届江苏省盐城市盐城中学高三上学期第一次月考数学试题解析版.docx
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届江苏省盐城市盐城中学高三上学期第一次月考数学试题解析版
2020届江苏省盐城市盐城中学
高三上学期第一次月考数学试题
一、填空题
1•已知集合A=x1x1,B1,0,3，则AIB
【答案】0
【解析】根据交集的概念，求得两个集合的交集•
【详解】
交集是两个集合的公共元素组合而成，故AB0.
故答案为：
0
【点睛】
本小题主要考查集合交集的概念和运算，属于基础题
2•设幕函数f（x）kxa的图像经过点（4,2），则k
3
【答案】-
2
1
【解析】由题意得k1,24丄
k
3
2
2
3.若命题“？
t€R,t2-av0”是真命题，
则实数
a的取值范围是
【答案】（0,）
V0-4（-a）>0
【解析】命题"tR,t2-av0”是真命题,
a>0,则实数a的取值范围是（0,）
故答案为（0,+）•
4.函数f（x）In（x1）42x的定义域为
【答案】（1,2]
【解析】【详解】
由｛X10可得，1x2，所以函数f（x）ln（x1）、厂的定义域为1,2
2x0
，故答案为1,2
5.已知角
的顶点与坐标原点重合,
始边与
x轴的正半轴重合，终边经过点P1,2,
则sin2
【答案】
【解析】
5
根据三角函数定义求cos
和sin
，最后代入公式sin2
2sincos求
【详解】
解：
由题意可得
OP
cos
品i
sin
5
y22、5
75，
sin2
2sincos
故答案为:
【点睛】
本题主要考查任意角的三角函数的定义,
属于基础题.
6.已知等差数列｛an｝的前n项和为
Sn,Sn132,a6a930,
则ai2的值为
【答案】24
a6的值，再根据等
【解析】首先根据等差数列的前n项和公式和等差中项，即可求出
差数列的通项公式和8930，即可求出ag，进而求出cll2的值.
【详解】
因为Sn132，所以，=132，即11a6=132，所以，a6=12
2
又a6a930，所以，8g=18，因为868122ag，所以，可求得：
3i2=24
【点睛】
本题考查了等差数列的通项公式和等差数列的前n项的公式，熟练掌握通项公式和
等差数列的前n项的公式是解决本题的关键.
7.定义在R上的奇函数f（x），当x0时，f（x）2xx2，则
f
（1）=.
1f1211，故答案为1.
【答案】1
【解析】由fx为奇函数可得:
8•已知函数f（x）2sin（2x）（0）的最大值与最小正周期相同，贝y函数f（x）在
4
［1,1］上的单调增区间为•
13
【答案】［丄，二
44
【解析】试题分析：
由题意可知，函数
f（x）
2sin（x
13
2kx-
2k,k
Z，又x
44
上的单调递增区间为
[1
3].
44
【考点】三角函数的图象与性质
-），令一2k
42
1
[1,1]，所以x
4
x2k，解得
42
3
，所以函数f（x）在［1,1］
4
9.设向量a（sin2,cos）,b
（cos,1），则“；//b”是“tan
£”成立的
条件（选填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”）.
【答案】必要不充分
【解析】【详解】试题分析：
rr2
a//b（sin2,cos）//（cos,1）sin2coscos0或2sincos
1rr1
cos0或tan，所以“a//b”是“tan-”成立的必要不充分条件
【考点】向量共线
10•已知函数f（x）exlnxaex（aR）,若fx在0,上单调递增，贝U实数a的
取值范围是.
【答案】,1
【解析】对函数fx求导，根据函数在0,
上单调递增列不等式，分离常数a后,
1
构造函数hxInx—x0，利用导数求得hx的最小值，进而求得a的取值范
x
围•
【详解】
依题意,
0,
时，fx
exlnx1
x
0恒成立，即
也即a
lnx
1
_在
x
0,
上恒成立，构造函数
0，则
，所以函数
hx在区间0,1上递减，在区间1,
上递增，在
取得极小值也即是最小值，故hxh11,所以a1.
故答案为：
1.
【点睛】
本小题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查不等式恒成立问题的求解策略，属于
中档题•11•如下图，在直角梯形ABCD中，AB//CD,ADC90°,AB4,AD,2,E为
uuvumvnrtuuvuuuv
BC中点，若ABAC4，贝VAEBC
【答案】
【解析】
13
2
【详解】
以A为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，设
CDmm0，结合题意可
uuuruuir
得：
A0,0,B4,0,Cm,.2,C0,,2,则AB4,0,AC
uuuuuur故ABAC
4m4,m
1，即C1,2，则E
5V2
2,2
uuiu5uuLT
据此有AE—,—,BC
22
uuiuuuu
3/2,AEBC
xax0
12•若函数y{，在区间2,2上有两个零点，则实数a的取值范
xalnx,x0
围为•
【答案】0,2In2
a>0
即^<4
a<22
所以
【解析】【详解】试题分析：
由题设可知函数
的区间-..和区间--内分别有一个根
:
_」.■，
-与函数；--LJ在给定
‘一仃兰0
*4—a>0
1-a+hi2>0
故答案0,2In2
【考点】函数的图象及零点的确定.
