23个立体几何与空间向量专题docx.docx
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23个立体几何与空间向量专题
『17］如图所示,AF.DE分别是口0、UP的直径，4D与两圆所在的平面均垂直，AD=8.
BC=AF,AB=AC=6,0EI/AD・
⑴求二面角B-AD-F的大小；
⑵求直线与EF所成的角的余弦值.
解析：
由勾股定理得：
AF=BC=\lAB2+AC2=6^2,
故：
BD=ylAD2+AB2=VF+67=10,
EF=yj0F2+0E2=7（3^2）2+S2=尿
（1）求面ADB和面ADF的夹角0・
平面ADB的法向量：
因为AC丄AB（直径的圆周角），AC丄AD（已知4D丄面ABC）所以AC丄面ADB,即AC与平面ADB的法向量平行.
平面ADF的法向量：
因为〃C丄AF（正方形的对角线互相垂直），丄AD（已知AD丄面ABC）
所以BC丄平面ADEF,即亟与平面ADF的法向量平行.
由于疋与西成235°角，而这两个面的法向量的夹角与二面角是互补的，所以二面角是0=45。
・（其实，由图已能看出答案了）
⑵求直线〃。
与EF所成的角的余弦值cos0
由图，连接D0,则DO//EF,且DO=EF,故直线BD与EF所成的角与线BD与DO
所成的角相等，都是&•
防+”2一
2BDDO
在ABDO中，BD=10,DO=EF=482,BO=-BC=3y[2・由余弦定理得:
2
102^82-18164482
■—一—-
2-10y/82一20尿一10
本题答案:
（1）0=45°;
⑵
本题采用平移直线来得到异面直线的夹角，此法称为平移直线法.
故：
0C丄BD,
OC=—BD=43
2
|T2、I如图,四面体ABCD中，O,E分别是BD,BC的中点，
CA=CB=CD=BD=2,AB=AD=y/2
（1）求异面直线AB与CD所成的角；
（2）求点E到平面ACD的距离.
解析：
在AABD中，BD=2,AB=AD=^2,满足勾股定
理，故AABD为Rt^ABD,所以OA=OB=OD=—=1,SLAB丄AD2
（1）求异面直线AB与CD所成的角0
因为0C是等边^BCD边〃D上的中线，由“三线合一”，0C也是BD上的高.
在\AOC中，OA=1,OC=VJ,CA=2,满足勾股定理，故AAOC为RtMOC
则：
0C丄0A.根据直线与平面垂直的判定定理得：
OC垂直于AABD所在的平面.所以：
BD、OA.OC三条直线是两两垂直.
即:
花・OD=0,OBCO=0,亦・OD=-1①
故采用向量的方法去解本题
由AB=AV+OB,CD=Cd^OD得:
ABCD=（AO+OB）（CO^0D）=Ad-CdAd•而+筋而+丽•而
将①代入上式得：
AB・CD=OB・OD=-1
故:
ABCD
-1
AB^CD\
2^/2
空间两条直线所称的锐角或直角，称为空间两条直线所称的角.因为不是钝角，所以上面求解公式直接加上了绝对值.
⑵求点E到平面ACD的距离〃
由于E是眈中点，故E到平面ACD的距离是〃到平面ACD的距离的彳
过B作平面ACD的垂线，垂足为F,则由空间向量的共面定理得:
BF=xBA+yBC+zBD②
且：
X+J4-Z=1③
A＞由BF丄AC,即BF・AC=O得:
BF・AC=xBA・AC+yBC•AC+zBD・AC=O④
A
因鬲•疋=（BO+OA）•（Ad+0C）=-OA2=-1
^DAC=2OD（AO+OC）=0
所以，代入④式得：
一兀+3y=0⑤
旋疋=（BO+OC）（Ad+OC）=OC2=3
B＞由丄CD,即BFCD=O得:
丽・CD=xBACD^-yBC•页+z刼亦=0⑥
因甌CD=（BO+OA）（Cd+OD）=OD2=1
BCCD=（BO^OC）（Cd+OD）=OD2-OC2=-2
CD=20D（CO+OD）=2OD2=2
所以，代入⑥式得：
x-2y-^-2z=0⑦
C＞联立③⑤⑦解得：
x=—,j=—,z=-—777
代入②式得：
bf^ba^bc-Lbd
将丽=而+页，~BC=~BO^OC,~BD=2OD代入上式得:
故：
网=討9。
，+9曲+他2=乡加民字,于是：
"弓|丽卜孕
本题答案：
⑴^ABC=arccos（—）;
（2）d=互.
