x是定义在R上的奇函数，则曲线 y = f (x)在点(0, f (0)处 的切线方程是( )A. y =- x B. y = x C. y=- 2x D. y = 2x【答案】 D【解析】由函数f(x)是定义在

4、R上的奇函数得f(0) 0，求出函数f(x)的解析式，再 求出 f (x) ,从而可求出切线方程.【详解】解：函数f(x)是定义在R上的奇函数， f (0) 1 a 0 ,得 a 1 , f (x) ex e x , f (x) ex e x ,第 2 页 共 20 页 f (0) 0 , f (0) 2 ,曲线y f (x)在点0, f(0)处的切线方程为 y 2x ,故选：D.【点睛】本题主要考查奇函数的定义及性质，考查利用函数的导数求曲线在某点处的切线方程,属于基础题.5.已知O O的半径为1, AB为圆上两点，且劣弧AB的长为1,则弦AB与劣弧AB所围成图形的面积为()1 11111

5、111 1A. -si n 1B.COS1C.-sin D.-cos -2 22222 222 2【答案】A【解析】由题意先求出圆心角，再求出扇形的面积和厶 OAB的面积，从而得出结论.【详解】解：设eO的半径为r，劣弧所对的圆心角为 ，弧长为I ,I 1由弧长公式I r得 二丄1 ,r 111 11弦AB与劣弧AB所围成图形的面积 S -lr -r2s in - -si n1 ,2 2 2 2故选：A.【点睛】本题主要考查扇形的弧长公式与面积公式，考查三角形的面积公式，属于基础题.6 .某校为提高学生的身体素质，实施“每天一节体育课”，并定期对学生进行体能测验在一次体能测验中， 某班甲、乙、

6、丙三位同学的成绩 (单位：分)及班内排名如表(假 定成绩均为整数) 现从该班测验成绩为 94和95的同学中随机抽取两位， 这两位同学成 绩相同的概率是( )成绩/分班内排名甲959乙9411丙9314A. 0.2B. 0.4C. 0.5D. 0.6【答案】B【解析】由题意可得出成绩为 95分的有2人，94分的有3人，本题是古典概型，求出事件包含的基本事件数以及基本事件的总数,从而求出答案.【详解】解：由表格可知，该班成绩为95分的有2人，94分的有3人,从这5名同学中随机抽取2名同学,2 5 410基本事件总数为C； 匕上2这两位同学成绩相同包含的基本事件数是4-0.4,5这两位同学成绩相同的

7、概率 p 10故选：B.【点睛】本题主要考查古典概型的概率计算，考查排列、组合问题，属于基础题.7 .已知双曲线2C：务a2y2 1 ab20,b 0的左，右焦点分别为F1, F2,若以F1F2为直径的圆和曲线C在第象限交于点戸，且厶POF恰好为正三角形，则双曲线 C的离心率为（ ）A 1亦B 1 5C. 1 3D. 1 522【答案】C【解析】先设厅店2丨2c，由题意知 FP是直角三角形，利用且 POF2恰好为正三角形，求出|PR|、IPF2I，根据双曲线的定义求得 a , c之间的关系，则双曲线的离心率可得.【详解】 解：连接 PF,设 IRF2 | 2c ,则由题意可得 PF1F2是直角

8、三角形,由POF2恰好为正三角形得， PF2F1 60 , IPF2I C,. PFi | , 4c2 c2 3c ,|PR| IPF2I、.3c c 2a ,故选：C.【点睛】本题主要考查双曲线的简单性质.考查数形结合的思想的运用，属于基础题.8.某校高一组织五个班的学生参加学农活动，每班从“农耕” “采摘“酿酒”野炊”“饲养”五项活动中选择一项进行实践，且各班的选择互不相同.已知 1班不选“农耕”“采摘”；2班不选“农耕”“酿酒”；如果 1班不选“酿酒”，那么 4班不选“农耕”；3班既不选“野炊”，也不选“农耕”； 5班选择“采摘”或“酿酒”则选择“饲养”的班级是（ ）A. 2班 B. 3

9、班 C. 4班 D. 5班【答案】B【解析】 本题的关键是找出1 , 2, 3, 5班都不选农耕，则只有 4班选农耕，再根据逆 否命题的真假性，可得 1班选酿酒，所以5班只有选采摘，逐一选择可得出结果.【详解】解：由题意，1 , 2, 3, 5班都不选农耕，则只有 4班选农耕，根据逆否命题，1班选酿酒，所以5班只有选采摘，只剩下“野炊”和“饲养”，因3班既不选“野炊”，故选择“饲养”的班级是 3班.故选：B.【点睛】 本题主要考查合情推理能力，以及逆否命题的真假性的判断能力，属于基础题.9 下列关于函数f x 2cos2x 、_3sin2x 1的说法，正确的是( )A. X 是函数f ( x)

