线线角与线面角.docx

资源描述

线线角与线面角.docx

《线线角与线面角.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《线线角与线面角.docx（15页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

线线角与线面角.docx

线线角与线面角

线线角和线面角

［重点］:

确定点、斜线在平面内的射影。

［知识要点］:

一、线线角

1、定义：

设a、b是异面直线，过空间一点O引a'〃a,b'则/域；b所成的锐角（或直角），叫

做异面直线a、b所成的角.

向量知识：

对异面直线AB和CD

⑵向量二_和匚匸的夹角＜_」，「「「：

＞（或者说其补角）等于异面直线AB

和CD的夹角;

（3）..”厂，二：

二「二■--

二、线面角

1、定义：

平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的锐角，斜线和平面所成角的范围

是（0,_）.

2、直线在平面内或直线与平面平行，它们所成角是零角;

直线垂直平面它们所成角为-

3、范围:

［0,二］

4、射影定理：

斜线长定理：

从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段中:

（1）射影相等的两条斜线段相等，射影较长的斜线段也较长；

（2）相等的斜线段的射影相等，较长的斜线段的射影也较长；

（3）垂线段比任何一条斜线段都短。

5、最小角定理：

平面的一条斜线与平面所成的角，是这条直线和平面内过斜足的直线所成的一切角中最小的角。

6、向量知识

（法向量法）

■*-f*

与平面的斜线共线的向量显和这个平面的一个法向量J的夹角V」，一1>（或

者说其补角）是这条斜线与该平面夹角的余角

［例题分析与解答］

例1•如图所示，在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，求：

异面直线BA1与AC所成

的角.

分析:

利用〔［厂「J_\J-

的夹角

■---11!

■',再根据异面直线BA1，AC所成角的范围确定异面直线所成角

解：

•••】，—-匸二，-!

<■'.：

―二.'：

：

=bTAB+BABC+BB[AB+BB[BC

•/AB丄BC，BB1丄AB，BB1±BC，

...「i,T-；I,

BB]BSCBAAB=-a\

...二小

cos=—=-—

...-_三〔13二-

所以异面直线BAi与AC所成的角为60°.

点评：

求异面直线所成角的关键是求异面直线上两向量的数量积，而要求两向量的数量积,必须会把所求向量用空间的一组基向量来表示

例2.如图⑴，ABCD是一直角梯形，AD丄AB，AD//BC，AB=BC=a,AD=2a,且PA丄平面ABCD，PD与平面ABCD成30。

角.

（1）若AE丄PD,E为垂足，求证：

BE丄PD;

（2）求异面直线AE与CD所成角的大小（用反三角函数表示）

解法一：

证明：

PA丄平面ABCD,

PA丄AB,

AD丄AB,

AB丄平面PAD,

AB丄PD,又AE丄PD,

PD丄平面ABE,

BE丄PD.

⑵解：

设G、H分别为ED、AD的中点，连BH、HG、GB（图

（1））易知,

•••BH//CD.

•••G、H分别为ED、AD的中点，

•HG//AE

则/BHG或它的补角就是异面直线AE、CD所成的角，而"：

-「；刁鳥匸二，

BG2=BE2+EG2=AB2+AE2+EG2=-a2

在△BHG中，由余弦定理，得

arccos——

异面直线AE、CD所成角的大小为-

解法二：

如图

（2）所示建立空间直角坐标系A-xyz,

则「_…-•一…II.：

•：

.I,',

D（0,2a,0）

（1）证明:

BE=（_a,la^a）?

DE=（0,--a,^a）

•-

••

•••_上__I

（2）解:

AE=〔0,—a?

CD=（-afa

0）

cos

AE.CD

|AE||CD|

arccos——

异面直线AE、CD所成角的大小为'■

例3.如图，在正方体

B际叫竽

ABCD-AiBiCiDi中，

的余弦值

dXdgdd^

为x,y,z轴，建立空间直角坐

则

解：

以D为坐标原点，

标系D-xyz，

设正方体的棱长为4，

D（0,0,0），B（4,4,0）,Ei（4,3,4）,Fi（0,1,4）.

则「「

■---：

.，

...广:

-<■■-/-

，求BEi与DFi所成角

cos<両陌>=竺邑

|DF』BE」

•••BEi与DFi所成角的余弦值为厂

点评：

在计算和证明立体几何问题中，若能在原图中建立适当的空间直角坐标系，把图形中

的点的坐标求岀来，那么图形有关问题可用向量表示.利用空间向量的坐标运算来求解，这样可

以避开较为复杂的空间想象。

例4.在120°的二面角P-a-Q的两个面P和Q内，分别有点A和点B.已知点A和点B到棱的距离分别为2和4，且线段|AB|=10.

