高一数学二次函数的综合问题人教版doc.docx
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高一数学二次函数的综合问题人教版
【本讲教育信息】
一.教学内容：
二次函数的综合问题
二.教学重难点：
含有参数的或在给定区间上的二次函数问题，讨论可化为二次函数的问题及二次函数与方程，不等式的综合问题。
【典型例题】
[例1]
求函数y
x（x
a）在x
[1,1]上的最大值。
解：
函数y
（x
a）2
a2
图象的对称轴方程为x
a，应分1
a
1，a
1，
2
4
2
2
2
a
即2a
2，a
2
和a
2这三种情形讨论，下列三图分别为
（1）a
2；
（2）
1
2
2a2；（3）a2时的草图。
由图易知：
f
（1）,a
2
（a1）,a2
y最大
f（a）,2
a2；即y最大
a2
2a2
2
4
f
（1）,a
2
a
1,a2
[例2]已知函数f（x）x2（m1）xm（mR）
（1）设A、B是ABC的两个锐角，且tanA、tanB是方程f（x）40的两个实
根，求证：
m5；
（2）当m3时，函数f（sin）的最大值是8，求m的值。
用心爱心专心
证明：
（1）方程f（x）4
0即为x2
（m1）x
m4
0
（m1）2
4（m4）0
m3或m5
依题意，得tanA
tanB
m
1
0
m
1
m5
tanA
tanB
m
4
0
m
4
（2）∵
f（sin
）
sin
2
（m1）sin
m
（sin
m
1
2
m
（m1）2
2
）
4
∵m
3
而m1
2
∴当sin
1时，f（sin
）取得最大值2m
2
2
由题意知2m
2
8
∴m3
[例3]
已知函数f（x）
x2
bx
c（b、c
R，c
2），F（x）
f（x）
c，当
x[
2,
2]时，恒有f（x）
0，且对于任意实数
x1、x2，总有F（x1
x2）
F（x1
x2）
2[F（x1）
F（x2）]，求函数f（x）的解析式。
解：
由F
（
x
x2
bx
，得F（0）=0
）
在F（x1
x2）
F
（x1
x2）
2[F（x1）
F（x2）]中，令x1
0
，x2
x
得F（
x）
F（x）
2[F（0）
F（x）]
∴F（x）F（x）
∴F（x）是偶函数
因此b
0
∴f（x）
x2
c
又f（x）在[2,
2]上恒有f（x）0
所以f（
2）f（
2）
0，即2
c
0，亦即c
2
又c
2
∴c
2，故f（x）
x2
2
[例4]已知二次函数f（x）满足条件f（0）1及f（x1）f（x）2x
（1）求f（x）；
（2）求f（x）在区间[1,1]上的最大值和最小值
解：
（1）设f（x）
ax2
bxc，由f（0）
1，可知c1
用心爱心专心
∵f（x1）
f（x）
[a（x
1）2
b（x
1）
c]（ax2
bxc）2axab
故由f（x2）
f（x）
2x得2a
2，ab0
因而a
1，b
1
所以f（x）
x2
x
1
（2）f（x）x2
x1（x
1）2
3
∵1
1
2
4
3
[1,1]，所以当x
时，f（x）的最小值为
2
2
4
当
x
时，
f（x）
的最大值为
f（
1）
3
1
[例5]某企业甲将经营状态良好的某种消费品专卖店以58万元的优惠价转让给企业乙，约
定乙用经营该店的利润偿还转让费（不计息）。
已知经营该店的固定成本为6.8万元/月，该
消费品的进价为16元/件，月销售量q（万件）与售价p（元）的关系如图所示。
（1）写出销售q与售价p的函数关系式；
（2）当售价p定为多少时，月利润最多？
（3）企业乙最早可望在经营该专卖店几个月后还清转让费？
q（万件）
3
2
1
O
16
2025P（元）
解：
1p
7,16
p
20
（1）根据函数图象得
q
4
1p
6,20
p
25
5
（2）设月利润为
W（万元），则
（
1p
7）（p
16）
6.8,16
p
20
W
（p
16）q
6.8
4
1p
（
6）（p
16）
6.8,20
p
25
5
当16
p
20时，W
1（p
22）2
2.2
