届河北省衡水中学高三第一次联合考试数学文试题解析版.docx
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届河北省衡水中学高三第一次联合考试数学文试题解析版
2020届河北省衡水中学高三第一次联合考试数学（文）试题
一、单选题
1•已知集合AxNx6，Byy2x,xA，则AIB中元素的个数是
（）
A.1B.2C.3D.4
【答案】C
【解析】用列举法依次表示出集合A,B，再求出交集，再判断元素个数.
【详解】
解：
tAxNx6,
•-A0,1,2,3,4,5,又Byy2x,xA,
•••B1,2,4,8,16,32,
•••AIB1,2,4，有3个元素,
故选：
C.
【点睛】本题主要考查用列举法表示集合，考查集合的交集运算，属于基础题.
2.已知复数z满足z（1+i）=1+3i，其中i是虚数单位，设z是z的共轭复数，则z的虚部是（）
A.iB.1C.-iD.-1
【答案】D
【解析】先根据复数代数形式的除法运算求出
z，再根据共轭复数的定义写出，从而
得出z的虚部.
【详解】
解：
•••z1i13i,
13i
1
3i1i
z
1i
1
i1i
42i
2
故选：
D．
【点睛】
本题主要考查复数代数形式的除法运算，考查共轭复数的定义及复数的虚部，属于易错题．
3.等差数列｛an｝中，S为｛an｝的前n项和，若a?
是关于x的一元二次方程x2-4x+2
=0的两个根，则S5=（）
A.5B.10C.12D.15
【答案】B
【解析】由韦达定理得a2a44,再利用等差数列的性质即可得出结论.
【详解】解：
•••a2,a4是关于x的一元二次方程x24x20的两个根,
•••由韦达定理得a2a44,
由等差数列的性质得,
a1a5a2a4
2a3
4,
•S544210,故选：
B.
【点睛】本题主要考查等差数列的性质与前n项和的计算,属于基础题.
4.若f（x）=ex+ae-x是定义在R上的奇函数，则曲线y=f（x）在点（0,f（0））处的切线方程是（）
A.y=-xB.y=xC.y=-2xD.y=2x
【答案】D
【解析】由函数f（x）是定义在R上的奇函数得f（0）0，求出函数f（x）的解析式，再求出f'（x）,从而可求出切线方程.
【详解】
解：
•••函数f（x）是定义在R上的奇函数，
•f（0）1a0,得a1,
•f（x）exex,
•f'（x）exex,
第2页共20页
•••f（0）0,f'（0）2,
•••曲线yf（x）在点0,f（0）处的切线方程为y2x,
故选：
D.
【点睛】
本题主要考查奇函数的定义及性质，考查利用函数的导数求曲线在某点处的切线方程,
属于基础题.
5.已知OO的半径为
1,A
B为圆上两点，
且劣弧
AB的长为
1,则弦AB与劣弧AB所
围成图形的面积为（
）
11
1
1
1
11
1
11
A.—-sin1
B.—
COS1
C.—
-sin—
D.-
cos-
22
2
2
2
22
2
22
【答案】A
【解析】由题意先求出圆心角，再求出扇形的面积和厶OAB的面积，从而得出结论.
【详解】
解：
设eO的半径为r，劣弧所对的圆心角为，弧长为I,
I1
由弧长公式Ir得二丄1,
r1
1111
•••弦AB与劣弧AB所围成图形的面积S-lr-r2sin--sin1,
2222
故选：
A.
【点睛】
本题主要考查扇形的弧长公式与面积公式，考查三角形的面积公式，属于基础题.
6.某校为提高学生的身体素质，实施“每天一节体育课”，并定期对学生进行体能测
验在一次体能测验中，某班甲、乙、丙三位同学的成绩（单位：
分）及班内排名如表（假定成绩均为整数）现从该班测验成绩为94和95的同学中随机抽取两位，这两位同学成绩相同的概率是（）
成绩/分
班内排名
甲
95
9
乙
94
11
丙
93
14
A.0.2
B.0.4
C.0.5
D.0.6
【答案】B
【解析】由题意可得出成绩为95分的有
2人，94分的有3人，本题是古典概型，求出
事件包含的基本事件数以及基本事件的总数,
从而求出答案.
