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1、创新型四边形探究题 课题：创新型四边形探究题 范例精讲【创新型四边形探究题】1 如图，ABC中，点O是AC上的一个动点，过点O作直线MNBC，设MN交BCA的平分线于E，交BCA的外角平分线于F请猜测OE与OF之间的关系，并说明你的理由；点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？写出推理过程；在什么条件下，四边形AECF是正方形？2 如图，四边形ABCD是正方形，CE是BCD的外角DCF的平分线（如果需要，还可以继续操作、实验与测量）操作实验：将直角尺的直角顶点P在边BC上移动（与点B、C不重合），且一直角边经过点A，另一直角边与射线CE交于点Q，不断移动P点，同时测量线段PQ与线段PA的长度，

2、完成下列表格（精确到0.1cm）PAPQ第一次第二次观测测量结果，猜测它们之间的关系： ；请证明你猜测的结论；当点P在BC的延长线上移动时，继续的操作实验，试问：中的猜测结论还成立吗？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由3 已知：ABCD的对角线交点为O，点E、F分别在边AB、CD上，分别沿DE、BF折叠四边形ABCD，A、C两点恰好都落在点O处，且四边形DEBF为菱形（如图）求证：四边形ABCD是矩形；在四边形ABCD中，求的值4 实验与推理：如下图将一把三角尺放在正方形ABCD上，并使它的直角顶点P在对角线AC上滑动，直角的一边始终经过点B，另一边与线段DA相交于点E，求证：PB=PE

3、。操作：如图，已知矩形ABCD，AD=4，DC=3。将一把三角尺放在矩形ABCD上，并使它的直角顶点P在对角线上滑动，直角的一边始终经过B点，另一边与线段DA相交于点E。探究：PB=PE吗？如果相等，请证明；如果不相等，请求出PBPE的值。设点P分别滑动到P1、P2时，所对应的三角形分别是BP1E1、BP2E2，试判断这两个三角形是否相似，请证明你的结论。（图、供操作，图备用）5 操作：如图1，把正方形CGEF的对角线CE放在正方形ABCD的边BC的延长线上（CGBC），取线段AE的中点M。探究：线段MD、MF的关系，并加以证明。说明：（1）如果你经历反复探索，没有找到解决问题的方法，请你把探

4、索过程中的某种思路写出来（要求至少写3步）；（2）在你经历说明（1）的过程之后，可以从下列、中选取一个补充或更换已知条件，完成你的证明。DM的延长线交CE于点N，且ADNE；将正方形CGEF绕点C逆时针旋转45（如图2），其他条件不变；在的条件下且CF2AD。附加题：将正方形CGEF绕点C旋转任意角度后（如图3），其他条件不变。探究：线段MD、MF的关系，并加以证明。 基础训练【创新型四边形探究题】6 如图l，已知正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E是AC上一点，连结EB，过点A作AMBE，垂足为M，AM交BD于点F求证：OEOF；如图2，若点E在AC的延长线上，AMBE于点M，交D

5、B的延长线于点F，其它条件不变，则结论“OEOF”还成立吗?如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由 综合提高【创新型四边形探究题】7 如图，在ABC中，ACB90，BC的垂直平分线DE交BC于D，交AB于E，F在DE上，并且AFCE求证：四边形ACEF是平行四边形；当B的大小满足什么条件时，四边形ACEF是菱形？并给予证明；四边形ACEF有可能是正方形吗？为什么？8 如图1，已知ABC的高AE5，BC，ABC45，F是AE上的点，G是点E关于F的对称点，过点G作BC的平行线与AB交于H、与AC交于I，连接IF并延长交BC于J，连接HF并延长交BC于K请你探索并判断四边形HIKJ是怎样的四