4
故p
20
时，Wmax
1.2
用心爱心专心
当20p
25
时，W
1（p
23）2
3，故p
23时，Wmax
3
5
∴当售价定为23
元/件时，月利润最多为
3万元。
（3）设最早n个月后还清转让费，则3n
58，n
20
∴企业乙最早可望
20个月后还清转让费。
[例6]是否存在常数k
R，使函数f（x）
x4
（2
k）x2
（2
k）在（
1]上是减函
数且在[1,0）上是增函数？
解法1：
设t
x2，则原函数转化为
f（x）
h（t）
t2
（2
k）t
（2
k）
那么问题就等价于是否存在常数k
R，使函数h（t）
t2
（2
k）t
（2
k）在（0,1]
上是减函数且在
[1,
）上是增函数，根据二次函数的性质知，
只需
2
k
1，故k4
2
解法2：
任取x1
x2
1
，则
f（x2）
f（x1）
x24
x14
（2
k）（x22
x12）
（x22
x12）（x22
x12
2k）
（x1
x2）（x2
x1）（x22
x12
2k）
由f（x）在（
1]上是减函数可知，对任意的
x1
x2
1（*）
0恒成立
所以有x22
x12
2k
0恒成立，即k
x22
x12
2恒成立
∵x1
x2
1
∴x22
x12
21124
因此，当k
4
时，（*）
0恒成立
即当k
4
时，函数f（x）在（
1]上是减函数
仿上可得当k
4
时，函数f（x）在
[
1,0）
上是增函数
故存在常数k
4
，使函数f（x）
x4
（2
k）x2
（2k）在（
1]上是减函数，
且在[
1,0）上是增函数。
[例7]
已知函数f（x）
x2
2x
a，x
[1,
）
x
用心爱心专心
（1）当a
1时，求函数
f（x）的最小值；
2
（2）若对任意x[1,
），f（x）
0恒成立，试求实数
a的取值范围
解：
（1）当a
1时，f（x）
x
1
2
，先证f（x）在区间[1,
）上为增函数（略）
2
2x
7
∴f（x）在区间[1,
）上的最小值为
f
（1）
2
（2）解法1：
在区间[1,
x2
2x
a
0恒成立
）上，f（x）
x
x2
2x
a0恒成立，y
x2
2xa
（x
1）2
a
1在[1,
）上递增
∴当x1
时，ymin
3a
于是当且仅当ymin
3
a
0时，函数
f（x）
0恒成立，故a
3
解法2：
f（x）
x
a
2，x
[1,
），当a
0时，函数f（x）的值恒为正
x
当a
0时，函数f（x）递增，故当x
1时，f（x）min
3a
于是当且仅当
f（x）min
3a
0时，函数f（x）
0恒成立
故0
a
3，综上，
a的取值范围是a
3
[例8]已知函数f（x）
ax2
bx
c（a
b
c）的图象上有两点
A（m1，f（m1））、B
（m2，f（m2）），且满足f
（1）
0，a2
（f（m1）
f（m2））
a
f（m1）
f（m2）
0。
（1）求证：
b
0
（2）求证：
f（x）的图象被x轴所截得的线段长的取值范围是
[2,3）
证明：
（1）a2
[f（m1）
f（m2）]af（m1）f（m2）0
即[a
f（m1）][a
f（m2）]
0
∴
f（m1）
a或f（m2）
a
∴m1或m2是f（x）
a
即ax2
bxc
a
0
的实根
于是
0即b2
4a（ac）
∵
f
（1）
0
∴
a
b
c
0
将a
c
b代入上
述不等关系，得b2
4ab
0，即b（b
4a）
0，又a
b
c
用心爱心专心
∴必有a
0，c
0（否则与a
b
c
0矛盾）
∴b
4a
3a
c
0
∴b
0
（2）设f
（x）
ax2
bx
c
0两根为x1、x2
，则一个根为
1（∵
f
（1）
0
），另一
根为c，∵
a
b
c且由上知b
a
c
0
，∴
aac
0，∴
2
c
1，
a
a
2|x1x2
|
3
【模拟试题】（答题时间：
70分钟）
一.选择题：
1.
设二次函数
f（x）
ax2
bx
c（a
0），如果f（x1）
f（x2）（其中x1
x2
），则
f（x1x2）等于（
）
2
b
B.
b
C.
c
D.
