23个立体几何与空间向量专题docx.docx

1、23个立体几何与空间向量专题docx23个立体几何与空间向量专题17如图所示,AF . DE分别是口 0、UP的直径，4D与两圆所在的平面均垂直，AD = 8.BC = AF, AB = AC = 6, 0EI/AD 求二面角B-AD-F的大小；求直线与EF所成的角的余弦值.解析：由勾股定理得：AF = BC = lAB2 + AC2 = 62 ,故：BD = ylAD2 + AB2 = VF+67 = 10 ,EF = yj0F2 + 0E2 = 7(32 )2 + S2 =尿（1）求面ADB和面ADF的夹角0平面ADB的法向量：因为AC丄AB （直径的圆周角），AC丄AD （已知4D丄面A

2、BC） 所以AC丄面ADB,即AC与平面ADB的法向量平行.平面ADF的法向量：因为C丄AF （正方形的对角线互相垂直），丄AD （已知AD丄面ABC）所以BC丄平面ADEF ,即亟与平面ADF的法向量平行.由于疋与西成235角，而这两个面的法向量的夹角与二面角是互补的，所以二面角 是0 = 45。（其实，由图已能看出答案了） 求直线。与EF所成的角的余弦值cos0由图，连接D0,则DO/EF ,且DO=EF ,故直线BD与EF所成的角与线BD与DO所成的角相等，都是&防 + ”2 一2BD DO在 ABDO 中，BD = 10, DO = EF = 482 , BO = -BC = 3y2

3、由余弦定理得: 2102 82-18 164 482 一 -2-10 y/82 一 20尿一 10本题答案:(1) 0 = 45;本题采用平移直线来得到异面直线的夹角，此法称为平移直线法.故：0C丄BD,OC = BD = 432|T2、I如图,四面体ABCD中，O,E分别是BD,BC的中点，CA = CB = CD=BD = 2, AB = AD = y/2（1） 求异面直线AB与CD所成的角；（2） 求点E到平面ACD的距离.解析：在AABD中，BD = 2, AB=AD = 2 ,满足勾股定理，故 AABD 为 RtABD ,所以 OA = OB = OD = = 1, SLAB 丄 A

4、D 2（1）求异面直线AB与CD所成的角0因为0C是等边BCD边D上的中线，由“三线合一”，0C也是BD上的高.在AOC 中，OA = 1, OC = VJ , CA = 2,满足勾股定理，故 AAOC 为 RtMOC则：0C丄0A.根据直线与平面垂直的判定定理得：OC垂直于AABD所在的平面. 所以：BD、OA. OC三条直线是两两垂直.即:花 OD = 0, OB CO = 0,亦 OD = -1 故采用向量的方法去解本题由 AB = AV + OB, CD = CdOD 得:AB CD = (AO + OB) (CO 0D) = Ad-Cd Ad 而 + 筋 而 + 丽而将代入上式得：A

5、BCD = OBOD = -1故:ABCD-1ABCD2/2空间两条直线所称的锐角或直角，称为空间两条直线所称的角.因为不是钝角，所以上 面求解公式直接加上了绝对值.求点E到平面ACD的距离由于E是眈中点，故E到平面ACD的距离是到平面ACD的距离的彳过B作平面ACD的垂线，垂足为F,则由空间向量的共面定理得:BF = xBA + yBC + zBD 且：X+J4-Z= 1 A由BF丄AC ,即BFAC = O得:BF AC = xBA AC + yBC AC + zBD AC = O A因鬲疋=(BO + OA) (Ad + 0C) = -OA2 = -1DAC = 2OD(AO + OC)

6、 = 0所以，代入式得：一兀+ 3y = 0 旋 疋=(BO + OC) (Ad + OC) = OC2 = 3B 由 丄 CD,即 BFCD = O 得:丽CD = xBA CD-yBC页+ z刼亦=0 因甌 CD = (BO + OA)(Cd + OD) = OD2 =1BC CD = (BOOC) (Cd + OD) = OD2-OC2 =-2CD = 20D (CO + OD) = 2OD2 =2所以，代入式得：x-2y-2z = 0 C联立解得：x = , j = , z = - 7 7 7代入式得：bfbabc-Lbd将丽=而+页，BC = BOOC , BD = 2OD代入上式得

