届江苏省盐城市盐城中学高三上学期第一次月考数学试题解析版.docx

1、届江苏省盐城市盐城中学高三上学期第一次月考数学试题解析版2020届江苏省盐城市盐城中学高三上学期第一次月考数学试题一、填空题1 已知集合 A= x 1 x 1 , B 1,0,3 ，则 AI B 【答案】0【解析】根据交集的概念，求得两个集合的交集 【详解】交集是两个集合的公共元素组合而成，故 A B 0 .故答案为：0【点睛】本小题主要考查集合交集的概念和运算，属于基础题2 设幕函数f （x） kxa的图像经过点（4,2），则k3【答案】-21【解析】由题意得k 1,2 4 丄k3223 .若命题“ ？t R, t2 - av 0”是真命题，则实数a的取值范围是【答案】（0,）V 0-4(

2、- a) 0【解析】命题t R, t2- av 0 ”是真命题,a0,则实数a的取值范围是（0,）故答案为（0, + ） 4 .函数f(x) In(x 1) 42x的定义域为 【答案】（1,2【解析】【详解】由X 1 0可得，1 x 2，所以函数f （x） ln（x 1）、厂的定义域为1,22x0，故答案为1,25.已知角的顶点与坐标原点重合,始边与x轴的正半轴重合，终边经过点P 1,2 ,则 sin2【答案】【解析】5根据三角函数定义求 cos和sin，最后代入公式sin 22sin cos 求【详解】解：由题意可得OPcos品i,sin5y 2 2、57 5 ，sin22sin cos故答

3、案为:【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义,属于基础题.6 .已知等差数列an的前n项和为Sn , Sn 132 , a6 a9 30 ,则ai2的值为【答案】24a6的值，再根据等【解析】 首先根据等差数列的前 n项和公式和等差中项，即可求出差数列的通项公式和 89 30，即可求出ag，进而求出cll2的值.【详解】因为 Sn 132，所以， =132，即 11 a6 = 132，所以，a6 = 122又 a6 a9 30，所以，8g = 18，因为 86 812 2ag，所以，可求得： 3i2 = 24【点睛】本题考查了等差数列的通项公式和等差数列的前 n项的公式，熟练掌握通项公式和

4、等差数列的前n项的公式是解决本题的关键 .7.定义在R上的奇函数f(x)，当x 0时，f(x) 2x x2，则f( 1) = .1 f 1 2 1 1，故答案为1.【答案】 1【解析】由f x为奇函数可得:8 已知函数f(x) 2sin(2 x )( 0)的最大值与最小正周期相同，贝y函数f(x)在41,1上的单调增区间为 1 3【答案】丄，二4 4【解析】试题分析：由题意可知，函数f (x)2sin( x1 32k x -2k, kZ，又x4 4上的单调递增区间为1,3.4 4【考点】三角函数的图象与性质-)，令一2k4 211,1，所以 x4x 2k ，解得4 23，所以函数f(x)在1,

5、149 .设向量 a (sin2 ,cos ) , b(cos ,1)，则“ ；/b”是 “ tan ”成立的条件(选填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要” ).【答案】必要不充分【解析】【详解】试题分析：r r 2a /b (sin 2 ,cos ) / /(cos ,1) sin 2 cos cos 0或 2sin cos1 r r 1cos 0或tan ，所以“ a/b ”是“ tan - ”成立的必要不充分条件【考点】向量共线10 已知函数f(x) exlnx aex(a R),若f x在0, 上单调递增，贝U实数a的取值范围是 .【答案】 ,1【解析】对函数

6、f x求导，根据函数在 0,上单调递增列不等式， 分离常数a后,1构造函数h x In x x 0，利用导数求得h x的最小值，进而求得 a的取值范x围【详解】依题意,0,时，f xex lnx 1x0恒成立，即也即aln x1_在x0,上恒成立，构造函数0，则，所以函数h x在区间0,1上递减，在区间1,上递增，在取得极小值也即是最小值，故 h x h 1 1,所以a 1.故答案为： ,1 .【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的单调性， 考查不等式恒成立问题的求解策略， 属于中档题 11如下图，在直角梯形 ABCD 中，AB/CD, ADC 90, AB 4, AD ,2, E 为uuv

7、 umv nrt uuv uuuvBC 中点，若 AB AC 4，贝V AE BC【答案】【解析】132【详解】以A为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，设CD m m 0，结合题意可uuur uuir得：A 0,0 ,B 4,0 ,C m, .2 ,C 0, ,2 ,则 AB 4,0 ,ACuuu uuur 故 AB AC4m 4, m1，即 C 1, 2，则 E5 V22, 2uuiu 5 uuLT据此有AE , ,BC2 2uuiu uuu3/2 ,AE BCx ax 012 若函数y ，在区间 2,2上有两个零点，则实数 a的取值范x a ln x, x 0围为 【答案】0,2 I