10、的一个极值点3B. f ( x)在区间0 ,上是增函数25C. 函数f (X)在区间(0, n )上有且只有一个零点 12D. 函数f (X)的图象可由函数 y= 2sin 2x的图象向左平移一个单位长度得到12【答案】D【解析】 先化简函数解析式，然后再逐一判断选项即可.【详解】解：函数 f(x) 2cos2 x、.3sin2x 1 cos2x、3sin 2x 2sin(2 x ),61当X 时，2sin(2 x ) ，所以X 一不是函数f (x)的一个极值点，所以 A不正3 6 2 3确；确;时，函数f (X)取得最大值，6所以函数在区间0,上不是增函数,2所以B不正由 2sin(2 x

11、)60 得 2x k6k Z，则 x祛k乙所以在区间(0,)5 11上有两个零点 ， ，所以C不正确;12 12由函数y 2sin2x的图象向左平移/个单位长度得到y 2血(2(X 石)2sin(2x 6)，所以 D 正确.故选：D.【点睛】 本题主要考查三角函数的化简以及三角函数的简单性质的应用，属于基础题.10 .瑞士数学家、物理学家欧拉发现任一凸多面体 (即多面体内任意两点的连线都被完全包含在该多面体中，直观上讲是指没有凹陷或孔洞的多面体)的顶点数 V棱数E及面数F满足等式V- E+F= 2，这个等式称为欧拉多面体公式， 被认为是数学领域最漂亮、简洁的公式之一，现实生活中存在很多奇妙的几

12、何体， 现代足球的外观即取自一种不完全正多面体，它是由 12块黑色正五边形面料和 20块白色正六边形面料构成的. 20世纪80年代，化学家们成功地以碳原子为顶点组成了该种结构，排列出全世界最小的一颗足球”，称为巴克球( Buckyball ).则巴克球”的顶点个数为( )A. 180 B. 120 C. 60 D. 30【答案】C【解析】 设巴克球顶点数 V、棱数E及面数F，计算出面数和棱数即可求出顶点数.【详解】解：依题意，设巴克球顶点数V、棱数E及面数F ,则 F 20 12 32 ,每条棱被两个面公用，故棱数 E 5 12 6 20 90 ,2所以由V E F 2得：V 90 32 2，

13、解得V 60 .故选：C.【点睛】本题为阅读型题目计算出棱数是解决问题的关键，属于基础题.11.已知正方体 ABCD A1B1CD, E, F是线段AC上的点，且AE= EF= FC，分别过点E,F作与直线 AG垂直的平面a ,卩，则正方体夹在平面 a与卩之间的部分占整个正方体体积的1A.-3【答案】B.C,3【解析】构造平面ABD ,平面CB1D1 ,设正方体边长为1，根据等体积法计算 A到平面ABD的距离hy，从而可得出E ,F分别为AC1与平面A1BD和平面CB1D1的交点，计算中间几何体的体积得出答案.【详解】 解:DIB构造平面A1BD，平面CB1D1，则AC1平面 ABD , AC

14、i 平面 CB1D1 ,设正方体边长为 i,贝U ab ad bd J2 , AC1 J3 ,AE EFFCiVA ABD VC BCD设A到平面ABD的距离为h，则Va AB1DF1, F2,点P在椭圆上且异于长轴端uuu uuuu0 , NP NF2 0 ,则 I MN的最大值为（ ）A. 6 B. 8C. 12 D. 14E平面ABD，同理可得f平面CBiDi,2正方体夹在平面 与之间的部分体积为1 - 2 -6 32体积之比是一，3故选：C.【点睛】本题考查三棱锥的体积的求法， 考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识,考查运算求解能力，属于中档题.2 212 .已知椭圆C：

15、1的左、右焦点分别为6 12ujir uuju点点M N在厶PF1F2所围区域之外，且始终满足 MP MF1【答案】A【解析】 设PF1, PF2的中点分别为C , D，则M , N在分别以C , D为圆心的圆上，直线CD与两圆的交点（ PF1F2所围区域之外）分别为 M , N时，|MN丨的最大，可得|MN |的最大值为PF1 PF2CDa c即可.【详解】解：设PFi, PF2的中点分别为C , D ,Q MPgMh 0 , NPgNF2 0,则M , N在分别以C , D为圆心的圆上，直线CD与两圆的交点（ PF1F2所围区域之外）分别为 M , N时，|MN|最大,PF pf | MN

