高一数学二次函数的综合问题人教版doc.docx

1、高一数学二次函数的综合问题人教版doc高一数学二次函数的综合问题人教版【本讲教育信息 】一. 教学内容：二次函数的综合问题二 . 教学重难点：含有参数的或在给定区间上的二次函数问题， 讨论可化为二次函数的问题及二次函数与方程，不等式的综合问题。【典型例题】例 1求函数 yx(xa) 在 x 1 , 1 上的最大值。解：函数 y( xa) 2a 2图象的对称轴方程为 xa ，应分 1a1， a1，24222a即 2 a2 ，a2和 a2 这三种情形讨论， 下列三图分别为 （ 1）a2；（2）122a 2 ；（ 3） a 2 时的草图。由图易知：f ( 1) , a2(a 1) , a 2y最大f

2、 ( a ) , 2a 2 ；即 y最大a2, 2 a 224f (1) , a2a1 , a 2 例 2 已知函数 f ( x) x 2 (m 1)x m(m R)（ 1）设 A 、 B 是 ABC 的两个锐角，且 tan A 、 tan B 是方程 f (x) 4 0 的两个实根，求证： m 5 ；（ 2）当 m 3 时，函数 f (sin ) 的最大值是 8，求 m 的值。用心 爱心 专心证明：（ 1）方程 f ( x) 40 即为 x2(m 1) xm 40(m 1) 24(m 4) 0m 3或m 5依题意，得 tan Atan Bm10m1m 5tan Atan Bm40m4（ 2）

3、f (sin)sin2(m 1) sinm(sinm12m(m 1) 22)4 m3而 m 12 当 sin1 时， f (sin) 取得最大值 2m22由题意知 2m28 m 3例 3已知函数 f ( x)x2bxc （ b 、 cR， c2 ）， F ( x)f ( x)c ，当x 2 ,2 时，恒有 f (x)0 ，且对于任意实数x1 、x2 ，总有 F ( x1x2 )F (x1x2 )2 F (x1 )F ( x2 ) ，求函数 f ( x) 的解析式。解：由F(xx2bx，得 F（ 0） =0)在 F (x1x2 )F( x1x2 )2 F ( x1 )F (x2 ) 中，令 x1

4、0， x2x得 F (x)F (x)2 F (0)F ( x) F ( x) F ( x)F (x) 是偶函数因此 b0 f (x)x2c又 f ( x) 在 2 ,2 上恒有 f ( x) 0所以 f (2 ) f (2 )0，即 2c0 ，亦即 c2又 c2 c2 ，故 f ( x)x 22 例 4 已知二次函数 f (x) 满足条件 f ( 0) 1 及 f ( x 1) f ( x) 2x（1）求 f (x) ；（2）求 f (x) 在区间 1 , 1 上的最大值和最小值解：（ 1）设 f ( x)ax 2bx c ，由 f (0)1 ，可知 c 1用心 爱心 专心 f ( x 1)f

5、 (x)a(x1) 2b( x1)c ( ax 2bx c) 2ax a b故由 f ( x 2)f ( x)2x 得 2a2 ， a b 0因而 a1 ， b1所以 f (x)x 2x1（ 2） f (x) x2x 1 (x1 ) 23 11243 1 , 1 ，所以当 x时， f ( x) 的最小值为224当x时，f (x)的最大值为f (1)31 例 5 某企业甲将经营状态良好的某种消费品专卖店以 58 万元的优惠价转让给企业乙，约定乙用经营该店的利润偿还转让费（不计息） 。已知经营该店的固定成本为 6.8 万元 /月，该消费品的进价为 16 元 /件，月销售量 q （万件）与售价 p

6、（元）的关系如图所示。（1）写出销售 q 与售价 p 的函数关系式；（2）当售价 p 定为多少时，月利润最多？（3）企业乙最早可望在经营该专卖店几个月后还清转让费？q(万件 )321O1620 25 P(元 )解：1 p7 ,16p20（ 1）根据函数图象得q41 p6,20p255（ 2）设月利润为W （万元），则(1 p7)( p16)6.8 , 16p20W( p16)q6.841 p(6)( p16)6.8 , 20p255当 16p20时，W1 ( p22)22.24故 p20时， Wmax1.2用心 爱心 专心当 20 p25时， W1 ( p23) 23 ，故 p23 时， Wm