8、n 2a 0,即 4a 01 -a+hi 2 0故答案0,2 In 2【考点】函数的图象及零点的确定.【易错点晴】本题设置了一道以分段函数的解析式a,x 0In x, x背景的零点个数的综合应0用问题将问题等价转化为两个函数 .- 与函数；-二-吗-芒:V在给定的区间-0 ,通2 a + lii 2 0 过解不等式组从而获得答案 13 在 ABC中，角A , B , C所对的边分别是a , b , c，已知sinB sinC msinA m R，且a2 4bc 0.且角A为锐角，则 m的取值范围是2【解析】利用正弦定理化简sinB sinCmsinA mR，利用余弦定理表示出 cosA,根据A

9、为锐角列不等式，解不等式求得m的取值范围【详解】依题意,由正弦定理得b c ma，由余弦定理得cosA2 2b c 2 2bc a2 m a2bc2bc2a22m 3，由于A为锐2 3 2 角，所以0 cosA 1，所以o 2m 3 1，即m 2，由于m为正数，故2 m 2.26 _故答案为： 6 2 .2【点睛】本小题主要考查利用正弦定理和余弦定理进行边角互化， 考查不等式的解法，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题 .114 已知函数 f(x) 2tx ln(x n 2), g(x) t，若函数xh(x) 4x3 nx2 (1 n)x n 8在 ， 上是增函数，且 f x g x 0在

10、定义3域上恒成立，则实数 t的取值范围是 1 2【答案】 , U e22e【解析】根据h x 0求得n的值，由此化简f x g x 0，利用分类讨论的方法，结合导数的知识列不等式，解不等式求得 t的取值范围【详解】4 3 2上是增函数，所以由于函数 h(x) x3 nx2 (1 n)x n 8在3 2h x 4x 2nx 1 n 0恒成立，故2 24n 16 1 n 0,即 n 2 0,所以n2.故f x gx 0 即 2tx l nx2txln x02tx ln x 01 t0，或1 . t 0x2tIn xx由得tx,1构造函数m xx1-t 0在0, 上恒成立，等价于xln x 小ln

11、x 1 十，x 0 , m x2 ,所以m xxx在0,e上m x 0 , m x递减，在 e,上m x 0 , m x递增，最小值为1-,所以等价于e1e，解得t丄2e2t由得tIn xx.由也2x1解得x1 .根据m X和y -的单调性可知，当e 且仅当t2e时，成立.综上所述,t的取值范围是丄2e故答案为U e22e【点睛】考查利用导数求解不等式本小题主要考查利用导数求解函数在实数范围内单调的问题, 恒成立问题，考查分类讨论的数学思想方法，考查化归与转化的数学思想方法，难度较 大，属于难题 二、解答题2 215 .已知集合 A x | x 3x 2 0，集合B y y x 2x a，集合

12、2C x|x ax 4 0，命题 p： A B ，命题 q: A C.(1) 若命题P为假命题，求实数a的取值范围；(2) 若命题P q为假命题，求实数 a的取值范围.【答案】(1) a 3; (2) ( ,0) (3,)【解析】先求出集合A x 1 x 2和B y | y a 1；(1) 由题意得A B=，由集合的交集运算得 a的取值范围；(2) 先求出P q为真命题时a的取值范围，从而求出 P q为假命题时a的范围.【详解】 y2 小 /x 2x a (x1)2 a 1a1 ,集合By|ya1,集合A xx2 3x 20 x 1x2，集合Cx2 xax4 0(1)由命题P是假命题，可得AB

13、 =即得a 12, a3.(2)当Pq为真命题时,p,q都为真命题,即 A B，且AC ,a 1 2a31 a 4 0a3，解得0a 3.22 2a 4 0a0p q为假命题时，a0 或 a 3， a的取值范围是：（,0） （3,）【点睛】 本题考查了集合交集的运算，考查了复合命题为假命题的应用，二次函数的性质，属于 基础题116. ABC中，角A, B, C所对边分别是 a、b、c,且cos A -.3B c（1）求 sin2 cos2A 的值；2若a ,3，求 ABC面积的最大值.【答案】（1）B c【解析】（1）将sin2 cos2A化简代入数据得到答案29（2）利用余弦定理和均值不等式