16、 |的最大值为 -2 CD a c 4 2 6 ,2 ，故选：A.【点睛】本题考查了椭圆的性质，考查了转化思想，属于中档题.二、填空题13 .已知非零向量a,b满足|a| |b|, a b J3”，则：与b的夹角为 .【答案】120v J v v 匕 1 v 2 v v V2 ；r r 1【解析】由题意，v b 2a b 3b ,得2 b cosv，b b ，所以 cosa,b） -,所以夹角是120 。14 .某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为 .【答案】4.【解析】由四棱锥的三视图得到该四棱锥是四棱锥 P ABCD，其中，PO 底面ABCD , ABCD是正方形，边长为3

17、, PO 2，由此能求出该四棱锥中最长棱的棱长.【详解】解：由题意几何体的直观图如图,ABCD是正方形，边长为3, PO 2, AOiAC，所以 PC 4 (2 - 2)2 4,PB PD 22 22 12 3，所以最长的棱长为 4,故答案为：4.【点睛】本题主要考查由三视图还原几何体的直观图， 考查四棱锥中最长棱的求法， 属于基础题.15已知在锐角三角形 ABC中，角A, B, C的对边分别为a, b, c,若a= 4,且2 22a bcosB b c ,则b+c的取值范围为 .2【答案】(4 2,)【解析】根据已知等式和余弦定理， 可推出cosB cosC，即B C , b c，又知a 4

18、, 所以b c 4 ；因为三角形 ABC是锐角三角形，所以角 A为锐角，cos A (0,1)；由 a2 b2 c2 2bc cos A，设b c x，用cos A表示出x，并求出x的取值范围，进而得b c 2x的取值范围.【详解】解：Q a 4，且 2a(-a bcos B) b2 c2,2 2 2 2 2 2a 2abcosB b c ，即卩 a b c 2ab cos B,又Q由余弦定理可得a2 b2 c2 2abcosC ,可得 2abcosB 2abcosC，即 cosB cosC ,B C , b c,又 A 为锐角， cos A (0,1),Q a4 , b c 4 ,设bc x

19、，由余弦定理知 a b2 c2 2bccosA,i62 2 22x 2x cos A 2x g(1 cos A),x281 cosA 8, X 厶2 , 2x 42 ,故bc 4J2 ,故答案为：(4.2,).【点睛】本题主要考查余弦定理的灵活应用和函数思想，转化思想，属于中档题.16.已知曲线y=|lnx |与直线y = m有两个不同的交点 Pi (xi, yi), F2 (X2, y) (XivX2),设直线11, I2分别是曲线y=|lnx|在点Pi, P2处的切线，且li,丨2分别与y轴相 交于点A, B F2AB为等边三角形，则实数 m的值为 .【答案】In .3【解析】由对数的运算

20、性质可得 X|X2 i , 0为i x2，分别求得y Inx和y Inx 的导数，可得切线的斜率和切线的方程，以及 A , B的坐标，可得等边三角形的边长，可得X2，进而得到 m的值.【详解】解：由曲线y |l nx|与直线y m有两个不同的交点，可得-In xi = I n x2，即有xix2 i , 0 Xi i X2 ,i i由y Inx的导数为y ,可得切线li的斜率为 ，切线的方程为x Xi故答案为：In J3 .【点睛】本题主要考查利用导数求切线方程，考查直线方程的运用，属于中档题.三、解答题17 .端午节是中国传统节日之一节日期间，各大商场各种品牌的“粽子战”便悄然打响.某记者走

21、访市场发现，各大商场粽子种类繁多，价格不一根据数据统计分析，得到了某商场不同种类的粽子销售价格（单位：元 /千克）的频数分布表，如表一所示.表价格/ （元/千克）10 , 15)15 , 20)20 , 25)25 , 30)30 , 35)种类数4121662在调查中，记者还发现，各大品牌在馅料方面还做足了功课， 满足了市民多样化的需求除了蜜枣、豆沙等传统馅料粽，很多品牌还推出了鲜肉、巧克力、海鲜等特色馅料粽在 该商场内，记者随机对 100名顾客的年龄和粽子口味偏好进行了调查，结果如表二.表二：喜欢传统馅料粽喜欢特色馅料粽总计40岁以下30154540岁及以上50555总计8020100（1

