创新型四边形探究题.docx
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创新型四边形探究题
★课题：
创新型四边形探究题
★范例精讲【创新型四边形探究题】
1．如图，△ABC中，点O是AC上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于E，交∠BCA的外角平分线于F．
⑴请猜测OE与OF之间的关系，并说明你的理由；
⑵点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？
写出推理过程；
⑶在什么条件下，四边形AECF是正方形？
2．如图，四边形ABCD是正方形，CE是∠BCD的外角∠DCF的平分线．
（如果需要，还可以继续操作、实验与测量）
⑴操作实验：
将直角尺的直角顶点P在边BC上移动（与点B、C不重合），且一直角边经过点A，另一直角边与射线CE交于点Q，不断移动P点，同时测量线段PQ与线段PA的长度，完成下列表格（精确到0.1cm）．
PA
PQ
第一次
第二次
⑵观测测量结果，猜测它们之间的关系：
；
⑶请证明你猜测的结论；
⑷当点P在BC的延长线上移动时，继续⑴的操作实验，试问：
⑴中的猜测结论还成立吗？
若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．
3．已知：
□ABCD的对角线交点为O，点E、F分别在边AB、CD上，分别沿DE、BF折叠四边形ABCD，A、C两点恰好都落在点O处，且四边形DEBF为菱形（如图）．
⑴求证：
四边形ABCD是矩形；
⑵在四边形ABCD中，求
的值．
4．实验与推理：
⑴如下图将一把三角尺放在正方形ABCD上，并使它的直角顶点P在对角线AC上滑动，直角的一边始终经过点B，另一边与线段DA相交于点E，求证：
PB=PE。
⑵操作：
如图，已知矩形ABCD，AD=4，DC=3。
将一把三角尺放在矩形ABCD上，并使它的直角顶点P在对角线上滑动，直角的一边始终经过B点，另一边与线段DA相交于点E。
探究：
①PB=PE吗？
如果相等，请证明；如果不相等，请求出PB︰PE的值。
②设点P分别滑动到P1、P2时，所对应的三角形分别是△BP1E1、△BP2E2，试判断这两个三角形是否相似，请证明你的结论。
（图②、③供操作，图④备用）
5．
操作：
如图1，把正方形CGEF的对角线CE放在正方形ABCD的边BC的延长线上（CG＞BC），取线段AE的中点M。
探究：
线段MD、MF的关系，并加以证明。
说明：
（1）如果你经历反复探索，没有找到解决问题的方法，请你把探索过程中的某种思路写出来（要求至少写3步）；
（2）在你经历说明
（1）的过程之后，可以从下列①、②、③中选取一个补充或更换已知条件，完成你的证明。
①DM的延长线交CE于点N，且AD＝NE；
②将正方形CGEF绕点C逆时针旋转45°（如图2），其他条件不变；
③在②的条件下且CF＝2AD。
附加题：
将正方形CGEF绕点C旋转任意角度后（如图3），其他条件不变。
探究：
线段MD、MF的关系，并加以证明。
★基础训练【创新型四边形探究题】
6．如图l，已知正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E是AC上一点，连结EB，过点A作AM
BE，垂足为M，AM交BD于点F．
⑴求证：
OE＝OF；
⑵如图2，若点E在AC的延长线上，AM
BE于点M，交DB的延长线于点F，其它条件不变，则结论“OE＝OF”还成立吗?