47
本题采用向量点乘法得到异面直线夹角的余弦值.
本题求点到平面的距离，也可以采用点到平面的距离等于点与平面上点的连线在法向量
MN
为空间点P到平面上的点。
的向量，顾为平面的法向量.
叵二|如图所示，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是半径为R的圆的内接四边形，其中BD是圆的直径，ZADB=60°,ZBDC=45°,"垂直底面ABCD,PD=2^R,分别是PB,CD上的点，
且PE^=DF过点丘作的平行线交PC于G・
EBFC
（1）求BD与平面ABP所成角0的正弦值；
PF1
（2）当——=一时，求AEFG的面积.
EB2
解析：
因为BD是圆的直径，所以04丄AB9即：
DAAB=O
因为PD丄底面ABCD,所以：
~PDDA=O,~PD~AB=O⑴求BD与平面ABP所成角0的正弦值sin0
设BD与平面ABP的法向量所成锐角为（p,则sin&=cos°过D作平面ABP的垂线，垂足为K,则祁为平面的法向量.根据共面向量定理得：
~DK=oDA^/3'DB^y'dP①
且：
Q+0+y=7②
A>由页丽=〃得：
（aDA+pDB+y~DP）AB=O
将页.~AB=O.DB^B=AB2=3R2.丽.~AB=O代入上式得：
0=0③
B>由页.PA=0#:
（oDA+/3~DB+yDP）~PA=0将页丙=DA2=R2.而莎=（DA+AB）PA=DA2=R2.
丽•冠=_P£>2=_眛2代入上式得：
a+p_8r=0④
QJ
C>联立②③④解得：
a=—,0=0,/=—
代入①式得：
略紳+鈔⑤
訥4D宀DP2£64R5R2
R2
图3
⑵当箸处求注的面积
由相似三角形的相似比得:
EG占眈,GF^PD
D>BD与平面ABF的法向量祁所成锐角为°,则由向量的点乘得：
cos°=笃？
网H
将药丽-（紳+鈔）•丽紗宀訳代入上式得:
942
COS（p=——；==——
2^23
-^R2R
3
故：
sin0=cos0=^•
由—得墨埸"°F故：
竺=竺=竺/
GCFCEB2
由于EG//BC,GF//PD,PD丄BC,所以GF丄EG
于是，S、efg=~^EGGF
£中6（孰）=戾・"
点E是正方形BCC/B』的中心，点F、G分别是棱
Ai
将BC=BDski45°=逅R,PD=2^2R代入上式得:
\efg=^BCPD=L（42R）（242R）=^R2
、/J4
本题答案：
（1）sin&=cos°=——；
（2）S△£•“=—
39
本题采用了空间向量的共面定理来求线面夹角，此法称为共面定理法.
Ci
|T4、|如图4,已知正方体ABCD-AjBjCjDj的棱长为2,
Gi
Bi
CjDrAA/的中点.设点E/、G/分别是点E、G在平
面DCClDl内的正投影.
（1）求以E为顶点，以四边形FGAE在平面DCCjDj内
的正投影为底面边界的棱锥的体积；
（2）求异面直线E/G与E4所成角0的正弦值.解析：
⑴求棱锥E—DG]FEj的体积
由割补三角形法得DGlFE1的面积为：
S叫阳=-SDDiCjC=2
棱锥E-DGlFEl的高为：
EEt=-BC=l
2
12
棱锥E-DG]FE】的体积为：
匕_叫呦=-S叫叫・EE产了
Di
⑵求异面直线dG与E4所成角卩的正弦值因为直线EjGj/ZAB,所以（p=ZEAB
BCcos45°
故：
如=竺—I
EAAB2BC2cos245°将AB=BC=2代入上式得：
2•兀返逅
23
sin（p=
Ai
本题答案：
⑴vE_D（iiFEi
本题采用平移直线来得到异面直线的夹角，此法称为平移直线法.
|T5、妆口图5,在三棱柱ABC-A^^,中，AAZC;C是边长为4的正方形•平面ABC1平面
Bi
AAjC/C,AB=3,BC=5.