【易错点晴】
本题设置了一道以分段函数的解析式
a,x0
Inx,x
背景的零点个数的综合应
0
用问题•将问题等价转化为两个函数.-与函数；-二-吗■-芒:
V在给定的区间
-^<0
（-2,0］和区间（0=2〕内分别有一个零点的问题.然后建立不等式组4-0>0,通
2—a+lii2>0过解不等式组从而获得答案•
13•在ABC中，角A,B,C所对的边分别是a,b,c，已知
sinBsinCmsinAmR，且a24bc0.且角A为锐角，则m的取值范围是
2
【解析】利用正弦定理化简
sinBsinC
msinAm
R，利用余弦定理表示出cosA,
根据A为锐角列不等式，解不等式求得
m的取值范围
【详解】
依题意,
由正弦定理得
bcma，由余弦定理得
cosA
22
bc22bca2ma
2bc
2bc
2
a
2
—2m3，由于A为锐
232
角，所以0cosA1，所以o2m31，即—m2，由于m为正数，故
2
—m2.
2
6_
故答案为：
62.
2
【点睛】
本小题主要考查利用正弦定理和余弦定理进行边角互化，考查不等式的解法，考查化归
与转化的数学思想方法，属于中档题.
1
14•已知函数f（x）2txln（xn2）,g（x）t，若函数
x
h（x）4x3nx2（1n）xn8在，上是增函数，且fxgx0在定义
3
域上恒成立，则实数t的取值范围是•
12
【答案】,Ue2
2e
【解析】根据h'x0求得n的值，由此化简fxgx0，利用分类讨论的方法，
结合导数的知识列不等式，解不等式求得t的取值范围
【详解】
432
上是增函数，所以
由于函数h（x）x3nx2（1n）xn8在
3
'2
hx4x2nx1n0恒成立，故
22
4n161n0,即n20,
所以n
2.
故fxg
x0即2txlnx
2tx
lnx
0
2txlnx0
1t
0
①，或
1②.t0
x
2t
Inx
x
由①得
t
x③,
1
构造函数mx
x
1
-t0在0,上恒成立，等价于
x
lnx小
lnx1十，
x0,mx
2,所以mx
x
x
在0,e上mx0,mx递减，在e,
上mx0,mx递增，最小值为
1
-,所以③等价于
e
1
e，解得t
丄
2e
2t
由②得
t
Inx
x④.由也
2x
1
解得
x
1.根据mX和y-的单调性可知，当
e"
且仅当t
2
e时，④成立.
综上所述,
t的取值范围是
丄
2e
故答案为
—Ue2
2e
【点睛】
考查利用导数求解不等式
本小题主要考查利用导数求解函数在实数范围内单调的问题,恒成立问题，考查分类讨论的数学思想方法，考查化归与转化的数学思想方法，难度较大，属于难题二、解答题
22
15.已知集合Ax|x3x20，集合Byyx2xa，集合
2
Cx|xax40，命题p：
AB，命题q:
AC.
（1）若命题P为假命题，求实数a的取值范围；
（2）若命题Pq为假命题，求实数a的取值范围.
【答案】
（1）a3;
（2）（,0）（3,）
【解析】先求出集合Ax1x2和B{y|ya1}；
（1）由题意得AB=，由集合的交集运算得a的取值范围；
（2）先求出Pq为真命题时a的取值范围，从而求出Pq为假命题时a的范围.
【详解】
•••y
2小/
x2xa（x
1）2a1
a
1,
•••集合B
{y|y
a
1},
集合
Ax
x23x2
0x1
x
2
，集合C
x
2x
ax
40
（1）
由命题
P是假命题，
可得A
B=
即得a1
2,
•a
3.
（2）
当P
q为真命题时,
p,q都为真命题,
即AB
，且
A
C,
a12
a
3
1a40
a
3，解得0
a3.
222a40
a
0
pq为假命题时，
a
0或a3，••
•a的取值范围是：
（,0）（3,）
【点睛】本题考查了集合交集的运算，考查了复合命题为假命题的应用，二次函数的性质，属于基础题•
1
16.ABC中，角A,B,C所对边分别是a、b、c,且cosA-.
3
Bc
（1）求sin2cos2A的值；
2
⑵若a,3，求△ABC面积的最大值.