如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由．
★综合提高【创新型四边形探究题】
7．
如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC的垂直平分线DE交BC于D，交AB于E，F在DE上，并且AF＝CE．
⑴求证：
四边形ACEF是平行四边形；
⑵当∠B的大小满足什么条件时，四边形ACEF是菱形？
并给予证明；
⑶四边形ACEF有可能是正方形吗？
为什么？
8．如图1，已知△ABC的高AE＝5，BC＝
，∠ABC＝45°，F是AE上的点，G是点E关于F的对称点，过点G作BC的平行线与AB交于H、与AC交于I，连接IF并延长交BC于J，连接HF并延长交BC于K．
⑴请你探索并判断四边形HIKJ是怎样的四边形？
并对你得到的结论予以证明；
⑵当点F在AE上运动并使点H、I、K、J都在△ABC的三条边上时，求线段AF长的取值范围．（图2供思考用）
9．
已知结论：
“从平行四边形ABCD的顶点A、B、C、D向形外的任意直线MN引垂线AA/、BB/、CC/、DD/，垂足分别是A/、B/、C/、D/，如图1，等式AA/＋CC/＝BB/＋DD/成立．”
现将直线MN向上移动，使得A点在直线一侧，B、C、D三点在直线的另一侧，如图2，从A、B、C、D向直线MN作垂线，垂足分别是A/、B/、C/、D/，那么垂线段AA/、BB/、CC/、DD/之间存在什么关系？
请写出你的猜想，并加以证明．
如果将MN再向上移动，使两侧各有两个顶点，如图3，从A、B、C、D向直线MN作的垂线段AA/、BB/、CC/、DD/之间存在什么关系？
请写出你的猜想，并加以证明．
★探究创新【创新型四边形探究题】
10．如图1，正方形ABCD是边长为1的正方形，正方形EFGH的边HE、HG与正方形ABCD的边AB、BC交于点M、N，顶点在对角线BD上移动，设点M、N到BD的距离分别是HM、HN，四边形MBNH的面积是S．
⑴当顶点H和正方形ABCD的中心O重合时（图1），S＝，HM＋HN＝（只要求写出结果，不用证明）；
⑵若顶点H为OB的中点（图2），则S＝，HM＋HN＝（只要求写出结果，不用证明）；
⑶按要求完成下列问题：
我们准备探索：
当BH＝n时，S＝，HM＋HN＝；
①简要写出你的探索过程；
②在上面的横线上填上你的结论；
③证明你得到的结论。
11．有一张矩形纸片ABCD，E、F分别是BC、AD上的点（但不与顶点重合），若EF将矩形ABCD分成面积相等的两部分，设AB＝a，AD＝b，BE＝x．
⑴求证：
AF＝EC；
⑵用剪刀将该纸片沿直线EF剪开后，再将梯形纸片ABEF沿AB对称翻折，平移拼接在梯形ECDF的下方，使一底边重合，一腰落在DC的延长线上，拼接后，下方梯形记作EE/B/C．
①当x∶b为何值时，直线E/E经过原矩形的一个顶点？
②在直线E/E经过原矩形的一个顶点的情形下，连结BE/，直线BE/与EF是否平行？
你若认为平行，请给予证明；你若认为不平行，试探究当a与b有何种数量关系时，它们就垂直？
★课题：
创新型四边形探究题
※内容方法【创新型四边形探究题】
新课程标准特别注重对探究能力、创新能力的培养，因此，探究性试题成为当前中考的一个热点。
★范例精讲【创新型四边形探究题】
1．如图，△ABC中，点O是AC上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于E，交∠BCA的外角平分线于F．（高新区05～06）
⑴请猜测OE与OF之间的关系，并说明你的理由；
⑵点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？
写出推理过程；
⑶在什么条件下，四边形AECF是正方形？
解：
⑴猜测结论：
OE＝OF；∵MN∥BC，∴∠OEC＝∠ECB，
又∵∠OCE＝∠ECB，∴∠OEC＝∠OCE，
∴OE＝OC，同理可得OC＝OF，∴OE＝OF；
⑵当点O移动到AC的中点时，四边形AECF是矩形．