4ac
b2
A.
a
4a
2a
2.
二次函数yx2
2（a
b）x
c2
2ab的图象的顶点在
x轴上，且a、、c为
ABC
b
的三边长，则
ABC为（
）
A.锐角三角形
B.
直角三角形
C.钝角三角形
D.等腰三角形
3.
已知函数f（x）
4x2
mx
5在区间[
2,
）上是增函数，则f
（1）的范围是（
）
A.f
（1）
25
B.
f
（1）
25
C.
f
（1）
25D.
f
（1）25
4.
如图所示，是二次函数
y
ax2
bx
c的图象，则|OA||OB|等于（
）
c
c
C.
c
D.无法确定
A.
B.
a
a
a
y
A
B
x
O
5.yax2bx与yaxb（ab0）的图象只可能是（）
用心爱心专心
6.
若f（x）（m
1）x2
2mx
3为偶函数，则f（x）在区间（
5，
2）上（
）
A.是增函数
B.是减函数
C.增减性随m的变化而改变
D.无单调性
二.
填空：
1.
已知函数f（x）
|x2
2ax
b|（xR），给出下列命题：
①f（x）必为偶函数
②当f（0）f
（2）时，f（x）的图象必关于直线x1对称
③若a2
b0，则f（x）
④f（x）有最大值a2
b
其中正确命题的序号是
在区间[a,）上是增函数
。
2.
若y
x2
（a2）x
3，x
[a,b]的图象关于直线x1对称，则b
。
3.
函数y
x2
4x
3（x（
2]）的反函数的定义域是
。
4.
函数f（x）
2x2
mx
3，当x（
1]时是减函数，当x
（1,
）时是增函
数，则f
（2）
。
三.解答题：
用心爱心专心
1.
已知二次函数f（x）
ax2
bx
c的图象与直线y
25有公共点，且不等式
ax2
bxc0的解是
1
x
1
，求a、b、c的取值范围。
2
3
2.已知函数
3.已知函数
f（x）4x24axa22a2在区间[0，2]上有最小值3，求a的值。
f（x）ax2a2x2ba3
（1）当x
（2,6）时，f（x）
0；当x（
2）
（6,）时f（x）
0，求a、
b的值及f（x）的表达式；
（2）设F（x）
k
f（x）
4（k
1）x
2（6k
1），k取何值时，函数F（x）的值恒为负
4
值？
4.设函数f（x）x2
2bx
c（cb
1），f
（1）0，且方程f（x）1
0有实根。
（1）证明：
3
c
1，b
0
（2）若m是方程
f（x）
1
0的一个实根，判断
f（m
4）的正负并加以证明。
5.已知函数f（x）
ax2
4x
b（a
0，a、b
R），设关于x的方程f（x）0的两
根为x1、x2
，f（x）
x的两实根为
、
。
1
|
|
1
，求a、
b
关系式；
（）若
（）若a、
b
均为负整数，且
|
|1
，求
f（x）
解析式；
2
（3）若
1
2，求证：
（x1
1）（x21）
7
用心爱心专心
【试题答案】
一.
1.D2.B3.A4.B5.D6.A
二.
1.③2.63.[1,）4.19
三.
1.
解：
依题意ax2
bx
c
25
0有解，故
b2
4a（c
25）
0，又不等式
ax2
bxc
0
的解是
1
x
1
，∴a
0且有
b
1，c
1，∴b
1a，
2
3
a
6
a
6
6
c
1a，∴b
c，代入
0得c2
24c（c
25）
0
，∴c
24，故得a、b、c
6
a
144，b
24
，c
24
的取值范围为
2.解：
∵f（x）4（x
a）2
2a
2
当a
2
①
0时，即
a
0
时，函数
f（x）
在
[0,2]
上是增函数
2
∴f（x）min
f（0）
a2
2a
2，由a2
2a
2
3，得a
12
∵a
0
∴a
1
2
②
当0
a
2，即
0
a
4
时，f（x）min
f（a）
2a
2
2
1
2
由
2a
2
3，得a
（0,4），舍去
2
当a
③
2，即a
4
时，函数f（x）在[0,2]
上是减函数，
2
f（x）min
f
（2）
a2
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