1、新人教A版高中数学选修45数学归纳法word教案2篇庖丁巧解牛知识巧学 一、数学归纳法证明不等式的基本步骤(1)证明当n取第一个值n0(如n0=1或n0=2等等)时,命题正确;(2)证明如下事实:假设当n=k(kN且kn0)时,命题正确,由此推出当n=k+1时命题也正确. 完成了以上两步后,就可断定命题对于从n0开始的所有自然数都正确. 用数学归纳法证明,要完成两个步骤,这两个步骤是缺一不可的.但从证题的难易来分析,证明第二步是难点和关键,要充分利用归纳假设,做好命题从n=k到n=k+1的转化,这个转化要求在变化过程中结构不变,先比较n=k与n=k+1这两个不等式间的差异,以决定n=k时不等式
2、做何种变形.一般地,只能变出n=k+1等式的一边,然后再利用比较、分析、综合、放缩及不等式的传递性来完成由n=k成立推出n=k+1不等式成立的证明.辨析比较 数学归纳法与其他证明不等式的方法 数学归纳法证明不等式有它的局限性,它只能用来证明与自然数有关的不等式.而其他证明不等式的方法运用比较广泛.但具体运用时,各自都有自己的具体要求,比如数学归纳法就有严格的两个步骤,反证法就有严格的格式(必须先假设结论的否命题,再推出矛盾,最后否定假设,肯定原命题),分析法也有自己的格式(综合法的逆过程),综合法是广泛运用已知的定理、性质、推论等来证明.但是与自然数有关的不等式其他方法不如数学归纳法来得简洁,
3、在数学归纳法的第二步中,也经常使用反证法、分析法、综合法、放缩法等作为辅助手段.二、数学归纳法证明不等式的重点和难点 1.重点:巩固对数学归纳法意义和有效性的理解,并能正确表达解题过程,以及掌握利用数学归纳法证明不等式的基本思路. 2.难点:在证明中,对于n=k+1时的证明是整个数学归纳法证明过程中的难点.要注意分离出该命题中,可以使用归纳假设的部分(没有使用归纳假设的证明不是数学归纳法的证明),即假设f(k)g(k)成立,证明f(k+1)g(k+1)成立.对这个条件不等式的证明,除了灵活运用作差比较法、作商比较法、综合法、分析法等常用的不等式证明方法外;放缩法作为证明不等式的特有技巧,在用数
4、学归纳法证明不等式时,更被经常使用.误区警示 数学归纳法证明不等式,不能简单套用两个基本步骤,一定要用到归纳假设,对于n=k+1时的证明注意以下几点:(1)在从n=k到n=k+1的过程中,应分析清楚不等式两端(一般是左端)项数的变化,也就是要认清不等式的结构特征;(2)瞄准当n=k+1时的递推目标,有目的地进行放缩、分析;(3)活用起点的位置;(4)有的试题需要先作等价变换.三、数学归纳法证明不等式的运用范围 数学归纳法是用来证明与自然数有关命题的一种有效方法,在我们高中数学中,经常会以数列和函数为知识载体,构造一些与自然数有关的命题,数学归纳法是证明它们的有效手段,但不是唯一手段.联想发散
5、在上一节中,我们还学习了归纳猜想证明的方法,在数学归纳法证明不等式的运用中,可不可以也先根据题目的条件归纳出一般规律,大胆猜想出一个不等式的命题,然后运用数学归纳法来证明呢?典题热题知识点一: 命题的结构特征例1 求证:,n2,nN.思路分析:本题在由n=k到n=k+1时的推证过程中,不是第k项,应是第2k项,数列各项分母是连续的自然数,最后一项是以3k收尾.根据此分母的特点,在3k后面还有3k+1、3k+2,最后才为3k+3,即3(k+1).不等式左端增加了, ,共三项,而不是只增加一项.证明:()当n=2时,右边=+,不等式成立.()假设当n=k(k2,kN)时命题成立,即.则当n=k+1
6、时,=.所以当n=k+1时,不等式也成立.由()()可知,原不等式对一切n2,nN*均成立.误区警示 错误的思维定式认为从n=k到n=k+1时,只增加一项,求和式中最后一项即为第几项的通项,所以一定要认清不等式的结构特征.例2 已知,Sn=1+,nN,用数学归纳法证明: 1+,n2,nN.思路分析:本题在由n=k到n=k+1时的推证过程中,不等式左端增加了2k项,而不是只增加了这一项,否则证题思路必然受阻.证明:()当n=2时, =1+=1+1+,命题成立.()假设当n=k(k2,kN)时命题成立,即=1+.则当n=k+1时,=1+1+所以当n=k+1时,不等式也成立.由()()可知,原不等式
7、对一切n2,nN均成立.方法归纳 本题在由n=k到n=k+1时的推证过程中,一定要注意分析清楚命题的结构特征,即由n=k到n=k+1时不等式左端项数的增减情况.知识点二: 比较法例3 求证:1+.思路分析:本题在由n=k到n=k+1时的推证过程中,关键的是证明,为证此,我们采用了不等式证明方法中的比较法.证明:()当n=1时,左式=1,右式=,左式=右式;当n=2时,左式=1+=,右式=;,左式右式.当n=1或n=2时,不等式成立.()假设当n=k(k1)时,不等式成立,即1+.则当n=k+1时,左式=1+.0,=右式.由不等式的传递性,可得左式右式,当n=k+1时,不等式也成立.由()()可