7、:故：网=討9。，+ 9曲+他2=乡加民字,于是：弓|丽卜孕本题答案：ABC = arccos(); (2)d =互.4 7本题采用向量点乘法得到异面直线夹角的余弦值.本题求点到平面的距离，也可以采用点到平面的距离等于点与平面上点的连线在法向量MN为空间点P到平面上的点。的向量，顾为平面的法向量.叵二|如图所示，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是半径为R的圆的 内接四边形，其中BD是圆的直径，ZADB = 60 , ZBDC = 45 , 垂直底面ABCD, PD = 2R, 分别是PB,CD上的点，且PE=DF 过点丘作的平行线交PC于GEB FC(1) 求BD与平面ABP所成角0的正弦值；

8、PF 1(2) 当=一时，求AEFG的面积.EB 2解析：因为BD是圆的直径，所以04丄AB9即：DA AB = O因为 PD丄底面 ABCD,所以：PD DA = O, PD AB = O 求BD与平面ABP所成角0的正弦值sin0设BD与平面ABP的法向量所成锐角为(p ,则sin& = cos 过D作平面ABP的垂线，垂足为K,则祁为平面的法向量. 根据共面向量定理得：DK = oDA/3DBydP 且：Q+0+y=7 A 由页丽=得：(aDA + pDB + yDP) AB = O将页.AB = O. DB B = AB2 = 3R2.丽.AB = O代入上式得：0 = 0 B 由页.

9、PA = 0#: (oDA + /3DB + yDP)PA = 0 将页 丙=DA2 = R2. 而 莎=(DA+AB) PA = DA2 = R2.丽冠= _P2 =_眛2代入上式得：a + p_8r = 0 Q JC联立解得：a = , 0 = 0, / =代入式得：略紳+鈔訥4D宀 DP264R5R2R2图3当箸处求注的面积由相似三角形的相似比得:EG 占眈,GFPDD BD与平面ABF的法向量祁所成锐角为,则由向量的点乘得：cos=笃？ 网H将药丽-（紳+鈔）丽紗宀訳代入上式得:9 42COS (p =；= =22 3-R2R3故：sin0 = cos0=由得墨埸F 故：竺=竺=竺/G

10、C FC EB 2由于 EG/BC, GF/PD, PD 丄 BC ,所以 GF 丄 EG于是，S、efg=EG GF中6（孰）=戾点E是正方形BCC/B的中心，点F、G分别是棱Ai将 B C = BDski45 =逅R, PD = 22R 代入上式得:efg=BCPD = L(42R)(242R) = R2、/J 4本题答案：(1) sin& = cos=；(2)S“= 3 9本题采用了空间向量的共面定理来求线面夹角，此法称为共面定理法.Ci|T4、|如图4,已知正方体ABCD-AjBjCjDj的棱长为2 ,GiBiCjDr AA/的中点.设点E/、G/分别是点E、G在平面DCClDl内的正

11、投影.（1）求以E为顶点，以四边形FGAE在平面DCCjDj内的正投影为底面边界的棱锥的体积；（2）求异面直线E/G与E4所成角0的正弦值. 解析： 求棱锥E DGFEj的体积由割补三角形法得DGlFE1的面积为：S叫阳=-SDDiCjC = 2棱锥 E-DGlFEl 的高为：EEt=-BC = l21 2棱锥E - DGFE】的体积为：匕_叫呦=-S叫叫EE产了Di 求异面直线dG与E4所成角卩的正弦值 因为直线EjGj/ZAB,所以（p = ZEABBC cos 45故：如=竺I EA AB2 BC2 cos2 45 将AB = BC = 2代入上式得：2兀返逅2 3sin(p =Ai本题