【详解】
解：
由表格可知，该班成绩为
95分的有
2人，94分的有3人,
•••从这5名同学中随机抽取
2名同学,
254
10
基本事件总数为C；匕上
2
这两位同学成绩相同包含的基本事件数是
4
-0.4,
5
•这两位同学成绩相同的概率p—
10
故选：
B.
【点睛】
本题主要考查古典概型的概率计算，考查排列、组合问题，属于基础题.
7.已知双曲线
2
C：
务
a
2
y21a
b2
0,b0的左，右焦点分别为
F1,F2,若以F1F2为直
径的圆和曲线
C在第
象限交于点
戸，且厶POF恰好为正三角形，
则双曲线C的离心率
为（）
A1亦
B15
C.13
D.15
2
2
【答案】C
【解析】先设厅店2丨2c，由题意知△F^P是直角三角形，利用且POF2恰好为正
三角形，求出|PR|、IPF2I，根据双曲线的定义求得a,c之间的关系，则双曲线的离
心率可得.
【详解】解：
连接PF,,设IRF2|2c,
则由题意可得PF1F2是直角三角形,
由POF2恰好为正三角形得，PF2F160,
•••IPF2IC,「.\PFi|,4c2c23c,
|PR|IPF2I、.3cc2a,
故选：
C.
【点睛】
本题主要考查双曲线的简单性质.考查数形结合的思想的运用，属于基础题.
8.某校高一组织五个班的学生参加学农活动，每班从“农耕”“采摘““酿酒”野
炊”“饲养”五项活动中选择一项进行实践，且各班的选择互不相同.已知1班不选
“农耕”“采摘”；2班不选“农耕”“酿酒”；如果1班不选“酿酒”，那么4班不
选“农耕”；3班既不选“野炊”，也不选“农耕”；5班选择“采摘”或“酿酒”则
选择“饲养”的班级是（）
A.2班B.3班C.4班D.5班
【答案】B
【解析】本题的关键是找出1,2,3,5班都不选农耕，则只有4班选农耕，再根据逆否命题的真假性，可得1班选酿酒，所以5班只有选采摘，逐一选择可得出结果.
【详解】
解：
由题意，1,2,3,5班都不选农耕，则只有4班选农耕，
根据逆否命题，1班选酿酒，所以5班只有选采摘，
只剩下“野炊”和“饲养”，
因3班既不选“野炊”，
故选择“饲养”的班级是3班.
故选：
B.
【点睛】本题主要考查合情推理能力，以及逆否命题的真假性的判断能力，属于基础题.
9•下列关于函数fx2cos2x、_3sin2x1的说法，正确的是（）
A.X是函数f（x）的一个极值点
3
B.f（x）在区间［0,—］上是增函数
2
5
C.函数f（X）在区间（0,n）上有且只有一个零点——
12
D.函数f（X）的图象可由函数y=2sin2x的图象向左平移一个单位长度得到
12
【答案】D
【解析】先化简函数解析式，然后再逐一判断选项即可.
【详解】
解：
函数f（x）2cos2x、.3sin2x1cos2x、、3sin2x2sin（2x）,
6
1
当X—时，2sin（2x），所以X一不是函数f（x）的一个极值点，所以A不正
3623
确；
确;
时，函数f（X）取得最大值，
6
所以函数在区间［0,］上不是增函数,
2
所以B不正
由2sin（2x）
6
0得2xk
6
kZ，则x
祛k乙所以在区间（0,）
511
上有两个零点，，所以C不正确;
1212
由函数y2sin2x的图象向左平移/个单位长度得到
y2血（2（X石））2sin（2x6），所以D正确.
故选：
D.
【点睛】本题主要考查三角函数的化简以及三角函数的简单性质的应用，属于基础题.