证明：
由⑴知OC＝
EF时，AC＝EF，∴当AO＝OC时，四边形AECF是矩形；⑶只有当∠OEC＝∠OCE＝45°时，即∠ACB＝90°，且点O为AC的中点时，四边形AECF是正方形．
2．如图，四边形ABCD是正方形，CE是∠BCD的外角∠DCF的平分线．（高新区05～06）
（如果需要，还可以继续操作、实验与测量）
⑴操作实验：
将直角尺的直角顶点P在边BC上移动（与点B、C不重合），且一直角边经过点A，另一直角边与射线CE交于点Q，不断移动P点，同时测量线段PQ与线段PA的长度，完成下列表格（精确到0.1cm）．
PA
PQ
第一次
第二次
⑵观测测量结果，猜测它们之间的关系：
；⑶请证明你猜测的结论；
⑷当点P在BC的延长线上移动时，继续⑴的操作实验，试问：
⑴中的猜测结论还成立吗？
若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．
解：
⑴略；⑵猜测结论：
PA＝PQ；⑶证明：
如图1，在BA上取BH＝BP，连结PH，∵AB＝BC，∴AH＝PC，∠AHP＝∠PCQ＝135°，且∠HAP＝∠CPQ（同为∠APB的余角），∴△AHP≌△PCQ，∴PA＝PQ；
⑷当点P在BC的延长线上时，如图2，仍有结论PA＝PQ，
证明：
在BA的延长线上取AH＝CP，连结PH，则有BH＝BP，∴∠AHP＝45°，
而∠PCQ＝45°，∴∠AHP＝∠PCQ，又∵AD∥BP，∴∠DAP＝∠CPA，∠HAP＝∠CPQ，∴△AHP≌△PCQ，∴PA＝PQ；
3．
已知：
□ABCD的对角线交点为O，点E、F分别在边AB、CD上，分别沿DE、BF折叠四边形ABCD，A、C两点恰好都落在点O处，且四边形DEBF为菱形（如图）．（江苏金湖实验区05）
⑴求证：
四边形ABCD是矩形；
⑵在四边形ABCD中，求
的值．
（1）证明：
连结OE，∵四边形ABCD是平行四边形，∴DO＝OB，∵四边形DEBF是菱形，∴DE＝BE，∴EO⊥BD，∴∠DOE＝90°，即∠DAE＝90°，又四边形ABCD是平行四边形，∴四边形ABCD是矩形；
（2）解：
∵四边形DEBF是菱形，∴∠FDB＝∠EDB，又由题意知∠EDB＝∠EDA，
由
（1）知四边形ABCD是矩形，∴∠ADF＝90°，
即∠FDB＋∠EDB＋∠ADE＝90°，则∠ADB＝60°，
∴在Rt△ADB中，有AD∶AB＝1∶
，即
．
4．实验与推理：
⑴如下图将一把三角尺放在正方形ABCD上，并使它的直角顶点P在对角线AC上滑动，直角的一边始终经过点B，另一边与线段DA相交于点E，求证：
PB=PE。
⑵操作：
如图，已知矩形ABCD，AD=4，DC=3。
将一把三角尺放在矩形ABCD上，并使它的直角顶点P在对角线上滑动，直角的一边始终经过B点，另一边与线段DA相交于点E。
探究：
①PB=PE吗？
如果相等，请证明；如果不相等，请求出PB︰PE的值。
②设点P分别滑动到P1、P2时，所对应的三角形分别是△BP1E1、△BP2E2，试判断这两个三角形是否相似，请证明你的结论。
（图②、③供操作，图④备用）
5．
操作：
如图1，把正方形CGEF的对角线CE放在正方形ABCD的边BC的延长线上（CG＞BC），取线段AE的中点M。
（大连课改05）
探究：
线段MD、MF的关系，并加以证明。
说明：
（1）如果你经历反复探索，没有找到解决问题的方法，请你把探索过程中的某种思路写出来（要求至少写3步）；
（2）在你经历说明
（1）的过程之后，可以从下列①、②、③中选取一个补充或更换已知条件，完成你的证明。
①DM的延长线交CE于点N，且AD＝NE；
②将正方形CGEF绕点C逆时针旋转45°（如图2），其他条件不变；
③在②的条件下且CF＝2AD。
附加题：
将正方形CGEF绕点C旋转任意角度后（如图3），其他条件不变。
探究：
线段MD、MF的关系，并加以证明。
解：
关系是：
MD=MF，MD⊥MF。
证法一：
如图6，延长DM交CE于N，连结
FD、FN。
∵正方形ABCD，∴AD∥BE，AD=DC
∴∠1＝∠2。