12、答案：vE_D（iiFEi本题采用平移直线来得到异面直线的夹角，此法称为平移直线法.|T5、妆口图5,在三棱柱ABC-A,中，AAZC;C是边长为4的正方形平面ABC 1平面BiAAjC/C , AB = 3 , BC = 5.（1）求二面角A; - BC1 - Bj的余弦值; 证明：在线段C7存在点D,使得AD丄并求罟的值.D J解析：因为AAZCZC是正方形，所以AA?丄AC因为平面ABC丄平面AA,C,C ,所以AA,丄平面AA,C,C ,故：AAj丄ABBC2 = AB2 + AC2 .满足勾股定理，所以丄疋故：AAj. AB. AC三直线互相垂直.(1)求二面角A1 - BCj -

13、BI的余弦值cos0A过勺作平面BC1B1的垂线，垂足为M,则祝石为平面BCjBj的法向量 由向量共面定理得：AjM = xAjB + yAjB + zAC 其中：x+ y + z = 1 由法向量性质得：AjM BBO,即:xAjB BBj 4- yAjBj BBj + zAjCj - BBj = 0将丽 BBj = -BBj2 = -AA22 = -4 , A1BrBBl=O, A#C 厂丽 = 0 代入上式得：x = 0 由法向量性质得：石帀诵=0,即:xAjB BjCj + yAjBj BjCj + zAjCj - BjCj = 0将丽顽 = (AjBj + b7) - (BjAj +

14、 AjCj) = -AjB = -9AB BC = AB2 9, AC BC = = 16代入上式得：-9兀-9y + z = 0 /K O联立解得：x = 0 , y , z =25 25代入式得：AjM = AlBl+ AlCl 25 25B过作平面BCjAj的垂线，垂足为N,则丽J为平面的法向量 由向量共面定理得： 而 =aBAi +卩丽 + yBCi 其中： + /? + / = 1 由法向量性质得：bJn-AjC = o,即：aBA AjCj + 0BB AjC】+ y B AC 0将 BA AjCj = 0 , 丽.A7C； = 0 , BQ AjCj = AjCj2代入上式得：y

15、 = 0 由法向量性质得：丽丽=0 ,即：aB1A1 - AB + 0BB AB + yBC A【B = 0将3石 BjB XjB = BjB2 = 16 9 BOl B = -ABI2=-9代入上式得：-9a + 16/3 9y = 0 联立解得：务缶0 16 0 代入式得：BN = 一B/A/+一BjB 25 25C由两个平面的法向量点乘得： 16 9 16 9 AMB1N = （A1B1 + A1C1）（B/A；-!- B声）16 ? 2 16 9 9916 9 2 * =-（炙）2 A囲2 + AB BB + - 旳5 B内 +（）2 旳C厂 BjB25 25 25 25将 AjB2

16、= 9 , AB BR = 0 , AC BA = 0 , ACj - BtB = 0代入上式得：丽时一加(歎 而且由得：Ml =扫加 52 + 92 也2 =品6 :;(9.4)2 = #由得: | 硒 JU6BA）2+（9BB）2 = J（3）；;（9.4） = 12于是，两个平面法向量夹角的余弦值COS0为:AjMBjNC0S（p = 7=：冏冋N1625由于&与卩互补，即：0 +(p = 180 ,所以cos0 = -cos = 证明：在线段BC,存在点D,使得AD丄AZB,并求竺的值BCj连结AC,对AABCp由于AB 1 AAj, AB丄AC,故AB丄平面AA7C7C则：AB丄 A

17、C,.Ai采用空间向量法：设:由图可知：AlB = AlA+AB,AD= AB-BD = AB + 2BC,则：A,B AD = (A,A+ AB) (AB + ABC,)=AfA AB + AAfA BC + AB AB + A AB BCt由于AjA丄AB ,故AjAAB = 0 ;由于 A,A = CJC , BC严 BC + CC BC 丄 CC故： = CC (BC + CC) = -|CC；| =-76;AB AB = 9AB BCZ = AB (BA+AC/) = -AB AB = -9.于是，A,BAD = -16A + 9-9A) = -25A + 9如果AD丄A,B,则A,