10.瑞士数学家、物理学家欧拉发现任一凸多面体（即多面体内任意两点的连线都被完
全包含在该多面体中，直观上讲是指没有凹陷或孔洞的多面体）的顶点数V棱数E及
面数F满足等式V-E+F=2，这个等式称为欧拉多面体公式，被认为是数学领域最漂亮、
简洁的公式之一，现实生活中存在很多奇妙的几何体，现代足球的外观即取自一种不完
全正多面体，它是由12块黑色正五边形面料和20块白色正六边形面料构成的.20世
纪80年代，化学家们成功地以碳原子为顶点组成了该种结构，排列出全世界最小的一
颗"足球”，称为"巴克球（Buckyball）".则"巴克球”的顶点个数为（）
A.180B.120C.60D.30
【答案】C
【解析】设巴克球顶点数V、棱数E及面数F，计算出面数和棱数即可求出顶点数.
【详解】
解：
依题意，设巴克球顶点数
V、棱数E及面数F,
则F201232,
每条棱被两个面公用，故棱数E51262090,
2
所以由VEF2得：
V90322，解得V60.
故选：
C.
【点睛】
本题为阅读型题目计算出棱数是解决问题的关键，属于基础题.
11.已知正方体ABCDA1B1CD,E,F是线段AC上的点，且AE=EF=FC，分别过点E,
F作与直线AG垂直的平面
a,卩，则正方体夹在平面a与卩之间的部分占整个正方
体体积的
1
A.-
3
【答案】
B.
C,
3
【解析】
构造平面
ABD,
平面CB1D1,
设正方体边长为1，根据等体积法计算A到平
面ABD
的距离h
y，从而可得出E,
F分别为AC1与平面A1BD和平面CB1D1的交
点，计算中间几何体的体积得出答案.
【详解】解:
DI
B
构造平面A1BD，平面CB1D1，则AC1
平面A^BD,ACi平面CB1D1,
设正方体边长为i,贝UabadbdJ2,AC1J3,
AEEF
FCi
VAABDVCB’CD
设A到平面ABD的距离为h，则VaAB1D
F1,F2,点P在椭圆上且异于长轴端
uuuuuuu
0,NPNF20,则IMN
的最大值为（）
A.6B.8
C.12D.14
E平面ABD，同理可得f平面CBiDi,
2
正方体夹在平面与之间的部分体积为1-2-
63
2
•••体积之比是一，
3
故选：
C.
【点睛】
本题考查三棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识,
考查运算求解能力，属于中档题.
22
12.已知椭圆C：
—1的左、右焦点分别为
612
ujiruuju
点•点MN在厶PF1F2所围区域之外，且始终满足MPMF1
【答案】A
【解析】设PF1,PF2的中点分别为C,D，则M,N在分别以C,D为圆心的圆
上，直线CD与两圆的交点（△PF1F2所围区域之外）分别为M,N时，|MN丨的最
大，可得|MN|的最大值为
PF1PF2
CD
ac即可.
【详解】
解：
设PFi,PF2的中点分别为C,D,
QMPgMh0,NPgNF20,则M,N在分别以C,D为圆心的圆上，
•••直线CD与两圆的交点（△PF1F2所围区域之外）分别为M,N时，|MN|最大,
PFpf
•|MN|的最大值为-2CDac426,
2，
故选：
A.
【点睛】
本题考查了椭圆的性质，考查了转化思想，属于中档题.
二、填空题
13.已知非零向量a,b满足|a||b|,abJ3”，则：
与b的夹角为.
【答案】120
vJvv匕1v2vvV2；rr1
【解析】由题意，vb2ab3b,得2bcosv，bb，所以cos〈a,b）-,
所以夹角是120。
14.某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为.
【答案】4.
【解析】由四棱锥的三视图得到该四棱锥是四棱锥PABCD，其中，PO底面
ABCD,ABCD是正方形，边长为3,PO2，由此能求出该四棱锥中最长棱的棱
长.
【详解】
解：
由题意几何体的直观图如图,
ABCD是正方形，
边长为3,PO2,AO
iAC，
所以PC4（2-2）24,
PBPD•2222123，
所以最长的棱长为4,
故答案为：
4.