6、边形？并对你得到的结论予以证明；当点F在AE上运动并使点H、I、K、J都在ABC的三条边上时，求线段AF长的取值范围（图2供思考用）9 已知结论：“从平行四边形ABCD的顶点A、B、C、D向形外的任意直线MN引垂线AA/、BB/、CC/、DD/，垂足分别是A/、B/、C/、D/，如图1，等式AA/CC/BB/DD/成立”现将直线MN向上移动，使得A点在直线一侧，B、C、D三点在直线的另一侧，如图2，从A、B、C、D向直线MN作垂线，垂足分别是A/、B/、C/、D/，那么垂线段AA/、BB/、CC/、DD/之间存在什么关系？请写出你的猜想，并加以证明如果将MN再向上移动，使两侧各有两个顶点，如图

7、3，从A、B、C、D向直线MN作的垂线段AA/、BB/、CC/、DD/之间存在什么关系？请写出你的猜想，并加以证明 探究创新【创新型四边形探究题】10 如图1，正方形ABCD是边长为1的正方形，正方形EFGH的边HE、HG与正方形ABCD的边AB、BC交于点M、N，顶点在对角线BD上移动，设点M、N到BD的距离分别是HM、HN，四边形MBNH的面积是S当顶点H和正方形ABCD的中心O重合时（图1），S ，HMHN （只要求写出结果，不用证明）；若顶点H为OB的中点（图2），则S ，HMHN （只要求写出结果，不用证明）；按要求完成下列问题：我们准备探索：当BHn时，S ，HMHN ；简要写出你

8、的探索过程；在上面的横线上填上你的结论；证明你得到的结论。11 有一张矩形纸片ABCD，E、F分别是BC、AD上的点（但不与顶点重合），若EF将矩形ABCD分成面积相等的两部分，设ABa，ADb，BEx求证：AFEC；用剪刀将该纸片沿直线EF剪开后，再将梯形纸片ABEF沿AB对称翻折，平移拼接在梯形ECDF的下方，使一底边重合，一腰落在DC的延长线上，拼接后，下方梯形记作EE/B/C当xb为何值时，直线E/E经过原矩形的一个顶点？在直线E/E经过原矩形的一个顶点的情形下，连结BE/，直线BE/与EF是否平行？你若认为平行，请给予证明；你若认为不平行，试探究当a与b有何种数量关系时，它们就垂直？

9、 课题：创新型四边形探究题 内容方法【创新型四边形探究题】新课程标准特别注重对探究能力、创新能力的培养，因此，探究性试题成为当前中考的一个热点。 范例精讲【创新型四边形探究题】1 如图，ABC中，点O是AC上的一个动点，过点O作直线MNBC，设MN交BCA的平分线于E，交BCA的外角平分线于F（高新区0506）请猜测OE与OF之间的关系，并说明你的理由；点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？写出推理过程；在什么条件下，四边形AECF是正方形？解：猜测结论：OEOF；MNBC，OECECB，又OCEECB，OECOCE，OEOC，同理可得OCOF，OEOF；当点O移动到AC的中点时，四边形AE

10、CF是矩形证明：由知OCEF时，ACEF，当AOOC时，四边形AECF是矩形；只有当OECOCE45时，即ACB90，且点O为AC的中点时，四边形AECF是正方形2 如图，四边形ABCD是正方形，CE是BCD的外角DCF的平分线（高新区0506）（如果需要，还可以继续操作、实验与测量）操作实验：将直角尺的直角顶点P在边BC上移动（与点B、C不重合），且一直角边经过点A，另一直角边与射线CE交于点Q，不断移动P点，同时测量线段PQ与线段PA的长度，完成下列表格（精确到0.1cm）PAPQ第一次第二次观测测量结果，猜测它们之间的关系： ；请证明你猜测的结论；当点P在BC的延长线上移动时，继续的操作