（1）求直线AB和棱a所成的角；

⑵求直线AB和平面Q所成的角

解：

如图，作AC丄a，BD丄a,垂足分别为C，D

分别以:

1■-■的单位向量为空间的基底：

4兀

过C，B分别作BD，a的平行线，交于E点，

•CE丄a,从而，得：

/ACE就是二面角P-a-Q的平面角,

...<5野口此<却5>=9（][<叶耳

⑴

...AB二AC+CB二CD+DE-CA二m勺+4®-2勺

又|画二10,...（m哥+4&_痔=100

Q—►—*—►-*

展开：

|Y-'I1,'''''''■!

比•（—2勺+6勺十4电）6^23\/2

1^11^1亍丁

372

―-arccos

异面直线一•丄与a所成的角为:

⑵

作AF丄EC,交EC的延长线于F，

a丄平面ACE，ai平面Q，

•••平面ACE丄平面Q,

从而得：

AF丄平面Q，连结FB，

•••■上的射影为

CA®二2d梅=_1

则/ABF就是AB与平面Q所成的角,

在Rt△AFB中，I-」川

反馈练习：

1.过平面外两点和该平面垂直的平面的个数是（）

D.没有

A.1个B.无数个C.一个或无数个

2.已知从一点

P引三条射线

PA，PB，PC，且两两成

60度角，则二面角A—PB—C的二面

角的余弦值是（

）

A..[

B.j

D.不能确定

3.正方体ACi中，E、F分别是AAi与CCi的中点，则直线ED与DiF所成角的大小是（）

所成的角

7、如图1所示，已知正三棱柱ABC-AiBiCi，侧棱长为2,底面边长为1,M是BC的中点.

（1）求异面直线ABi与BCi的夹角；

⑵在直线CCi上求一点N，使MN^ABi.

参考答案:

1.C.

依题意，可知：

IeJ=le2I"Ie3I

设丨■''_'''川

由三角形法则,

DE二DA+AE二-引+尹

D1F=D1C1+C1F=ei--e3

cos=

DEDj

|DE|-|^F|

=X-arccos-

arccos-直线ED与DiF的所成的角为J

丨勺I二I勺|二|唧二2,

n—r兀

C.e|jCj＞二€亡卩已？

已芋勺—

EF=EA+AF=-SA+-AD^lr+-（AB+-BC）

•••

]2<—*]—»■—,-

=-e1+-[AS+SB+-（BS+SC）]

232

1—*2—1—1—*

=~ei+三（-勺+勺--e2+亍巧）

1-1一1一"J

二一一©+_6

613333

AB=AS+SB=-勺+e2

EF■AB=-e}+-e2+-e^）■（-Ej+

633

]"~"■2]—*■2]—►―►]―►-_►[―►=_*■]—►―►

二：

血〕+：

血）一了勺已1一：

电电厂：

旬勺+弋）

633363

241n

=-+---2x2cos60°

332

|蟲匕*一叨+（疔一2哥哥二2

=60°

也就是：

异面直线EF与AB所成的角是60°.

5.B.

如图取AB中点E，连结CE,

由正三棱柱可知：

CE丄平面AAiBiB.

连结EBi,•••/CBiE就是BiC与平面AAiBiB所成的角

设棱长aa1=1，设直运]=epA]C]=如二e3依题意可得：

丨计=6i=|乌|=i,

=60°,-=90c

B]E-BQ+BE=BjB-—A1BI=e3-—e；

京二乔+胚二丽+瓯+屁二W+G+&

BjE-B]C二（—C|+Gj+C]+

丄3.

222

又•••

l^c|=J（-1）2+*+F-2co$60°二72

cos

且I—二—一」工二—一

1（BCCC^+BCCD+（CC^2+CC^

|両二f,|CD^|=a/2

cos=

IMNIJCDJ

=60°.

MN与CDi所成角为60°.

7、分析：

利用向量理论求异面直线所成的角

解：

（1）求异面直线ABi与BCi所成的角，就是求向量

S"l_"的夹角，如图

画二屈+画呢二画+农

•••正三棱柱ABC-A1B1C1,

珏丄画,画丄农

f=—

依题意

|屈冃恥冋两1=2

图2

从而得:

二XI亟+岡尸+胚农+画农二|画f+AB-B^

二4+|迈||农农a_7

=arccos—

⑵设”''''.，如图3,依题意可得:

AB^=AB+BB^i®=MC+CN

...一』］_i二i.（止］iiJ-II也就是：

二-二山「--!

：

...丁一「"厂…：

「厂—

|AB||MC|cos+x|BB［p-0

--+4x-0

即■■-

—，1

|CN「

当I：

时，ABi丄MN.

展开阅读全文