【答案】
（1）
Bc
【解析】
（1）将sin2cos2A化简代入数据得到答案•
2
9
（2）利用余弦定理和均值不等式计算bc，代入面积公式得到答案
4
.2B
C
.2
A
1sin
cos2A
sin-
2
2
2
A
2八
1
cosA
cos
2cosA
1-
2
2
1
1-
」2
1
1-；
2
9
9
⑵由cosA
1
，可得sinAi
门
3
9
【详解】
由余弦定理可得a2b2c2
2cos2A1
2cos2A1
2、2
3
333
即有bc<3a2
4
9
-，当且仅当b
c3，取得等号
则厶ABC面积为IbcsinA1-乙2土2
22434
3
即有b
—时，△ABC的面积取得最大值*•
24
【点睛】本题考查了三角恒等变换，余弦定理，面积公式，均值不等式，属于常考题型
17.如图，在ABC中，BAC120,AB2,AC1,D是边BC上一点,luruuu
DC2BD.
0,求实数t的值.
uuuUULTLUUT
（2）若ABtCDCD
815
【答案】
（1）
（2）t
314
UULTUUUUUUUUUT
【解析】
（1）将AD,BC都转化为用AB,AC为基底表示，根据向量数量积的运算，求
/曰UUUTUUU
得ADBC的值•
UUUUUT
UULTUUUUUUTABCDUUU
（2）将原方程ABtCDCD0转化为tLUU2，同
（1）的方法，将CD转化
CD
UUUUULT
为用AB,AC为基底表示，根据向量数量积和模的运算，求出t的值.
UUUT
AD
UULT
BC
2uuu
AB
3
1UUUT
—AC
3
UULT
AC
UUU
AB
1UULT
一AC
2uuu2一AB
1UUUUULT
-ABAC
3
（2）
UUU
AB
12cos120
UUUT
tCD
UULT
CD
1
3
UUU
AB
3'
UUU
CD
UULT
AD
UUU
BC
UUU
QCD
2UUU
CB
3
UULT
UUUABAC
UUT2
BC
UUU
CD
2uuu
CB
3
28
UUUUUUT
QABCD
UUU2UUU2UULT
ABABAC
33
UUU2
CD
2uuu2-AB
2UUUTUUU
ACAB
3
cos1207
【详解】
UULT
UUUT
（1）QD是边BC上一点，
DC
2
BD
UUU
1
UUU
1
UULT
UUU
BD
BC
AC
AB
3
3
UULT
UUU
1
UUUT
UUU
2UUU
AD
AB
1
AC
AB
-AB
3
3
1UUUT
AC
3
82
12cos120
33
10
T
15
14
【点睛】
本小题主要考查平面向量的基本定理,
数学思想方法，属于中档题•
18.某公园为了美化环境和方便顾客,
考查向量数量积和模的运算，考查化归与转化的计划建造一座圆弧形拱桥，已知该桥的剖面如图
所示，共包括圆弧形桥面ACB和两条长度相等的直线型路面AD、BE,桥面跨度DE
的长不超过12米，拱桥ACB所在圆的半径为3米，圆心O在水面DE上，且AD和BE
所在直线与圆O分别在连结点A和B处相切•设ADO
，已知直线型桥面每米修
关系式;
）的修建总费用为
4a一
兀•
3
W元，求W关于的函数
（2）当
为何值时，桥面修建总费用
W最低？
【答案】
（1）
3cos
W2a4
sin
【解析】
（1）
设C为弧AB的中点，连结OA,
OC,OB，通过解直角三角形以及弧
长公式，
求得
AD,Ac的长，由此计算出修建总费用W的表达式，根据DE长度的限
制，和圆的直径，求得的取值范围.
（2）利用导数求得W的单调区间，进而求得当为何值时，W取得最小值.
【详解】
（1）设C为弧AB的中点，连结OA,OC,OB，则OAAD
在OAD中，AD
tan
又因为AOCADO
3cos
sin
，所以弧AC长为I3
所以W
4a
~3
込a2a4sin
3cos
sin
当DE
6时,
2；当de
12时,
6，所以6
2a
3cos
4
所以W
sin
3
_~2
sin
4sin2
；~2
sin
3，令
当孑3时，f0，函数f单调递减;
当一，一时，fo，函数f单调递增;
32
所以当时，函数f取得最小值，此时桥面修建总费用最低•
3
【点睛】
考查弧长的
本小题主要考查利用导数求函数的最值，考查函数在在实际生活中的运用,
计算，属于中档题•
X1
19•已知函数f（x）axlnx（1a）xa（aR）.
22
（1）当a1时，求函数fx在x1处的切线方程；
（2）当a0时，证明：
函数fx只有一个零点；
（3）若函数fx的极大值等于0,求实数a的取值范围
【答案】
（1）y0
（2）证明见解析（3）,1
【解析】
（1）求得函数在x1处的导数，由此求得切线方程
（2）通过求fX的二阶导数，研究其一阶导数，进而求得函数fX的单调区间，由
此证得函数fX只有一个零点•
（3）当a0时根据
（2）的结论证得结论成立
.当a0，根据fx的二阶导数，对a
分成0a1,a1,a1三种情况，利用f
的一阶导数，结合零点的存在性定理,
求得实数a的取值范围.