（1）求二面角A;-BC1-Bj的余弦值;
⑵证明：
在线段〃C7存在点D,使得AD丄
并求罟的值.
DJ
解析：
因为AAZCZC是正方形，所以AA?
丄AC
因为平面ABC丄平面AA,C,C,所以AA,丄平面AA,C,C,故：
AAj丄AB
BC2=AB2+AC2.满足勾股定理，所以丄疋
故：
AAj.AB.AC三直线互相垂直.
（1）求二面角A1-BCj-BI的余弦值cos0
A＞过勺作平面BC1B1的垂线，垂足为M,则祝石为平面BCjBj的法向量由向量共面定理得：
AjM=xAjB+yAjB]+zA^C]①
其中：
x+y+z=1②
由法向量性质得：
AjMBB^O,
即:
xAjB・BBj4-yAjBj•BBj+zAjCj-BBj=0
将丽・BBj=-BBj2=-AA22=-4,A1Br~BB^l=O,A#C厂丽｝=0代入上式得：
x=0③
由法向量性质得：
石帀•诵=0,
即:
xAjB•BjCj+yAjBj•BjCj+zAjCj-BjCj=0
将丽•顽｝=（AjBj+b7§）-（BjAj+AjCj）=-AjB^=-9
A]B[•B]C]=—A]B]2——9,A[C]•B]C]==16
代入上式得：
-9兀-9y+"z=0④
/KO
联立②③④解得：
x=0,y——,z=——
2525
代入①式得：
AjM=—AlBl+—AlCl⑤
2525
B＞过作平面BCjAj的垂线，垂足为N,则丽J为平面的法向量由向量共面定理得：
而=aB]Ai+卩丽+yB]Ci⑥
其中：
«+/?
+/=1⑦
由法向量性质得：
bJn-AjC]=o,
即：
aB]A]•AjCj+0B]B•AjC】+yB]•A^C[—0
将B]A]・AjCj=0,丽.A7C；=0,BQ・AjCj=AjCj2
代入上式得：
y=0⑧
由法向量性质得：
丽丽=0,
即：
aB1A1-A]B+0B]B・A]B+yB]C]・A【B=0
将3石BjBXjB=BjB2=169B^Ol^B=-A]BI2=-9
代入上式得：
-9a+16/3—9y=0⑨联立⑦⑧⑨解得：
"务"缶"0
16»0
代入⑥式得：
B[N=一B/A/+一BjB⑩
2525
C＞由两个平面的法向量点乘得：
‘•‘•16■9■16■9■
A]MB1N=（—A1B1+—A1C1）（—B/A；-!
-—B声）
16?
216•9991692*
=-（炙）2A囲2+A]B]・B]B+-^旳5・B内+（―）2旳C厂BjB
25252525
将AjB]2=9,A]B]•B]R=0,A]C]•B]A]=0,A^Cj-BtB=0
代入上式得：
丽时一加―（歎而且由⑤得：
Ml=扫加52+92也2=品6⑶:
;（9.4）2=#
由⑩得:
|硒€JU6B]A]）2+（9B]B）2=J（"・3）；;（9.4）~=12
于是，两个平面法向量夹角的余弦值COS0为:
AjMBjN
C0S（p=7^=^^=：
冏冋N
16
25
由于&与卩互补，即：
0+（p=180°,所以cos0=-cos°=^
⑵证明：
在线段BC,存在点D,使得AD丄AZB,并求竺的值
BCj
连结AC,,对AABCp
由于AB1AAj,AB丄AC,故AB丄平面AA7C7C
则：
AB丄AC,.
Ai
采用空间向量法：
设:
由图可知：
AlB=AlA+AB,
AD=AB-^BD=AB+2BC,
则：
A,BAD=（A,A+AB）（AB+ABC,）
=AfA•AB+AAfA•BC]+AB•AB+AAB•BCt
由于AjA丄AB,故AjA・AB=0;
由于A,A=CJC,BC严BC+CC"BC丄C’C
故：
=C^C（BC+CC\）=-|CC；|=-76;
ABAB=9\
ABBCZ=AB（BA+AC/）=-ABAB=-9.
于是，A,BAD=-16A+9-9A）=-25A+9
如果AD丄A,B,则A,BAD=O,即:
一252+9=0,
由于2w（0,Z）,所以D点在BC,之间,
证毕.