8、得,对一切nN,不等式都成立.误区警示 在用数学归纳法证明不等式的过程中,我们经常因思维定式认为只能做代数变形,比较法是一种综合证明法,不能在数学归纳法中使用,这是一种错误的认识.证明不等式的基本方法在数学归纳法的第二步中都可以使用,究竟选择哪种方法要因具体题目而定.知识点三: 放缩法例4 证明:,n2,nN.思路分析:本题在由n=k到n=k+1时的推证过程中,在证明时,使用了均值定理进行放缩.证明:()当n=2时,左边=,右边=.左边Tn.思路分析:要证SnTn,只需证32n+1+2n-63n2+11n,即证2n+1n2+3n+2.这就证明了原不等式的等价不等式,从而将命题简化.证明:an=
9、3n+2,=32n+2,Sn=a2+a4+a8+a=3(2+4+8+2n)+2n=32n+1+2n-6.而Tn=n(9+an)=3n2+11n.要证SnTn,只需证32n+1+2n-63n2+11n,即证2n+1n2+3n+2.用数学归纳法来证明:()当n=4时,S4=98,T4=92,S4T4成立.()假设当n=k(k4)时,结论成立,就是2k+1k2+3k+2,那么2k+2-(k+1)2+3(k+1)+22(k2+3k+2)-(k2+5k+6)=k2+k-2=(k+2)(k-1).k4,(k+2)(k-1)0.2k+2(k+1)2+3(k+1)+2.这就是说,当n=k+1时,SnTn也成立
10、.由()()知,对n4,SnTn都成立.方法归纳 本题用数学归纳法证明2n+1n2+3n+2,第二步采用的是作差比较法:作差利用归纳假设变形(因式分解)定号.这比通常的“作差变形定号”多了利用归纳假设这一步,这是因为归纳假设是用数学归纳法证明命题时所必需的.巧解提示 也可不用数学归纳法来证明2n+1n2+3n+2(n4),而是利用二项展开式和放缩法直接证得.当n4时,2n+1=22n=2(1+1)n=2()2()=n2+3n+4n2+3n+2.知识点五: 单调性例6 已知数列an中,所有项都是正数,且an+1an-a2n,求证:an0,a20,可得a11,命题成立.()假设当n=k(k1)时命
11、题成立,即ak.则当n=k+1时,ak+1ak-a2k=ak(1-ak),ak1-=. 由于以上二式不是同向不等式,所以无法完成由k到(k+1)的证明.所以我们可以利用函数f(x)=-x2+x的单调性进行证明:函数f(x)=-x2+x的最大值为f()=,且在(-,上为增函数.证明:()当n=1时,由a2a1-a12=a1(1-a1),且a10,a20,可得a11,命题成立.而a2a1-a12=f(a1),故n=2时命题也成立.()假设n=k(k2)时,命题成立,即ak,因为函数f(x)=-x2+x在(-,上为增函数,所以由ak及ak+1ak-a2k得ak+1f(ak)f()=+=,即ak+1,
12、所以当n=k+1时,命题也成立.根据()()可知,对任何nN*,an.知识点六: 活用起点的位置例7 已知函数f(x)=ax-x2的最大值不大于,又当x,时,f(x).(1)求a的值;(2)设0a1,an+1=f(an),nN*,证明:an.思路分析:在用数学归纳法证明不等式的过程中,充分利用了数列递推关系式an+1=f(an)= a2n+an的函数单调性,需注意命题的递推关系式中起点位置的推移.(1)解:由于f(x)=axx2的最大值不大于,所以f()=,即a21.又x,时f(x),所以解得a1.a=1.(2)证明:()当n=1时,0a1,不等式0an0,x(0,),所以0a2=f(a1),
13、故n=2时不等式也成立.()假设n=k(k2)时,不等式0ak成立,因为f(x)=x-x2的对称轴为x=,知f(x)在0,为增函数,所以由0ak得0f(ak)f(),于是有0ak+1-.所以当n=k+1时,不等式也成立.根据()()可知,对任何nN*,不等式an成立.方法归纳 将起点的位置推移至2的目的,就是要将ak和置于函数f(x)的单调区间0,内,从而由0ak得0f(ak)f().问题探究交流讨论探究 问题1 我们已经学习过贝努利不等式(1+x)n1+nx的证明,如果我们加强条件,如:已知x-1,且x0,nN,n2.如何来证明不等式(1+x)n1+nx.证明的方法有哪些呢?探究过程:老师:首先验证n=2时的情况.(1)当n=2时,左边=(1+x)2=1+2x+x2,右边=1+2x,因x20,则原不等式成立.(2)假设
copyright@ 2008-2022 冰豆网网站版权所有
经营许可证编号:鄂ICP备2022015515号-1