【详解】
x2
（1）当a1时，fxxlnx
2
Inx1
所以fx在x1处的切线方程为y
0.
（2）fx
alnxx1
x0，令gx
alnxx
当a0时,
x在0,上单调递减，又
所以当x
0,1时，fx
x单调递增，当x
1,
时，f
单调递减
所以
0,所以f
只有一个零点x1.
（3）
①当a0时,
由
（2）知,
x的极大值为f1
0，符合题意;
②当
a0时，令g
x0,得
a，当x0,a时,
单调递增,
a,
时,
x单调递减，注意到
（i）当0
1
a1时，gag10,又gea
1
ea
0.
所以存在X1
0,a，使得gx10，当x0,为
时,
单调递减，当
x为，1时，gx
x单调递增，当
x1,时,
x0,fx单调递减，所以
fx的极大值为f1
0，符合题意;
（ii）当a1时，gx
0恒成立，fx在0,
上单调递减,
无极值，不合题意;
（iii）当a1时，gag10,又g
2a
ae1，令
2
x
X
1
0,x在1,上单调递减，
e'
X
所以x
1
-1，所以geaa2ea10,
e
存在x2
a,
使得gX2fX20,
当x0,1
时,
f
x0,fx单调递减，当X1,x2
时，fx0,fx单
调递增，当
X
X2,
时，fx0,fx单调递减，所以
fX的极大值为fX2,
且fX2
f
1
0,不合题意.
综上可知，
a的取值范围是,1.
【点睛】
本小题主要考查利用导数求切线的斜率，考查利用导数研究函数的零点，考查利用导数
研究函数的极值，考查分类讨论的数学思想方法，考查化归与转化的数学思想方法，综
合性较强，属于难题•
2*
20.已知正项数列an的前n项和为Sn，且an2an4Sn1nN.
（1）
求数列
an的通项公式;
（2）
若bn
an1
-，数列bn的前n项和为Tn，求Tn的取值范围;
S2n1S2n1
（3）
若Cn
1
-an1,n为奇数
*
2nN,从数列Cn中抽出部分项（奇数项与偶
n
22,n为偶数
数项均不少于两项），将抽出的项按照某一顺序排列后构成等差数列•当等差数列的项数
最大时，求所有满足条件的等差数列
【答案】
（1）an2n
1
（2）Tn
1
（2n1）2
2,丄（3）1,2,3,4,5
94
和5,4,3,2,1.
【解析】
（1）利用an
S1,n1
SnSn1,n
，求得数列
an
的通项公式•
bn的前n项和Tn.利用差比
（2）由
（1）求得Sn的表达式，然后利用裂项求和法求得较法证得数列Tn递增，进而求得Tn的取值范围
（3）先判断出数列Cn的奇数项均为奇数，偶数项均为偶数•然后假设抽出的数列中
有三个偶数，推出矛盾，由此证得偶数只有两项•进而证得奇数最多有3项•由此求得所
有满足条件的等差数列.
【详解】
2
（1）当n1时，由a；2an
2
4Sn1，得a1
2a14a1
1，得ai1，
22
an1an
2
2an12an4a.1，即an1
2
an2an1an0,即
an1an
2
an1an
0
因为数列
an
各项均为正数,
所以an1
an0，所以an1an2
所以数列
an
是以1为首项,
2为公差的等差数列•
因此，an
1
2（n1）2n
1，即数列
an的通项公式为an2n1
1，两式相减,
得
1
2an1
4Sn
由a；2an4Sn1，得a；1
（2）由
1）
知an2n1，
所以Sn
n（12n1）2
n
所以bn
an1
S2n1S2n1
2n
（2n1）2（2n1）2
1
（2n1）2
1
（2n1）2
所以Tn
2n
（2n1）2（2n
1）2
11
3232
（2n
1
（2n1）2
41
1
（2n1）2
令f（n）
（2n1）2，则
f（n1）
f（n）12
（2n1）
（2n3）2
8（n
1）
（2n3）2（2n
1）20
所以fn
是单调递增数列，数列Tn递增,
所以TnT1
-，又Tn-，所以Tn的取值范围为
94
n,n2k1
（3）Cnn
22,n2k
设奇数项取了s项，偶数项取了k项，其中s，kN*，s2，k2.
因为数列cn的奇数项均为奇数，偶数项均为偶数，因此，若抽出的项按照某种顺序
构成等差数列，则该数列中相邻的项必定一个是奇数，一个是偶数假设抽出的数列中有三个偶数，则
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