11、实验，试问：中的猜测结论还成立吗？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由解：略；猜测结论：PAPQ；证明：如图1，在BA上取BHBP，连结PH，ABBC，AHPC，AHPPCQ135，且HAPCPQ（同为APB的余角），AHPPCQ，PAPQ；当点P在BC的延长线上时，如图2，仍有结论PAPQ，证明：在BA的延长线上取AHCP，连结PH，则有BHBP，AHP45，而PCQ45，AHPPCQ，又ADBP，DAPCPA，HAPCPQ，AHPPCQ，PAPQ；3 已知：ABCD的对角线交点为O，点E、F分别在边AB、CD上，分别沿DE、BF折叠四边形ABCD，A、C两点恰好都落在点O处，且四边形D

12、EBF为菱形（如图）（江苏金湖实验区05）求证：四边形ABCD是矩形；在四边形ABCD中，求的值（1）证明：连结OE，四边形ABCD是平行四边形，DOOB，四边形DEBF是菱形，DEBE，EOBD，DOE90，即DAE90，又四边形ABCD是平行四边形，四边形ABCD是矩形；（2）解：四边形DEBF是菱形，FDBEDB，又由题意知EDBEDA，由（1）知四边形ABCD是矩形，ADF90，即FDBEDBADE90，则ADB60，在RtADB中，有ADAB1，即4 实验与推理：如下图将一把三角尺放在正方形ABCD上，并使它的直角顶点P在对角线AC上滑动，直角的一边始终经过点B，另一边与线段DA相交

13、于点E，求证：PB=PE。操作：如图，已知矩形ABCD，AD=4，DC=3。将一把三角尺放在矩形ABCD上，并使它的直角顶点P在对角线上滑动，直角的一边始终经过B点，另一边与线段DA相交于点E。探究：PB=PE吗？如果相等，请证明；如果不相等，请求出PBPE的值。设点P分别滑动到P1、P2时，所对应的三角形分别是BP1E1、BP2E2，试判断这两个三角形是否相似，请证明你的结论。（图、供操作，图备用）5 操作：如图1，把正方形CGEF的对角线CE放在正方形ABCD的边BC的延长线上（CGBC），取线段AE的中点M。（大连课改05）探究：线段MD、MF的关系，并加以证明。说明：（1）如果你经历反

14、复探索，没有找到解决问题的方法，请你把探索过程中的某种思路写出来（要求至少写3步）；（2）在你经历说明（1）的过程之后，可以从下列、中选取一个补充或更换已知条件，完成你的证明。DM的延长线交CE于点N，且ADNE；将正方形CGEF绕点C逆时针旋转45（如图2），其他条件不变；在的条件下且CF2AD。附加题：将正方形CGEF绕点C旋转任意角度后（如图3），其他条件不变。探究：线段MD、MF的关系，并加以证明。解：关系是：MD=MF，MDMF。证法一：如图6，延长DM交CE于N，连结 FD、FN。 正方形ABCD，ADBE，AD=DC 12。1分又AM=EM，34，2分ADMENM3分AD=EN，

15、MD=MN。4分AD=DC，DC=NE。5分又正方形CGEF，FCE=NEF=45，FC=FE，CFE=90。又正方形ABCD，BCD90。DCF=NEF=45，6分FDCFNE。7分FD=FN，568分CFE90，DFN90。9分又DM=MN，MD=MF，DMMF。10分 证法二：如图7，连结AC、FD，延长DM交CE于N，连结 CM并延长交FE于H。 正方形ABCD，ADBE。12。1分 AM=EM，34，2分ADMENM3分MD=MN。4分AC和CE分别是正方形ABCD和CGEF的对角线，ACB=FEC=45，FCN45，ACEF。同理可证ACMEHM。5分CM=MH。6分正方形ABCD