18、B AD = O,即:一 252 + 9 = 0,由于2w(0,Z),所以D点在BC,之间,证毕.本题答案：c岭务誥嗚 本题采用了利用空间向量的共面定理来求解二面角的余弦值一个完整的过程；则采用空间向量法来证明本题.采用设一个参数2,只要满足2 g(0,Z)即可.T6、如图6，在四棱柱ABCD-A1BlC1Dl中，侧棱A儿丄底面ABCD，AB/CD，AA; = 7 ,DiAiCiAB = 3k, AD = 4k、BC = 5k , DC = 6k,(k 0)若直线AA,与平面ABtC所成角的正弦值为号，求比的值.解析：因为柱体的侧棱是互相平行且相等，所以丸=万瓦，故直线AA,与平面ABtC所成

19、 角的正弦值为夕，即是直线阿与平面ABtC所成角的正弦值为夕,即是直线坊与平面ABtC的法向量所成角的余弦值为号A过C作CE/D4交AB延长线于E 则各线段尺寸如图6-1所示.棱柱长BB, = AA,=1过平面ABQ的垂线，垂足为N 则NB为平面AByC的法向量.由向量共面定理可得：6k4k3k5kB 3k图6-14kBN = aBA + /3BB,+yBC 且：a+0+y=Z DiCiB由因V丄AB,得：BNAB=O ,即：BN AB = aBA AB, + pBBt ABt + yBC ABIAiBi其中：BBr AB, = BB； = 1BC AB,=(AB+ AD)(AB + BBJ

20、= AB2 = 9k 代入上式得：斎丽=-9h 0 + 9疋y = 0 C 由 BN 丄 B/C 得：BN BIC = O,即:其中：BA B,C = BA AB + AD) =-AB2 =-9k2而丽= -BB； =一1 旋 BC = BC2 = 25k2代入上式得：BN BC = -9k2a-p + 25k2y = 0 D联立解得：77 _ 72疋 _ 926 + 722 一 26 + 72/，一 26 + 72/将 BC = AB +AD 代入式 BN = aBA + /3BB, + yBC 得:BN = aBA + 0 两 + y(AB + AD) = (a-/)BA + 0 两 +

21、yAD由于丽、万瓦、而互相垂直故： 阿=J(a - /)2 AB2 + /32BB,2 + y2AD2 = y9k2(a-A)2/32 + 16k2/2 E直线坊与所成角的余弦值cos0丽两 (_/)丽+ 0两+，丽两 /3BB； 阿阿| 网阿将cos嗨和式代入上式得: 匚 369k2(a-X)2+fi216k2y2 _49将式代入上式得: (72疋)2 369k2 - 82 + (72k2)2 + 16k2 92 19即：49-722k2 =36-9-82 36-722k2 + 3616-92即：13 7252 =369X + 36 16 9?即:369炉 + 367692 369&(8+2

22、 9)13-722 13-62-32-42因为(k 0),所以k = l本题答案：k = l本题采用了向量共面定理求线面夹角余弦值的标准程式.先设平面的法向量，利用法向量与平面的垂直关系，和向量点乘的性质，求出法向量.然后再求直线与法向量的夹角关系.T7、 如图7,在等腰直角三角形ABC中，ZA = 90, BC = 6 , 分别是 AC, AB 上的 C点，CD=BE =逅,0为C的中点将AADE沿 DDE折起，得到一个如图7-1所示的四棱锥A1-BCDE ,其中20 =丽,求二面角A-CD-B的余弦值.vAf图7解析：A设F为DE中点，连结各点，如图因为AASC为等腰直角三角形图717-2

23、所以 AB=AC = = 3逅,丄 BC即：A D = A E = 2逅,AO 丄 BC2 12DE- BC =而6 = 4,即：DF = 2图72AfDOF = CDcos45 =逅cos45 = 1, A1 F = DF = 2已知木0 =街，满足：AfF2 = AtO2 + OF29故 TOF满足勾股定理 即：AAPF是直角三角形，/VO丄OF因为？VO丄BC,且/TO丄OF,所以/TO丄平面BCEDB过川点作？TH丄CD交CD于H,连结OH 因为：BE 丄 CD,则：OH II BE 丛八口厂口近OC 3逅故：OH = CH = = 2 2由勾股定理得：AH = yJ()H2 + AO

