线线角与线面角.docx

1、线线角与线面角线线角和线面角重点:确定点、斜线在平面内的射影。知识要点:一、线线角1、定义：设a、b是异面直线，过空间一点 O引a a,b 则/域；b所成的锐角（或直角），叫做异面直线a、b所成的角.3.向量知识：对异面直线AB和CD 向量二_和匚匸 的夹角_，： （或者说其补角）等于异面直线 AB和CD的夹角;（3）.”厂，二：二二 -二、线面角1、定义：平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的锐角，斜线和平面所成角的范围是(0, _ ).2、直线在平面内或直线与平面平行，它们所成角是零角;直线垂直平面它们所成角为 -3、范围:0,二4、射影定理：斜线长定理：从平面外一点向这个平面所引的垂

2、线段和斜线段中:（1） 射影相等的两条斜线段相等，射影较长的斜线段也较长；（2） 相等的斜线段的射影相等，较长的斜线段的射影也较长；（3） 垂线段比任何一条斜线段都短。5、最小角定理：平面的一条斜线与平面所成的角，是这条直线和平面内过斜足的直线所成 的一切角中最小的角。6、向量知识（法向量法）* -f *与平面的斜线共线的向量 显和这个平面的一个法向量 J的夹角V，一1 （或者说其补角）是这条斜线与该平面夹角的余角例题分析与解答例1 如图所示，在棱长为 a的正方体ABCD-A 1B1C1D1中，求：异面直线 BA 1与AC所成的角.分析:利用厂J _ J -的夹角- - -11! ,再根据异面

3、直线 BA 1，AC所成角的范围确定异面直线所成角解：】，-匸二 ， -!.： 二.：=bT AB+BA BC+BB AB+BB BC/ AB 丄 BC，BB1 丄 AB，BB1 BC，.i,T-； I,BB BSC BA AB = -a.二小cos = =-.-_三13二-所以异面直线 BAi与AC所成的角为60.点评：求异面直线所成角的关键是求异面直线上两向量的数量积，而要求两向量的数量积, 必须会把所求向量用空间的一组基向量来表示例2.如图，ABCD是一直角梯形， AD丄AB，AD/BC，AB=BC=a, AD=2a,且PA丄平面 ABCD，PD与平面 ABCD 成30。角.(1)若AE

4、丄PD, E为垂足，求证： BE丄PD ;(2)求异面直线 AE与CD所成角的大小(用反三角函数表示)解法一：证明：PA丄平面ABCD ,PA 丄 AB ,AD 丄 AB ,AB丄平面PAD ,AB 丄 PD,又 AE 丄 PD,PD丄平面ABE ,BE 丄 PD.解：设G、H分别为ED、AD的中点，连 BH、HG、GB (图(1) 易知, BH/CD. G、H分别为ED、AD的中点， HG/AE则/ BHG或它的补角就是异面直线 AE、CD所成的角， 而：-；刁鳥匸二，BG2 =BE2+EG2=AB2+AE2+EG2=-a2在 BHG中，由余弦定理，得arccos异面直线AE、CD所成角的大

5、小为 -解法二：如图(2)所示建立空间直角坐标系 A-xyz ,则_ -一II. ： , ：. I,D（0, 2a, 0）(1)证明:BE=(_a,laa) ?DE=(0,-a,a)- _上 _I(2)解:AE = 0,a?2,CD = (-af a0)cos AE,CDAE.CD|AE| |CD|9724arccos 异面直线AE、CD所成角的大小为 例3.如图，在正方体B际叫竽ABCD-A iBiCiDi 中，的余弦值dXdgdd为x,y,z轴，建立空间直角坐则解：以D为坐标原点，标系D-xyz，设正方体的棱长为 4，D(0,0,0)，B(4,4,0),E i(4,3,4), Fi(0,1

6、,4).则 -：.，.广: - - / -，求BEi与DFi所成角cos =竺邑|DFBE151715 BEi与DFi所成角的余弦值为 厂点评：在计算和证明立体几何问题中， 若能在原图中建立适当的空间直角坐标系， 把图形中的点的坐标求岀来，那么图形有关问题可用向量表示 .利用空间向量的坐标运算来求解，这样可以避开较为复杂的空间想象。例4.在120的二面角P-a-Q的两个面P和Q内，分别有点A和点B.已知点A和点B到棱 的距离分别为2和4，且线段|AB|=10.(1)求直线AB和棱a所成的角；求直线AB和平面Q所成的角解：如图，作 AC丄a，BD丄a,垂足分别为 C，D分别以:1 -的单位向量为