14、计算 bc ，代入面积公式得到答案4,.2 BC. 2A1 sincos2Asin -222A2八,1cosAcos2cos A1 -22,11 -211 -；299由cosA1，可得si nA i门39【详解】由余弦定理可得a2 b2 c22cos2 A 12cos2A 12、23 b2 c2 2be 2bc - bc -bc,3 3 3即有bc 3 a249-，当且仅当bc 3，取得等号则厶ABC面积为IbcsinA 1 - 乙2 土22 2 4 3 43即有b时， ABC的面积取得最大值 * 2 4【点睛】 本题考查了三角恒等变换，余弦定理，面积公式，均值不等式，属于常考题型17 .如图

15、，在 ABC 中， BAC 120 , AB 2 , AC 1, D 是边 BC 上一点, lur uuuDC 2 BD .0 ,求实数t的值.uuu UULT LUUT(2)若 AB tCD CD8 15【答案】（1） （2） t3 14UULT UUU UUU UUUT【解析】（1 ）将AD,BC都转化为用AB, AC为基底表示，根据向量数量积的运算，求/ 曰 UUUT UUU得AD BC的值UUU UUTUULT UUU UUUT AB CD UUU（2）将原方程 AB tCD CD 0转化为t LUU 2 ，同（1）的方法，将CD转化CDUUU UULT为用AB,AC为基底表示，根据向

16、量数量积和模的运算，求出 t的值.UUUTADUULTBC2 uuuAB31 UUUT AC3UULTACUUUAB1 UULT一 AC2 uuu 2 一 AB1 UUU UULT-AB AC3(2)UUUAB1 2 cos120UUUTtCDUULTCD13UUUAB3 UUUCDUULTADUUUBCUUUQ CD2 UUUCB3UULTUUU AB ACUUT 2BCUUUCD2 uuuCB328UUU UUUTQ AB CDUUU 2 UUU 2 UULTAB AB AC3 3UUU 2CD2 uuu 2 -AB2 UUUT UUUAC AB3cos120 7【详解】UULTUUUT（

17、1） Q D是边BC上一点，DC2BDUUU1UUU1UULTUUUBDBCACAB33UULTUUU1UUUTUUU2 UUUADAB1ACAB-AB331 UUUTAC38 21 2 cos1203 310T1514【点睛】本小题主要考查平面向量的基本定理,数学思想方法，属于中档题 18 .某公园为了美化环境和方便顾客,考查向量数量积和模的运算， 考查化归与转化的 计划建造一座圆弧形拱桥，已知该桥的剖面如图所示，共包括圆弧形桥面 ACB和两条长度相等的直线型路面 AD、BE ,桥面跨度DE的长不超过12米，拱桥ACB所在圆的半径为3米，圆心O在水面DE上，且AD和BE所在直线与圆O分别在连

18、结点 A和B处相切设 ADO，已知直线型桥面每米修关系式;)的修建总费用为4a 一兀3W元，求W关于的函数(2)当为何值时，桥面修建总费用W最低？【答案】(1)3cosW 2a 4sin【解析】(1)设C为弧AB的中点，连结OA,OC , OB，通过解直角三角形以及弧长公式，求得AD,Ac的长，由此计算出修建总费用 W的表达式，根据 DE长度的限制，和圆的直径，求得 的取值范围.(2)利用导数求得 W的单调区间，进而求得当 为何值时， W取得最小值.【详解】(1)设C为弧AB的中点，连结OA, OC , OB，则OA AD在OAD中，ADtan又因为 AOC ADO3cossin，所以弧AC长

19、为I 3所以W4a3込 a 2a 4 sin3cossin当DE6时,2 ；当 de12时,6，所以62a, 3cos4所以Wsin3_2sin4sin 2；2sin3，令当孑3时，f 0，函数f单调递减;当 一，一时，f o，函数f 单调递增;3 2所以当 时，函数f 取得最小值，此时桥面修建总费用最低 3【点睛】考查弧长的本小题主要考查利用导数求函数的最值， 考查函数在在实际生活中的运用,计算，属于中档题X 119 已知函数 f (x) axlnx (1 a)x a (a R).2 2(1) 当a 1时，求函数f x在x 1处的切线方程；(2) 当a 0时，证明：函数 f x只有一个零点；

20、(3) 若函数f x的极大值等于0 ,求实数a的取值范围【答案】(1) y 0 (2)证明见解析(3) ,1【解析】(1)求得函数在x 1处的导数，由此求得切线方程(2)通过求f X的二阶导数，研究其一阶导数，进而求得函数 f X的单调区间，由此证得函数f X只有一个零点(3)当a 0时根据(2)的结论证得结论成立.当a 0，根据f x的二阶导数，对a分成0 a 1,a 1,a 1三种情况，利用f的一阶导数，结合零点的存在性定理,求得实数a的取值范围.【详解】x2(1)当 a 1 时，f x xl nx2In x 1所以f x在x 1处的切线方程为y0.(2) f xalnx x 1x 0，令