本题答案：
⑵c岭务⑶誥嗚本题⑴采用了利用空间向量的共面定理来求解二面角的余弦值一个完整的过程；⑵则采
用空间向量法来证明本题.采用设一个参数2,只要满足2g（0,Z）即可.
T6、如图6，在四棱柱ABCD-A1BlC1Dl中，侧棱A儿丄底面ABCD，AB//CD，AA;=7,
Di
Ai
Ci
AB=3k,AD=4k、BC=5k,DC=6k,（k>0）
若直线AA,与平面ABtC所成角的正弦值为号，
求比的值.
解析：
因为柱体的侧棱是互相平行且相等，
所以丸=万瓦，故直线AA,与平面ABtC所成角的正弦值为夕，即是直线阿与平面ABtC所成角的正弦值为夕,
即是直线〃坊与平面ABtC的法向量所成角的余弦值为号
A＞过C作CE//D4交AB延长线于E则各线段尺寸如图6-1所示.
棱柱长BB,=AA,=1
过〃平面ABQ的垂线，垂足为N则NB为平面AByC的法向量.
由向量共面定理可得：
6k
4k
3k
5k
B3k
图6-1
4k
~BN=aBA+/3~BB,+yBC①
且：
a+0+y=Z②
Di
Ci
B>由因V丄AB,得：
BN・AB]=O,即：
BN・AB{=aBA・AB,+pBBt・ABt+yBC•ABI
Ai
Bi
其中：
BBrAB,=BB；=1
BC・AB,=（AB+AD）・（AB+BBJ=AB2=9k代入上式得：
斎丽=-9h0+9疋y=0③
C>由BN丄B/C得：
BN・BIC=O,即:
其中：
BAB,C=BAAB+AD）=-AB2=-9k2
而]•丽=-BB；=一1旋・~B^C=BC2=25k2
代入上式得：
~BN~B^C=-9k2a-p+25k2y=0④D>联立②③④解得：
77_72疋_9
26+722'"一26+72/，‘一26+72/
将BC=AB+AD代入①式~BN=aBA+/3~BB,+yBC得:
~BN=aBA+0两+y（AB+AD）=（a-/）BA+0两+yAD
由于丽、万瓦、而互相垂直
故：
阿=J（a-/）2AB2+/32BB,2+y2AD2=y]9k2（a-A）2/32+16k2/2⑥
E＞直线〃坊与所成角的余弦值cos0
丽两[（©_/）丽+0两+，丽两/3BB；阿阿|网阿
将cos嗨和⑥式代入上式得:
匚36
9k2（a-X）2+fi2^16k2y2_49
将⑤式代入上式得:
（72疋）236
9k2-82+（72k2）2+16k292~19
即：
49-722k2=36-9-82^36-722k2+3616-92
即：
137252=36・9・X+36169?
即:
36・9・炉+36・76・92369&（8+29）
13-72213-62-32-42
因为（k>0）,所以k=l
本题答案：
k=l
本题采用了向量共面定理求线面夹角余弦值的标准程式.先设平面的法向量，利用法向
量与平面的垂直关系，和向量点乘的性质，求出法向量.然后再求直线与法向量的夹角关系.
T7、如图7,在等腰直角三角形ABC
中，ZA=90°,BC=6,分别是AC,AB上的C
点，CD=BE=逅,0为〃C的中点•将AADE沿D
DE折起，得到一个如图7-1所示的四棱锥
A1-BCDE,其中20=丽,求二面角
A'-CD-B的余弦值.
°v
Af
图7
解析：
A＞设F为DE中点，连结各点，如图
因为AASC为等腰直角三角形
图7・1
7-2
所以AB=AC=^=3逅,丄BC
即：
A'D=A'E=2逅,A'O丄BC
212
DE-^BC=而・6=4,即：
DF=2
图7・2
AfD
OF=CDcos45°=逅・cos45°=1,A1F=DF=2
已知木0=街，满足：
AfF2=AtO2+OF29故TOF满足勾股定理即：
AAPF是直角三角形，/VO丄OF
因为？
VO丄BC,且/TO丄OF,所以/TO丄平面BCED
B＞过川点作？
TH丄CD交CD于H,连结OH因为：
BE丄CD,则：
OHIIBE丛八口厂口近OC3逅
故：
OH=CH==
22
由勾股定理得：
AH=yJ（）H2+A'O2=Jf+3=
Af
0
图7・3
E
B
本题答案：
cos0=』^
本题采用纯几何方法，比采用向量共面定理方法简化不少.因此在作立体几何题时，尽量采用纯几何方法，实在没思路时才采用向量共面定理方法.