……………………………1分
又∵AM=EM，∠3＝∠4，………………2分
∴△ADM≌△ENM………………………3分
∴AD=EN，MD=MN。
……………………4分
∵AD=DC，∴DC=NE。
…………………5分
又∵正方形CGEF，
∴∠FCE=∠NEF=45°，FC=FE，∠CFE=90°。
又∵正方形ABCD，∴∠BCD＝90°。
∴∠DCF=∠NEF=45°，………………6分
∴△FDC≌△FNE。
……………………7分
∴FD=FN，∠5＝∠6……………………8分
∵∠CFE＝90°，∴∠DFN＝90°。
……9分
又∵DM=MN，∴MD=MF，DM⊥MF。
…10分
证法二：
如图7，连结AC、FD，延长DM交CE于N，连结
CM并延长交FE于H。
∵正方形ABCD，∴AD∥BE。
∴∠1＝∠2。
……1分
∵AM=EM，∠3＝∠4，……………………………2分
∴△ADM≌△ENM……………………………………3分
∴MD=MN。
……………………………………………4分
∵AC和CE分别是正方形ABCD和CGEF的对角线，
∴∠ACB=∠FEC=45°，∠FCN＝45°，
∴AC∥EF。
同理可证△ACM≌△EHM。
………………………………5分
∴CM=MH。
………………………………………………………………6分
∵正方形ABCD和正方形CGEF，
∴∠DCN＝∠CFH=90°，
∴MC＝MD＝MN＝MF＝MH。
…………………………………………7分
∴点D、C、N、F在以点M为圆心，MD为半径的圆上，
∠FDN=∠DFM。
…………………………………………………………8分
∴∠FDN＝∠FCN＝45°，∴∠FDN＝∠DFM＝45°。
………………9分
∴MD=MF，DM⊥MF。
………………………………………………10分
证法三：
如图7，同证法二证出MC＝MD＝MN＝MF＝MH。
……………………7分
∴∠MCN=∠MNC，∠MCF=∠MFC。
∵∠DMC＝∠MCN＋∠MNC=2∠MCN，
∠FMH＝∠MCF＋∠MFC＝2∠MCF。
……………………8分
∴∠DMC+∠FMH=2∠MCN+∠MCF＝2（∠MCN+∠MCF）
＝2∠FCE=90°……………………………9分
∴∠DMF＝180°－90°＝90°，∴DM⊥FM。
…………………10分
思路一：
∵正方形ABCD、CGEF，∴AB=BC=CD=AD，
∠B=∠BCD=∠CDA=∠BAD＝90°
CF=EF=EG=CG，∠G=∠GEF=∠EFC=∠FCG=90°，
∠FCE=∠FEC=45°……1分
∴∠DCF=∠FEC。
……2分
思路二：
延长DM交CE于N。
∵正方形ABCD、CGEF，∴AD∥CE，∴∠DAM=∠NEM。
……1分
又∵∠DMA＝∠NME，AM=EM，
∴△ADM≌△ENM。
……2分
思路三：
∵正方形CGEF，∴∠FCE=∠FEC＝45°。
……1分
又∵正方形ABCD，∴∠DCF=180°－∠DCB－∠FCE＝45°，
∠DCF＝∠FEC＝45°……2分
选取条件①
证明：
如图6，∵正方形ABCD∴AD∥BE，AD=DC，
∴∠1＝∠2………………………………………………………1分
∵AD=NE，∠3=∠4，
∴△ADM≌△ENM。
……………………………………………2分
∴MD=MN。
…………………………………………………………3分
又∵AD=DC，∴DC=NE。
……………………………………………4分
又∵正方形CGEF，∴FC=FE，∠FCE=∠FEN＝45°。
∴∠FCD=∠FEN=45°。
……………………………………………5分
∴△FDC≌△FNE。
…………………………………………………6分
∴FD=FN，∠5＝∠6，∴∠DFN=∠CFE＝90°。
………………7分
∴MD=MF，MD⊥MF。
……………………………………………8分
选取条件②
证明：
如图8，延长DM交FE于N。
∵正方形ABCD、CGEF，
∴CF=EF，AD=DC，∠CFE=90°，AD∥FE
∴∠1＝∠2……………………………1分