【点睛】
本题主要考查由三视图还原几何体的直观图，考查四棱锥中最长棱的求法，属于基础题.
15•已知在锐角三角形ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a=4,且
22
2a—bcosBbc,则b+c的取值范围为.
2
【答案】（42,）
【解析】根据已知等式和余弦定理，可推出cosBcosC，即BC,bc，又知a4,所以bc4；因为三角形ABC是锐角三角形，所以角A为锐角，cosA（0,1）；由a2b2c22bccosA，设bcx，用cosA表示出x，并求出x的取值范围，进
而得bc2x的取值范围.
【详解】
解：
Qa4，且2a（-abcosB）b2c2,
222222
a2abcosBbc，即卩abc2abcosB,
又Q由余弦定理可得a2b2c22abcosC,
可得2abcosB2abcosC，即cosBcosC,
BC,bc,又A为锐角，cosA（0,1）,
Qa
4,bc4,
设b
cx，由余弦定理知ab2c22bccosA,
i6
222
2x2xcosA2xg（1cosA）,
x2
8
1cosA8,X厶2,2x42,
故b
c4J2,
故答案为：
（4.2,）.
【点睛】
本题主要考查余弦定理的灵活应用和函数思想，转化思想，属于中档题.
16.已知曲线y=|lnx|与直线y=m有两个不同的交点Pi（xi,yi）,F2（X2,y）（Xiv
X2）,设直线11,I2分别是曲线y=|lnx|在点Pi,P2处的切线，且li,丨2分别与y轴相交于点A,B△F2AB为等边三角形，则实数m的值为.
【答案】In.3
【解析】由对数的运算性质可得X|X2i,0为ix2，分别求得yInx和yInx的导数，可得切线的斜率和切线的方程，以及A,B的坐标，可得等边三角形的边长，
可得X2，进而得到m的值.
【详解】
解：
由曲线y|lnx|与直线ym有两个不同的交点，可得-Inxi=Inx2，即有xix2i,0XiiX2,
ii
由yInx的导数为y—,可得切线li的斜率为，切线的方程为
xXi
故答案为：
InJ3.
【点睛】
本题主要考查利用导数求切线方程，考查直线方程的运用，属于中档题.
三、解答题
17.端午节是中国传统节日之一节日期间，各大商场各种品牌的“粽子战”便悄然打
响.某记者走访市场发现，各大商场粽子种类繁多，价格不一根据数据统计分析，得到
了某商场不同种类的粽子销售价格（单位：
元/千克）的频数分布表，如表一所示.
表
价格/（元/千克）
[10,15）
[15,20）
[20,25）
[25,30）
[30,35）
种类数
4
12
16
6
2
在调查中，记者还发现，各大品牌在馅料方面还做足了功课，满足了市民多样化的需求
除了蜜枣、豆沙等传统馅料粽，很多品牌还推出了鲜肉、巧克力、海鲜等特色馅料粽在该商场内，记者随机对100名顾客的年龄和粽子口味偏好进行了调查，结果如表二.
表二：
喜欢传统馅料粽
喜欢特色馅料粽
总计
40岁以下
30
15
45
40岁及以上
50
5
55
总计
80
20
100
（1）根据表一估计该商场粽子的平均销售价（同一组中的数据用该组区间的中点值代
表）；
（2）根据表二信息能否有95%勺把握认为顾客的粽子口味偏好与年龄有关?
参考公式和数据:
K2
2
nadbe
abedaeb
abed为样本
容量）
P（k。
）
0.050
0.010
0.001
ko
3.841
6.635
10.828
【答案】
（1）该商场粽子的平均销售价为21.25元/千克
（2）有95%勺把握认为顾客的
粽子口味偏好与年龄有关
【解析】
（1）根据表一的数据计算平均数即可；
（2）根据表二信息计算观测值，对照临界值即可得出结论.
【详解】解：
（1）根据表一的数据，
1
X（12.5417.51222.51627.5632.52）21.25
40'
估计该商场粽子的平均销售价为21.25;
（2）根据表二信息，
K21°°（3°55015）21009.0913.841,
8020455511
所以有95%的把握认为顾客的粽子口味偏好与年龄有关.