7、ax35 当售价定为 23元 /件时，月利润最多为3 万元。（ 3）设最早 n 个月后还清转让费，则 3n58 ， n20 企业乙最早可望20 个月后还清转让费。 例 6 是否存在常数 kR ，使函数 f ( x)x 4(2k )x 2(2k) 在 (,1 上是减函数且在 1 , 0) 上是增函数？解法 1：设 tx 2 ，则原函数转化为f (x)h(t)t 2(2k )t(2k )那么问题就等价于是否存在常数 kR ，使函数 h(t )t 2( 2k)t(2k ) 在 (0 , 1上是减函数且在1 ,) 上是增函数， 根据二次函数的性质知，只需2k1，故 k 42解法 2：任取 x1x21，

8、则f ( x2 )f ( x1 )x24x14( 2k)( x22x12 )( x22x12 )( x22x122 k)( x1x2 )( x2x1 )( x22x122 k )由 f (x) 在 (,1 上是减函数可知，对任意的x1x21（* ）0 恒成立所以有 x22x122 k0 恒成立，即 kx22x122 恒成立 x1x21 x22x1221124因此，当 k4时，（* ）0 恒成立即当 k4时，函数 f (x) 在 (,1 上是减函数仿上可得当 k4时，函数 f ( x) 在1, 0)上是增函数故存在常数 k4，使函数 f ( x)x4(2k )x 2(2 k ) 在 (, 1 上

9、是减函数，且在 1 , 0) 上是增函数。例 7已知函数 f ( x)x 22xa ， x1 ,)x用心 爱心 专心（ 1）当 a1 时，求函数f (x) 的最小值；2（ 2）若对任意 x 1 ,) ， f ( x)0 恒成立，试求实数a 的取值范围解：（ 1）当 a1 时， f ( x)x12，先证 f (x) 在区间 1 ,) 上为增函数（略）22x7 f ( x) 在区间 1 ,) 上的最小值为f (1)2（ 2）解法 1：在区间 1 ,x 22xa0 恒成立) 上， f ( x)xx22 xa 0 恒成立， yx22x a(x1) 2a1在1,) 上递增 当 x 1时， ymin3 a

10、于是当且仅当 ymin3a0 时，函数f (x)0 恒成立，故 a3解法 2： f ( x)xa2 ， x1 ,) ，当 a0 时，函数 f (x) 的值恒为正x当 a0时，函数 f (x) 递增，故当 x1时， f ( x)min3 a于是当且仅当f (x)min3 a0 时，函数 f (x)0恒成立故 0a3 ，综上，a 的取值范围是 a3 例 8 已知函数 f ( x)ax 2bxc （ abc ）的图象上有两点A（ m1 ， f (m1 ) ）、 B（ m2 ， f (m2 ) ），且满足 f (1)0 ， a 2( f ( m1 )f (m2 )af ( m1 )f (m2 )0 。

11、（ 1）求证： b0（ 2）求证： f ( x) 的图象被 x 轴所截得的线段长的取值范围是2,3)证明：（ 1） a 2 f (m1 )f ( m2 ) a f (m1 ) f (m2 ) 0即 af (m1 ) af (m2 )0f (m1 )a 或 f (m2 )a m1 或 m2 是 f ( x)a即 ax 2bx ca0的实根于是0 即 b24a(a c)f(1)0abc0将 acb 代入上述不等关系，得 b24ab0 ，即 b(b4a)0 ，又 abc用心 爱心 专心 必有 a0 ， c0 （否则与 abc0 矛盾） b4a3ac0 b0（ 2）设 f(x)ax2bxc0 两根为