又∵MA＝ME，∠3＝∠4
∴△AMD≌△EMN……………………2分
∴MD=MN，AD=EN。
∵AD=DC，∴DC=NE。
………3分
又∵FC=FE，∴FD=FN。
……………………4分
又∵∠DFN=90°，∴FM⊥MD，MF=MD。
……………………5分
选取条件③
证明：
如图8，延长DM交FE于N。
∵正方形ABCD、CGEF，
∴CF=EF，AD=DC，∠CFE=90°，AD∥FE
∴∠1＝∠2……………………………1分
又∵MA＝ME，∠3＝∠4
∴△AMD≌△EMN……………………2分
∴AD=EN，MD=MN，∵CF=2AD，EF=2EN，
∴FD=FN。
又∵∠DFN＝90°，∴FM⊥MD，MF=MD。
……………3分
附加题：
证法一：
如图9，延长DM到N，
使MN=MD，连结FD、FN、EN，
延长EN与DC延长线交于点H。
∵MA=ME，∠1＝∠2，MD=MN，
∴△AMD≌△EMN
∴∠3＝∠4，AD=NE。
又∵正方形ABCD、CGEF，
∴CF=EF，AD=DC，∠ADC＝90°，
∠CFE=∠ADC=∠FEG=∠FCG＝90°。
∴DC=NE。
∵∠3＝∠4，∴AD∥EH。
∴∠H＝∠ADC＝90°。
∵∠G＝90°，∠5＝∠6，∴∠7＝∠8。
∵∠7＋∠DCF＝∠8＋∠FEN＝90°
∴∠DCF＝∠FEN。
∵FC=FE，∴△DCF≌△NEF。
∴FD=FN，∠DFC=∠NFE。
∵∠CFE＝90°，∴∠DFN＝90°。
∴FM⊥MD，MF=MD。
证法二：
如图9，过点E作AD的平行线分别交DM、DC的延长线于N、H，连结DF、FN。
∴∠ADC=∠H，∠3＝∠4。
∵AM=ME，∠1＝∠2，
∴△AMD≌△EMN
∴DM=NM，AD=EN。
∵正方形ABCD、CGEF，
∴AD=DC，FC=FE，∠ADC＝∠FCG＝∠CFE＝90°，CGFE。
∴∠H＝90°，∠5=∠NEF，DC=NE。
∴∠DCF＋∠7＝∠5＋∠7＝90°
∴∠DCF＝∠5＝∠NEF。
∵FC=FE，∴△DCF≌△NEF。
∴FD=FN，∠DFC=∠NFE。
∵∠CFE=90°，∴∠DFN＝90°。
∴FM⊥MD，MF=MD。
★基础训练【创新型四边形探究题】
6．如图l，已知正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E是AC上一点，连结EB，过点A作AM
BE，垂足为M，AM交BD于点F．（山东临沂实验区05）
⑴求证：
OE＝OF；
⑵如图2，若点E在AC的延长线上，AM
BE于点M，交DB的延长线于点F，其它条件不变，则结论“OE＝OF”还成立吗?
如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由．
解：
⑴证明：
∵四边形ABCD是正方形，∴∠BOE＝∠AOF＝90°，OB＝OA，
又∵AM⊥BE，∴∠MEA＋∠MAE＝∠AFO＋∠MAE＝90°，∴∠MEA＝∠AFO，
∴Rt△BOE≌Rt△AOF，∴OE＝OF；
⑵OE＝OF成立．
证明：
∵四边形ABCD是正方形，∴∠BOE＝∠AOF＝90°，OB＝OA，
又∵AM⊥BE，∴∠F＋∠MBF＝90°＝∠B＋∠OBE，
又∵∠MBF＝∠OBE，∴∠F＝∠E，∴Rt△BOE≌Rt△AOF，∴OE＝OF．
★综合提高【创新型四边形探究题】
7．〖探究条件型〗
如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC的垂直平分线DE交BC于D，交AB于E，F在DE上，并且AF＝CE．
⑴求证：
四边形ACEF是平行四边形；
⑵当∠B的大小满足什么条件时，四边形ACEF是菱形？
并给予证明；
⑶四边形ACEF有可能是正方形吗？
为什么？
解析：
本题是四边形的判别综合性较强的题目，涉及到平行四边形、菱形、正方形，证明的方法较多，证明时应选用较简便的方法。
⑴∵DF是BC的垂直平分线，∴DF⊥BC，DB＝DC，∴∠FDB＝∠ACB＝90°，