【点睛】本题主要考查平均数的计算问题、列联表与独立性检验问题，属于基础题.
11
18•已知｛刘是等比数列，a3，且a1,a2,a3成等差数列.
816
（1）求数列｛an｝的通项公式；
（2）设b
2
..，求数列｛bn｝的前n项和Tn.
log1a2n1log1a2n1
22
12n
【答案】
（1）an=（-）n
（2）上一
22n1
【解析】
（1）设等比数列的公比为q,运用等比数列的通项公式和等差数列的中项性质,
可得首项和公比q的方程，解方程可得首项和公比，进而得到所求通项公式;
（2）求得匕（2n1）（2n1）
【详解】
1
2n1
，再由数列的裂项相消求和.
2n1
解：
（1）设｛an｝是公比为q的等比数列，as
1
8，
1左
且a「a2亦忌成等差数列,
可得qq21
8
a1a3
2危16，即a1
2
1
2（a1q材，
解得4q
2，
贝Uana1qn1
（1）n
（2）；
（2）
bn
（log1a2n1）（log1a2n1）
22
2
log1（!
）2n1^og1
222
（2n1）（2n1）
1
2n12n1，
111
■-Tn1335
111
1
2n12n12n1
2n
2n1
【点睛】
本题考查等比数列的通项公式和等差数列的中项性质,
考查数列的裂项相消求和,
以及
化简运算能力，属于中档题.
2的菱形，/ABC=60°,AC与BD
19•如图，四棱锥P-ABC呼，底面ABC［是边长为
1
交于点O,POL平面ABCDE为CD勺中点连接AE交BD于G,点F在侧棱PD上，且DFPD
3
（1）求证：
PB//平面AEF
（2）若
COS
BPA辽，求三棱锥E-PAD的体积.
4
【答案】
（1）
证明见解析（
【解析】
（1）
以O为原点,
OB为X轴，OC为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标
系，利用向量法证明PB//平面AEF;
（2）求出
uuffuuu2
PA（0,1,a）,PB（.3,0,a）,由cosBPA2，求出PO1，三棱锥
4
EPAD
的体积VPADVpADE,由此能求出结果.
【详解】
（1）证明：
四棱锥PABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形,
ABC60,AC
与BD交于点O,PO平面ABCD,
E为CD的中点连接AE交BD于G，点F在侧棱PD上，且DF
以O为原点，OB为x轴，oc为y轴，OP为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系,
z
设POa，则P（0,0,a），A（0,1,0），BG，3,0,0），C（0,1,0），D（.3,0,0），
E（
i3,?
0），
UUU-
PB（3,0,
a）
F（3
UUT
AE
朋0旦）
0,3），
33UUJ
—,0）,AF22
（*），
3
设平面AEF
的法向量
（x,y,z）,
ruuv
n•E
则
ruuv
nAF
.3
x
2
2
x
3
，取x
/3，得
uuur
QPBgn3
PB//平面
AEF
uua
（2）解：
PA
（0,
1,
Qcos
BPA
0，解得a
三棱锥
VEPAD
iz0
nc3,1,i），
PB平面AEF,
uur-
a）,PB（..3,0,a）,
UUDUJU
|PAgPBI
-UUrUuuF
|PAgPB|
PO
a2
.a21g3a2
EPAD的体积:
VpADE
3Sade
PO
1CDAEAO
2
13
2~6
【点睛】本题主要考查线面平行的证明，考查三棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题.
20.已知函数f（x）aexxa（e为自然对数的底数）.
（1）求函数f（x）的极值；
（2）问：
是否存在实数a,使得f（x）有两个相异零点？
若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由
【答案】
（1）①当a0时，函数f（x）无极值.②当a0时,函数f（x）有极小值为
f（lna）lnaa1,无极大值；⑵存在，a（0,1）U（1,）
【解析】
（1）对函数f（x）求导,根据a的不同取值范围，进行分类讨论，求出函数f（x）的极值；
⑵根据a的不同取值范围，进行分类讨论，结合f（0）0、函数的极值
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