区］如图8,是圆0的直径，点C是圆0上异于A,〃的点，直线PC丄平面ABC9E，F
分别是PA,PC的中点
（1）记平面BEF与平面ABC的交线为Z,试判断直线Z与平面
PAC的位置关系，并加以证明；
⑵设⑴中的直线Z与圆0的另一个交点为D,且点。
满足
DQ=：
CP・记直线P0与平面ABC所成的角为&,异面直
线PQ与EF所成的角为a,二面角E-1-C的大小为0,求
解析：
⑴连结EF,则EF是AP4C的中位线，故：
EF//AC
根据直线与平面平行的判定定理：
EF//平面ABC
根据直线与平面平行的性质定理：
EFIIDB,即：
EF//1
根据直线与平面平行的判定定理：
〃/平面PAC.
故：
直线2与平面PAC:
Z//平面PAC.证毕.
（2）由⑴已知，DQ=-CP=FP=CF,根据平行四边形的判定定理：
一组对边平行且相2
等的四边形是平行四边形.P
故：
四边形FQDC是平行四边形.于是：
PQ=FD
因为已知直线PC丄平面ABC,所以由直线与平面所已F
成角的定义：
斜线与其在平面的射影所成的锐角叫直Q
CF
故：
宀阿C•则：
si宀丽①
线与平面所成的角.
因为PQ=FD,EF//DB，所以PQ与EF所成的角a=ZFDB.
因为DB//EF//AC,AC丄BC（直径所对的圆周角是直角），AC丄PC（PC丄平面ABC）,所以丄BC,DB丄PC.根据直线与平面垂直的判定定理：
若一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，则该直线与此平面垂直.故：
DB丄平面PBC.
于是：
DB丄FB,则：
sina=sinZFDB=——②
DF
因为已知直线PC丄平面ABC,根据定义，二面角E-1-C的大小p=ZFBC.
CF
则：
sin^sinZFBC^-③
由①②③三式得:
=sinasin0•
证毕.
本题采用了平移向量法使得：
直线P0与平面ABC所成的角为&,e=ZFDC;异面直线P0与EF所成的角为a,a=ZFDB;二面角E-l-C的大小为0,0=ZFBC・通过几何方法得到解答.
卜9、|如图,在三棱锥S-ABC中，平面SAB丄平面SBC,
A〃丄BC,AS=AB,过A作AF丄SB,垂足为F,
点E,G分别是棱$4,SC的中点.
求证：
⑴平面EFG//平面ABC\
（2）BC丄SA.
解析：
⑴对于ASAB,因为AS=AB,所以是等腰△
又AF是ASAB底边SB上的高.
由“三线合一”得：
AF为ASAB的中线，即F是ASA3底边S〃的中点，故EF是ASAB的中位线.
根据中位线定理：
三角形的中位线平行于底边且等于底边的一半.即：
EF//AB根据直线与平面平行的判定定理：
平面外一直线只要与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行.即：
EF//平面ABC.
同理：
EG是ASAC的中位线，则：
EGIIAC.故：
EG//平面ABC・
根据平面与平面平行的判定定理：
一个平面内的两条相交直线都与另一个平面平行，则这两个平面平行.故：
平面EFG//平面ABC.证毕.
（2）因为已知平面SAB丄平面SBC,且已知BC丄AB,根据二面角的定义，和BC都
垂直于二面角的棱.即：
BC丄SB.
根据直线与平面垂直的判定定理：
若一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，则该
直线与此平面垂直.则：
BC丄平面SAB.
根据直线与平面垂直的定义：
BC丄SA・证毕.
O
M
A
D
图10C
T10、|如图10,在四棱锥O-ABCD中，底面ABCD是边长为
1的菱形，ZABC=-,04丄底面ABCD,OA=2,M为OA
4
的中点.
（1）求异面直线AB与MD所成角0的大小；
（2）求点B到平面OCD的距离.
解析：
⑴求异面直线A3与MD所成角&
因为CDIIAB,所以0=ZMDC
连结AC,则由余弦定理得：
AC2=CD2^AD2-2CDADcos-=2-2cos-=2-42
44
因为Q4丄底面ABCD,所以AMAC是
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