12、x1 、 x2，则一个根为1（f (1)0），另一根为 c ，abc 且由上知 bac0，aa c0 ，2c1 ，aa2 | x1 x2|3【模拟试题】（答题时间： 70 分钟）一 . 选择题：1.设二次函数f (x)ax2bxc （ a0 ），如果 f (x1 )f ( x2 ) （其中 x1x2），则f ( x1 x2 ) 等于（）2bB.bC.cD.4acb 2A.a4a2a2.二次函数 y x 22(ab) xc 22ab 的图象的顶点在x 轴上，且 a 、 、c 为ABCb的三边长，则ABC 为（）A. 锐角三角形B.直角三角形C. 钝角三角形D. 等腰三角形3.已知函数 f ( x

13、)4x 2mx5在区间 2 ,) 上是增函数， 则 f (1) 的范围是（）A. f (1)25B.f (1)25C.f (1)25D.f (1) 254.如图所示，是二次函数yax 2bxc 的图象，则 | OA | | OB |等于（）ccC.cD. 无法确定A.B.aaayABxO5. y ax 2 bx 与 y ax b （ ab 0 ）的图象只可能是（ ）用心 爱心 专心6.若 f ( x) (m1) x22mx3 为偶函数，则 f ( x) 在区间（5 ，2 ）上（）A. 是增函数B. 是减函数C. 增减性随 m 的变化而改变D. 无单调性二 .填空：1.已知函数 f (x)| x

14、22axb | ( x R) ，给出下列命题：f ( x) 必为偶函数 当 f (0) f (2) 时， f ( x) 的图象必关于直线 x 1对称 若 a 2b 0 ，则 f (x) f ( x) 有最大值 a 2b其中正确命题的序号是在区间 a , ) 上是增函数。2.若 yx2(a 2) x3 ， x a , b 的图象关于直线 x 1 对称，则 b。3.函数 yx24x3（ x (,2 ）的反函数的定义域是。4.函数 f ( x)2x 2mx3 ，当 x (, 1 时是减函数，当 x( 1 ,) 时是增函数，则 f (2)。三 . 解答题：用心 爱心 专心1.已知二次函数 f (x)a

15、x 2bxc 的图象与直线 y25 有公共点，且不等式ax 2bx c 0 的解是1x1，求 a 、 b 、 c 的取值范围。232.已知函数3.已知函数f ( x) 4x2 4ax a 2 2a 2 在区间 0， 2上有最小值 3，求 a 的值。f ( x) ax 2 a 2 x 2b a3（ 1）当 x( 2 , 6) 时， f ( x)0 ；当 x (, 2)(6 ,) 时 f (x)0，求 a 、b 的值及 f ( x) 的表达式；（ 2）设 F (x)kf (x)4( k1)x2(6k1) ， k 取何值时， 函数 F ( x) 的值恒为负4值？4. 设函数 f ( x) x22bx

16、c （ c b1 ）， f(1) 0 ，且方程 f ( x) 10 有实根。（ 1）证明：3c1， b0（ 2）若 m 是方程f (x)10 的一个实根，判断f ( m4) 的正负并加以证明。5. 已知函数 f ( x)ax24xb （ a0， a 、 bR ），设关于 x 的方程 f ( x) 0的两根为 x1 、 x2， f (x)x 的两实根为、。1|1，求 a 、b关系式；（ ）若（ ）若 a 、b均为负整数，且| 1，求f ( x)解析式；2（ 3）若12 ，求证： (x11)( x2 1)7用心 爱心 专心【试题答案】一.1.D 2.B 3.A 4.B 5.D 6.A二.1. 2.

17、6 3. 1, ) 4.19三 .1.解：依题意 ax 2bxc250 有解，故b24a(c25)0 ，又不等式ax 2bx c0的解是1x1， a0 且有b1 ， c1 ， b1 a ，23a6a66c1 a ， bc ，代入0 得 c 224c(c25)0， c24 ，故得 a 、 b 、 c6a144 ， b24， c24的取值范围为2.解： f ( x) 4( xa) 22a2当 a20 时，即a0时，函数f ( x)在0,2上是增函数2 f ( x)minf (0)a 22a2 ，由 a 22a23 ，得 a1 2 a0 a12当 0a2 ，即0a4时， f (x) minf ( a )2a2212由2a23，得 a(0 , 4) ，舍去2当 a2 ，即 a4时，函数 f ( x) 在 0 , 2上是减函数，2f ( x) minf ( 2)a 2