∴DF∥AC，∴E为斜边AB的中点，∴CE＝AE＝
AB，∴∠1＝∠2，
又∵EF∥AC，AF＝CE＝AE，∴∠2＝∠1＝∠3＝∠F，
∴△ACE≌△EFA，∴AC＝EF，∴四边形ACEF是平行四边形；
⑵当∠B＝30°时，四边形ACEF是菱形。
在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，∴AC＝
AB，
由⑴可知，E是AB的中点，∴CE＝
AB，∴AC＝CE，∴□ACEF是菱形；
⑶四边形ACEF不可能是正方形。
理由如下：
由⑴知，E是AB的中点，∴CE在△ABC的内部，∴∠ACE＜∠ACB＝90°，
∴四边形ACEF不可能是正方形。
8．如图1，已知△ABC的高AE＝5，BC＝
，∠ABC＝45°，F是AE上的点，G是点E关于F的对称点，过点G作BC的平行线与AB交于H、与AC交于I，连接IF并延长交BC于J，连接HF并延长交BC于K．（湖北宜昌实验区05）
⑴请你探索并判断四边形HIKJ是怎样的四边形？
并对你得到的结论予以证明；
⑵当点F在AE上运动并使点H、I、K、J都在△ABC的三条边上时，求线段AF长的取值范围．（图2供思考用）
解：
（1）∵点G与点E关于点F对称，∴GF=FE，
∵HI∥BC，∴∠GIF=∠EJF，又∵∠GFI=∠EFJ，∴△GFI≌△EFJ，∴GI=JE，
同理可得HG=EK，∴HI=JK，∴四边形HIKJ是平行四边形；
（2）当F是AE的中点时，A、G重合，所以AF=2.5，
如图1，∵AE过平行四边形HIJK的中心F，∴HG=EK，GI=JE，∴HG/BE=GI/EC，
∵CE＞BE，∴GI＞HG，∴CK＞BJ，
∴当点F在AE上运动时，点K、J随之在BC上运动，
如图2，当点F的位置使得B、J重合时，这时点K仍为CE上的某一点（不与C、E重合），而且点H、I也分别在AB、AC上，
设EF＝x，∵∠AHG＝∠ABC＝45°，AE＝5，
∴BE＝5＝GI，AG＝HG＝5－2x，CE＝
－5，
∵△AGI∽△AEC，∴AG∶AE＝GI∶CE，∴（5－2x）∶5＝5∶（
－5），
∴x＝1，∴AF＝5－x＝4，∴
＜AF≤4．
9．
〖平移论证型〗已知结论：
“从平行四边形ABCD的顶点A、B、C、D向形外的任意直线MN引垂线AA/、BB/、CC/、DD/，垂足分别是A/、B/、C/、D/，如图1，等式AA/＋CC/＝BB/＋DD/成立．”
现将直线MN向上移动，使得A点在直线一侧，B、C、D三点在直线的另一侧，如图2，从A、B、C、D向直线MN作垂线，垂足分别是A/、B/、C/、D/，那么垂线段AA/、BB/、CC/、DD/之间存在什么关系？
请写出你的猜想，并加以证明．
如果将MN再向上移动，使两侧各有两个顶点，如图3，从A、B、C、D向直线MN作的垂线段AA/、BB/、CC/、DD/之间存在什么关系？
请写出你的猜想，并加以证明．
解析：
对于图2情况，可平行移动直线MN到M/N/位置，使M/N/在平行四边形ABCD的形外，如图所示。
设AA/、BB/、CC/、DD/分别交M/N/于A//、B//、C//、D//，则
A/A//＝B/B//＝C/C//＝D/D//，由已知结论得：
AA//＋CC//＝BB//＋DD//，即（A/A//－AA/）＋（CC/＋C/C//）＝（BB/＋B/B//）＋（DD/＋D/D//），∴CC/－AA/＝BB/＋DD/．
对于图3情况，可类似于上述作法，从而得到结论：
CC/－AA/＝DD/－BB/．
★探究创新【创新型四边形探究题】
10．〖旋转问题〗如图1，正方形ABCD是边长为1的正方形，正方形EFGH的边HE、HG与正方形ABCD的边AB、BC交于点M、N，顶点在对角线BD上移动，设点M、N到BD的距离分别是HM、HN，四边形MBNH的面积是S．
⑴当顶点H和正方形ABCD的中心O重合时（图1），S＝，HM＋HN＝（只要求写出结果，不用证明）；
⑵若顶点H为OB的
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