16、和正方形CGEF，DCNCFH=90，MCMDMNMFMH。7分点D、C、N、F在以点M为圆心，MD为半径的圆上，FDN=DFM。8分FDNFCN45，FDNDFM45。9分MD=MF，DMMF。10分 证法三：如图7，同证法二证出MCMDMNMFMH。7分 MCN=MNC，MCF=MFC。 DMCMCNMNC=2MCN，FMHMCFMFC2MCF。8分DMC+FMH=2MCN+MCF2（MCN+MCF）2FCE=909分DMF1809090，DMFM。10分思路一：正方形ABCD、CGEF，AB=BC=CD=AD，B=BCD=CDA=BAD90CF=EF=EG=CG，G=GEF=EFC=FC

17、G=90，FCE=FEC=451分DCF=FEC。2分思路二：延长DM交CE于N。正方形ABCD、CGEF，ADCE，DAM=NEM。1分又DMANME，AM=EM，ADMENM。2分思路三：正方形CGEF，FCE=FEC45。1分又正方形ABCD，DCF=180DCBFCE45，DCFFEC452分选取条件证明：如图6，正方形ABCDADBE，AD=DC， 121分 AD=NE，3=4， ADMENM。2分 MD=MN。3分 又AD=DC，DC=NE。4分 又正方形CGEF，FC=FE，FCE=FEN45。 FCD=FEN=45。5分 FDCFNE。6分 FD=FN，56，DFN=CFE90

18、。7分 MD=MF，MDMF。8分选取条件证明：如图8，延长DM交FE于N。正方形ABCD、CGEF，CF=EF，AD=DC，CFE=90，ADFE121分又MAME，34AMDEMN2分MD=MN，AD=EN。AD=DC，DC=NE。3分又FC=FE，FD=FN。4分又DFN=90，FMMD，MF=MD。5分选取条件证明：如图8，延长DM交FE于N。正方形ABCD、CGEF，CF=EF，AD=DC，CFE=90，ADFE121分又MAME，34AMDEMN2分AD=EN，MD=MN，CF=2AD，EF=2EN，FD=FN。又DFN90，FMMD，MF=MD。3分附加题：证法一：如图9，延长D

19、M到N，使MN=MD，连结FD、FN、EN，延长EN与DC延长线交于点H。MA=ME，12，MD=MN，AMDEMN34，AD=NE。又正方形ABCD、CGEF，CF=EF，AD=DC，ADC90，CFE=ADC=FEG=FCG90。DC=NE。34，ADEH。HADC90。G90，56，78。7DCF8FEN90DCFFEN。FC=FE，DCFNEF。FD=FN，DFC=NFE。CFE90，DFN90。FMMD，MF=MD。证法二：如图9，过点E作AD的平行线分别交DM、DC的延长线于N、H，连结DF、FN。ADC=H，34。AM=ME，12，AMDEMNDM=NM，AD=EN。正方形ABC

20、D、CGEF，AD=DC，FC=FE，ADCFCGCFE90，CGFE。H90，5=NEF，DC=NE。DCF75790DCF5NEF。FC=FE，DCFNEF。FD=FN，DFC=NFE。CFE=90，DFN90。FMMD，MF=MD。 基础训练【创新型四边形探究题】6 如图l，已知正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E是AC上一点，连结EB，过点A作AMBE，垂足为M，AM交BD于点F（山东临沂实验区05）求证：OEOF；如图2，若点E在AC的延长线上，AMBE于点M，交DB的延长线于点F，其它条件不变，则结论“OEOF”还成立吗?如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由解：证

21、明：四边形ABCD是正方形，BOEAOF90，OBOA，又AMBE，MEAMAEAFOMAE90，MEAAFO，RtBOERtAOF，OEOF；OEOF成立证明：四边形ABCD是正方形，BOEAOF90，OBOA，又AMBE，FMBF90BOBE，又MBFOBE，FE，RtBOERtAOF，OEOF 综合提高【创新型四边形探究题】7 探究条件型如图，在ABC中，ACB90，BC的垂直平分线DE交BC于D，交AB于E，F在DE上，并且AFCE求证：四边形ACEF是平行四边形；当B的大小满足什么条件时，四边形ACEF是菱形？并给予证明；四边形ACEF有可能是正方形吗？为什么？解析：本题是四边形的判