21、 g xaln x x当a 0时,x在0, 上单调递减，又所以当x0,1 时，f xx单调递增，当x1,时，f单调递减所以0,所以f只有一个零点x 1 .(3)当a 0时,由(2)知,x的极大值为f 10，符合题意;当a 0时，令gx 0,得a，当 x 0,a 时,单调递增,a,时,x单调递减，注意到(i)当 01a1 时，g a g 1 0,又 g ea1ea0.所以存在X10,a，使得g x1 0，当x 0,为时,单调递减，当x 为，1时，g xx单调递增，当x 1, 时,x 0 , f x单调递减，所以f x的极大值为f 10，符合题意;(ii)当 a 1 时，g x0恒成立，f x在0

22、,上单调递减,无极值，不合题意;(iii)当 a 1 时，g a g 1 0,又 g2 aa e 1，令2xX10, x在1, 上单调递减，eX所以 x1-1，所以 g ea a2 ea 1 0,e存在x2a,使得 g X2 f X2 0,当 x 0,1时,fx 0, f x单调递减，当X 1,x2时，f x 0, f x 单调递增，当XX2,时，f x 0, f x单调递减，所以f X的极大值为f X2 ,且f X2f10,不合题意.综上可知，a的取值范围是 ,1 .【点睛】本小题主要考查利用导数求切线的斜率， 考查利用导数研究函数的零点， 考查利用导数研究函数的极值，考查分类讨论的数学思想

23、方法，考查化归与转化的数学思想方法，综合性较强，属于难题2 *20.已知正项数列 an的前n项和为Sn，且an 2an 4Sn 1 n N .(1)求数列an的通项公式;(2)若bnan 1- ，数列bn的前n项和为Tn，求Tn的取值范围;S2n 1 S2n 1(3)若Cn1-an 1 , n为奇数*2 n N ,从数列Cn中抽出部分项(奇数项与偶n22, n为偶数数项均不少于两项)，将抽出的项按照某一顺序排列后构成等差数列 当等差数列的项数最大时，求所有满足条件的等差数列【答案】(1) an 2n1 ( 2) Tn1(2n 1)22,丄(3) 1, 2 , 3, 4 , 59 4和 5 ,

24、4 , 3, 2 , 1.【解析】(1)利用anS1, n 1Sn Sn 1, n，求得数列an的通项公式bn的前n项和Tn.利用差比(2)由(1 )求得Sn的表达式，然后利用裂项求和法求得 较法证得数列 Tn递增，进而求得Tn的取值范围(3)先判断出数列 Cn的奇数项均为奇数，偶数项均为偶数 然后假设抽出的数列中有三个偶数，推出矛盾，由此证得偶数只有两项 进而证得奇数最多有 3项由此求得所有满足条件的等差数列.【详解】2(1)当 n 1 时，由 a； 2an24Sn 1，得 a12a1 4a11，得 ai 1，2 2an 1 an22an 1 2 an 4a. 1，即 an 12an 2 a

25、n 1 an 0 ,即an 1 an2an 1 an0因为数列an各项均为正数,所以 an 1an 0，所以 an 1 an 2所以数列an是以1为首项,2为公差的等差数列因此，an12(n 1) 2n1，即数列an的通项公式为an 2n 11，两式相减,得12an 14Sn由 a； 2an 4Sn 1，得 a； 1(2)由1）知 an 2n 1，所以Snn(1 2n 1) 2n所以bnan 1S2n 1 S2n 12n(2n 1)2(2 n 1)21(2n 1)21(2n 1)2所以Tn2n(2n 1)2(2n1)21 132 32(2n1(2n 1)2411(2n 1)2令 f (n)(2n 1)2，则f(n 1)f(n) 1 2(2n 1)(2n 3)28(n1)(2n 3)2(2n1)2 0所以f n是单调递增数列，数列 Tn递增,所以Tn T1-，又Tn -，所以Tn的取值范围为9 4n, n 2k 1（3） Cn n22, n 2k设奇数项取了 s项，偶数项取了 k项，其中s，k N*，s 2，k 2.因为数列 cn的奇数项均为奇数，偶数项均为偶数，因此，若抽出的项按照某种顺序构成等差数列，则该数列中相邻的项必定一个是奇数，一个是偶数 假设抽出的数列中有三个偶数，则