7、空间的基底 ：4兀过C，B分别作BD，a的平行线，交于 E点， CE丄a,从而，得：/ ACE就是二面角 P-a-Q的平面角,.5野口此=9( 叶耳.AB 二 AC + CB 二 CD +DE - CA 二 m勺 +4 - 2勺又|画二 10, . （m哥+4&_痔= 100Q * -*展开：|Y- I1, ! -比（2勺 + 6 勺十 4电）62 3/21111 亍丁372- arccos 异面直线一丄 与a所成的角为 :作AF丄EC ,交EC的延长线于 F，a丄平面ACE， ai平面Q，平面ACE丄平面Q ,从而得：AF丄平面Q，连结FB， 上的射影为CA 二 2d 梅=_1则/ ABF就

8、是AB与平面Q所成的角,在Rt AFB中， I- 川反馈练习：1.过平面外两点和该平面垂直的平面的个数是（ ）D.没有A.1个 B.无数个 C. 一个或无数个2.已知从一点P引三条射线PA，PB，PC，且两两成60度角，则二面角 A PB C的二面角的余弦值是（)11j1A.B. jC.2D.不能确定3 .正方体ACi中，E、F分别是AAi与CCi的中点，则直线ED与DiF所成角的大小是 （）所成的角7、如图1所示，已知正三棱柱 ABC-A iBiCi，侧棱长为2,底面边长为1, M是BC的中点.(1)求异面直线 ABi与BCi的夹角；在直线 CCi上求一点 N，使MNAB i.参考答案:1.

9、C.2.B.依题意，可知： I eJ=l e2 I I e3 I设丨 _ 川由三角形法则,1DE 二 DA+AE 二-引+尹D1F=D1C1 + C1F=ei-e3cos =DE Dj|DE|-|F|=X- arccos-1arccos- 直线ED与DiF的所成的角为 J丨勺I二I勺|二|唧二2 ,n r 兀C. e|jCj 二亡卩已？ 已芋勺EF = EA + AF = -SA + -ADlr+-(AB + -BC)2 * ,-=-e1 + -AS+SB+-(BS+SC)2 3 21 * 2 1 1 *=ei +三(-勺+勺-e2 +亍巧)1- 1一 1一 J二一一 + _ 66 1 3 3

10、 3 3AB = AS +SB = -勺 + e2EF AB =- e + - e2 + - e) ( -Ej +6 3 3 2 * 2 -_ =_* 二：血+：血)一 了勺已1 一 ：电电厂：旬勺+ 弋)6 3 3 3 6 324 1 n= - + - 2x2 cos6033 2|蟲匕* 一叨+（疔一 2哥哥二2= 60也就是：异面直线 EF与AB所成的角是60.5 . B .如图取AB中点E，连结CE,由正三棱柱可知： CE丄平面AAiBiB.连结EBi, / CBiE就是BiC与平面AAiBiB所成的角设棱长aa 1=1，设直运=ep AC=如二e3 依题意可得：丨计=6i=|乌|=i

11、,= 60, -=90cBE - BQ + BE = BjB - A1BI = e3 - e；京二乔+胚二丽+瓯+屁二W+G+&BjE - BC 二(C| + Gj + C +丄3.2 2 275又lc|= J(-1)2+*+F-2co$60 二72cos BBC 顶且I二一工二一MN CD=1(BC + CC (CC + C21(BC CC+BC CD+(CC2+CC2| 両二 f, |CD|=a/22cos =IMNIJCDJ= 60 .MN与CDi所成角为60.7、分析：利用向量理论求异面直线所成的角解：(1)求异面直线 ABi与BCi所成的角，就是求向量Sl_的夹角，如图画二屈+画呢二画+农正三棱柱 ABC-A 1B1C1,珏丄画,画丄农f =依题意|屈冃恥冋两1=2图2从而得:二XI亟+岡尸+胚农+画农 二| 画 f +AB-B二 4+| 迈 | 农 农 a _72= arccos 10设” .，如图3, 依题意可得:AB = AB + BBi=MC + CN=-3.一_i二i.（止iiJ- II 也就是：二-二山-!：-.丁 一厂：厂|AB| |MC|cos+x|BBp-0-+4x - 0即 -，1|CN当 I：时，ABi丄MN.