24、2 = Jf + 3 =Af0图73EB本题答案：cos0 =本题采用纯几何方法，比采用向量共面定理方法简化不少.因此在作立体几何题时，尽量 采用纯几何方法，实在没思路时才采用向量共面定理方法.区如图8, 是圆0的直径，点C是圆0上异于A, 的点，直线PC丄平面ABC 9 E，F分别是PA, PC的中点(1)记平面BEF与平面ABC的交线为Z,试判断直线Z与平面PAC的位置关系，并加以证明；设中的直线Z与圆0的另一个交点为D,且点。满足DQ = ：CP记直线P0与平面ABC所成的角为&,异面直线PQ与EF所成的角为a,二面角E-1-C的大小为0,求解析： 连结EF,则EF是AP4C的中位线，故

25、：EF/AC根据直线与平面平行的判定定理：EF/平面ABC根据直线与平面平行的性质定理：EFIIDB,即：EF/1根据直线与平面平行的判定定理：/平面PAC.故：直线2与平面PAC: Z/平面PAC.证毕.(2)由已知，DQ = -CP = FP = CF ,根据平行四边形的判定定理：一组对边平行且相 2等的四边形是平行四边形. P故：四边形FQDC是平行四边形.于是：PQ=FD因为已知直线PC丄平面ABC,所以由直线与平面所 已 F成角的定义：斜线与其在平面的射影所成的锐角叫直 QCF故：宀阿C则：si宀丽线与平面所成的角.因为PQ=FD, EF/DB，所以PQ与EF所成的角a = ZFDB

26、.因为DB/EF/AC , AC丄BC (直径所对的圆周角是直角)，AC丄PC (PC丄平面 ABC),所以丄BC, DB丄PC.根据直线与平面垂直的判定定理：若一条直线 与一个平面内的两条相交直线垂直，则该直线与此平面垂直.故：DB丄平面PBC.于是：DB 丄 FB ,则：sin a = sin ZFDB = DF因为已知直线PC丄平面ABC,根据定义，二面角E-1-C的大小p = ZFBC.CF则：sinsinZFBC-由三式得:= sinasin0 证毕.本题采用了平移向量法使得：直线P0与平面ABC所成的角为&, e = ZFDC ;异面直 线P0与EF所成的角为a, a = ZFDB

27、;二面角E-l-C的大小为0, 0 = ZFBC通 过几何方法得到解答.卜9、|如图,在三棱锥S-ABC中，平面SAB丄平面SBC ,A丄BC , AS = AB ,过A作AF丄SB,垂足为F ,点E,G分别是棱$4, SC的中点.求证：平面EFG/平面ABC (2) BC 丄 SA.解析：对于ASAB,因为AS = AB,所以是等腰又AF是ASAB底边SB上的高.由“三线合一”得：AF为ASAB的中线，即F是ASA3底边S 的中点，故EF是ASAB 的中位线.根据中位线定理：三角形的中位线平行于底边且等于底边的一半.即：EF/AB 根据直线与平面平行的判定定理：平面外一直线只要与此平面内的一

28、条直线平行，则该 直线与此平面平行.即：EF/平面ABC.同理：EG是ASAC的中位线，则：EGIIAC.故：EG/平面ABC根据平面与平面平行的判定定理：一个平面内的两条相交直线都与另一个平面平行，则 这两个平面平行.故：平面EFG/平面ABC.证毕.(2)因为已知平面SAB丄平面SBC,且已知BC丄AB,根据二面角的定义，和BC都垂直于二面角的棱.即：BC丄SB.根据直线与平面垂直的判定定理：若一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，则该直线与此平面垂直.则：BC丄平面SAB.根据直线与平面垂直的定义：BC丄SA 证毕.OMAD图10 CT10、|如图10,在四棱锥O-ABCD中，底面ABCD是边长为1 的菱形，ZABC = -, 04 丄底面 ABCD , OA = 2 , M 为 OA4的中点.(1) 求异面直线AB与MD所成角0的大小；(2) 求点B到平面OCD的距离.解析： 求异面直线A3与MD所成角&因为 CDIIAB,所以 0=ZMDC连结AC,则由余弦定理得：AC2 =CD2 AD2-2CD AD cos- = 2-2cos- = 2-424 4因为Q4丄底面ABCD,所以AMAC是