22、别综合性较强的题目，涉及到平行四边形、菱形、正方形，证明的方法较多，证明时应选用较简便的方法。DF是BC的垂直平分线，DFBC，DBDC，FDBACB90，DFAC，E为斜边AB的中点，CEAEAB，12，又EFAC，AFCEAE，213F，ACEEFA，ACEF，四边形ACEF是平行四边形；当B30时，四边形ACEF是菱形。在ABC中，ACB90，B30，ACAB，由可知，E是AB的中点，CEAB，ACCE，ACEF是菱形；四边形ACEF不可能是正方形。理由如下：由知，E是AB的中点，CE在ABC的内部，ACEACB90，四边形ACEF不可能是正方形。8 如图1，已知ABC的高AE5，BC，

23、ABC45，F是AE上的点，G是点E关于F的对称点，过点G作BC的平行线与AB交于H、与AC交于I，连接IF并延长交BC于J，连接HF并延长交BC于K（湖北宜昌实验区05）请你探索并判断四边形HIKJ是怎样的四边形？并对你得到的结论予以证明；当点F在AE上运动并使点H、I、K、J都在ABC的三条边上时，求线段AF长的取值范围（图2供思考用）解：（1）点G与点E关于点F对称，GF=FE，HIBC，GIF=EJF，又GFI=EFJ，GFIEFJ，GI=JE，同理可得HG=EK，HI=JK，四边形HIKJ是平行四边形；（2）当F是AE的中点时，A、G重合，所以AF=2.5，如图1，AE过平行四边形H

24、IJK的中心F，HG=EK，GI=JE，HG/BE=GI/EC，CEBE，GIHG，CKBJ，当点F在AE上运动时，点K、J随之在BC上运动，如图2，当点F的位置使得B、J重合时，这时点K仍为CE上的某一点（不与C、E重合），而且点H、I也分别在AB、AC上，设EFx，AHGABC45，AE5，BE5GI，AGHG52x，CE5，AGIAEC，AGAEGICE，（52x）55（5），x1，AF5x4，AF49 平移论证型已知结论：“从平行四边形ABCD的顶点A、B、C、D向形外的任意直线MN引垂线AA/、BB/、CC/、DD/，垂足分别是A/、B/、C/、D/，如图1，等式AA/CC/BB/D

25、D/成立”现将直线MN向上移动，使得A点在直线一侧，B、C、D三点在直线的另一侧，如图2，从A、B、C、D向直线MN作垂线，垂足分别是A/、B/、C/、D/，那么垂线段AA/、BB/、CC/、DD/之间存在什么关系？请写出你的猜想，并加以证明如果将MN再向上移动，使两侧各有两个顶点，如图3，从A、B、C、D向直线MN作的垂线段AA/、BB/、CC/、DD/之间存在什么关系？请写出你的猜想，并加以证明解析：对于图2情况，可平行移动直线MN到M/N/位置，使M/N/在平行四边形ABCD的形外，如图所示。设AA/、BB/、CC/、DD/分别交M/N/于A/、B/、C/、D/，则A/A/B/B/C/C/D/D/，由已知结论得：AA/CC/BB/DD/，即（A/A/AA/）（CC/C/C/）（BB/B/B/）（DD/D/D/），CC/AA/BB/DD/对于图3情况，可类似于上述作法，从而得到结论：CC/AA/DD/BB/ 探究创新【创新型四边形探究题】10 旋转问题如图1，正方形ABCD是边长为1的正方形，正方形EFGH的边HE、HG与正方形ABCD的边AB、BC交于点M、N，顶点在对角线BD上移动，设点M、N到BD的距离分别是HM、HN，四边形MBNH的面积是S当顶点H和正方形ABCD的中心O重合时（图1），S ，HMHN （只要求写出结果，不用证明）；若顶点H为OB的