22、）根据表一估计该商场粽子的平均销售价（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；（2）根据表二信息能否有 95%勺把握认为顾客的粽子口味偏好与年龄有关?参考公式和数据:K22n ad beabed a e babed为样本容量）P （k。）0.0500.0100.001ko3.8416.63510.828【答案】（1）该商场粽子的平均销售价为 21.25元/千克（2）有95%勺把握认为顾客的粽子口味偏好与年龄有关【解析】（1）根据表一的数据计算平均数即可；（2）根据表二信息计算观测值，对照临界值即可得出结论.【详解】 解：（1）根据表一的数据，1X （12.5 4 17.5 12 22.5 16

23、 27.5 6 32.5 2） 21.2540 估计该商场粽子的平均销售价为 21.25 ;（2）根据表二信息，K2 1（3 5 50 15）2 100 9.091 3.841,80 20 45 55 11所以有95%的把握认为顾客的粽子口味偏好与年龄有关.【点睛】 本题主要考查平均数的计算问题、列联表与独立性检验问题，属于基础题.1 118已知刘是等比数列，a3 ，且a1, a2 , a3成等差数列.8 16（1）求数列an的通项公式；(2)设 b2. . ，求数列 bn的前n项和Tn.log 1 a2n 1 log 1 a2n 12 21 2n【答案】(1) an=( - ) n (2)上

24、一2 2n 1【解析】（1）设等比数列的公比为 q,运用等比数列的通项公式和等差数列的中项性质,可得首项和公比 q的方程，解方程可得首项和公比，进而得到所求通项公式;（2）求得匕（2n 1）（2n 1）【详解】12n 1，再由数列的裂项相消求和.2n 1解：（1 ）设an是公比为q的等比数列，as18，1 左且aa2亦忌成等差数列,可得qq2 18,a1 a32危16，即a1212(a1q 材，解得4 q2，贝U an a1qn 1（1）n（2）；(2)bn(log 1 a2n 1)(log 1 a2n 1)2 22log1(!)2n 1og12 2 2(2n 1)(2 n 1)12n 1 2

25、n 1，1 1 1-Tn 1 3 3 51 1 112n 1 2n 1 2n 12n2n 1【点睛】本题考查等比数列的通项公式和等差数列的中项性质,考查数列的裂项相消求和,以及化简运算能力，属于中档题.2 的菱形，/ ABC= 60, AC与 BD19 如图，四棱锥 P- ABC呼，底面 ABC是边长为1交于点O,POL平面ABCDE为CD勺中点连接AE交BD于 G,点F在侧棱PD上，且DF PD3(1)求证：PB/平面AEF(2)若COSBPA辽，求三棱锥E- PAD的体积.4【答案】(1)证明见解析(【解析】(1)以O为原点,OB为X轴，OC为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量

26、法证明 PB/平面AEF ;(2)求出uuff uuu 2PA (0, 1, a) , PB ( .3,0, a),由 cos BPA 2，求出 PO 1，三棱锥4E PAD的体积V PAD Vp ADE , 由此能求出结果.【详解】(1)证明：四棱锥P ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形,ABC 60 , AC与BD交于点O , PO 平面ABCD ,E为CD的中点连接 AE交BD于G，点F在侧棱PD上，且DF以O为原点，OB为x轴，oc为y轴，OP为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系,z设 PO a，则 P(0,0,a)，A(0, 1,0)，BG，3,0,0)，C(0,1,0)，D(

27、 .3,0,0)，E(i3,?0)，UUU -PB ( 3,0,a)F( 3UUT,AE朋0旦),0,3)，3 3 UUJ,0) , AF 2 2(*)，3设平面AEF的法向量(x, y,z),r uuvn E则r uuvn AF.3x22x3，取x/3，得uuu rQ PBgn 3PB/平面AEFuua(2)解：PA(0,1,Q cosBPA0，解得a三棱锥VE PADiz 0n c3,1,i)，PB平面AEF ,uur -a) , PB (.3,0, a),UUD UJU| PAgPBI-UUr UuuF|PA g PB|POa2.a2 1g 3 a2E PAD的体积:Vp ADE3 Sa

28、dePO1 CD AE AO21 32 6【点睛】 本题主要考查线面平行的证明，考查三棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、 面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题.20 .已知函数f (x) aex x a ( e为自然对数的底数).(1) 求函数f (x)的极值；(2) 问：是否存在实数a ,使得f (x)有两个相异零点？若存在，求出a的取值范围；若不 存在，请说明理由【答案】(1)当a 0时，函数f(x)无极值.当a 0时,函数f(x)有极小值为f( l na) ln a a 1,无极大值；存在，a (0,1)U(1,)【解析】(1)对函数f(x)求导,根据a的不同取值范围，进行分类讨论，求出函数f(x)的 极值； 根据a的不同取值范围，进行分类讨论，结合f (0) 0、函数的极值