新人教A版高中数学选修45《数学归纳法》word教案2篇.docx
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新人教A版高中数学选修45《数学归纳法》word教案2篇
庖丁巧解牛
知识·巧学
一、数学归纳法证明不等式的基本步骤
（1）证明当n取第一个值n0（如n0=1或n0=2等等）时，命题正确；
（2）证明如下事实：
假设当n=k（k∈N且k≥n0）时，命题正确，由此推出当n=k+1时命题也正确.
完成了以上两步后，就可断定命题对于从n0开始的所有自然数都正确.
用数学归纳法证明，要完成两个步骤，这两个步骤是缺一不可的.但从证题的难易来分析，证明第二步是难点和关键，要充分利用归纳假设，做好命题从n=k到n=k+1的转化，这个转化要求在变化过程中结构不变，先比较n=k与n=k+1这两个不等式间的差异，以决定n=k时不等式做何种变形.一般地,只能变出n=k+1等式的一边，然后再利用比较、分析、综合、放缩及不等式的传递性来完成由n=k成立推出n=k+1不等式成立的证明.
辨析比较
数学归纳法与其他证明不等式的方法
数学归纳法证明不等式有它的局限性，它只能用来证明与自然数有关的不等式.而其他证明不等式的方法运用比较广泛.但具体运用时，各自都有自己的具体要求，比如数学归纳法就有严格的两个步骤，反证法就有严格的格式（必须先假设结论的否命题，再推出矛盾，最后否定假设，肯定原命题），分析法也有自己的格式（综合法的逆过程），综合法是广泛运用已知的定理、性质、推论等来证明.但是与自然数有关的不等式其他方法不如数学归纳法来得简洁，在数学归纳法的第二步中，也经常使用反证法、分析法、综合法、放缩法等作为辅助手段.
二、数学归纳法证明不等式的重点和难点
1.重点：
巩固对数学归纳法意义和有效性的理解，并能正确表达解题过程，以及掌握利用数学归纳法证明不等式的基本思路.
2.难点：
在证明中，对于n=k+1时的证明是整个数学归纳法证明过程中的难点.要注意分离出该命题中，可以使用归纳假设的部分（没有使用归纳假设的证明不是数学归纳法的证明），即假设f（k）>g（k）成立，证明f（k+1）>g（k+1）成立.对这个条件不等式的证明，除了灵活运用作差比较法、作商比较法、综合法、分析法等常用的不等式证明方法外；放缩法作为证明不等式的特有技巧，在用数学归纳法证明不等式时，更被经常使用.
误区警示
数学归纳法证明不等式，不能简单套用两个基本步骤，一定要用到归纳假设，对于n=k+1时的证明注意以下几点：
（1）在从n=k到n=k+1的过程中，应分析清楚不等式两端（一般是左端）项数的变化，也就是要认清不等式的结构特征；
（2）瞄准当n=k+1时的递推目标，有目的地进行放缩、分析；
（3）活用起点的位置；
（4）有的试题需要先作等价变换.
三、数学归纳法证明不等式的运用范围
数学归纳法是用来证明与自然数有关命题的一种有效方法，在我们高中数学中，经常会以数列和函数为知识载体，构造一些与自然数有关的命题，数学归纳法是证明它们的有效手段，但不是唯一手段.
联想发散
在上一节中，我们还学习了归纳猜想证明的方法，在数学归纳法证明不等式的运用中，可不可以也先根据题目的条件归纳出一般规律，大胆猜想出一个不等式的命题，然后运用数学归纳法来证明呢？
典题·热题
知识点一：
命题的结构特征
例1求证：
n≥2,n∈N.
思路分析：
本题在由n=k到n=k+1时的推证过程中，
不是第k项，应是第2k项，数列各项分母是连续的自然数，最后一项是以3k收尾.根据此分母的特点，在3k后面还有3k+1、3k+2,最后才为3k+3，即3（k+1）.不等式左端增加了
共三项，而不是只增加
一项.
证明：
（Ⅰ）当n=2时，右边=
+
+
+
>
，不等式成立.
（Ⅱ）假设当n=k（k≥2,k∈N）时命题成立，即
.
则当n=k+1时，
=
>
>
.
所以当n=k+1时，不等式也成立.
由（Ⅰ）（Ⅱ）可知，原不等式对一切n≥2,n∈N*均成立.
误区警示
错误的思维定式认为从n=k到n=k+1时，只增加一项，求和式中最后一项即为第几项的通项，所以一定要认清不等式的结构特征.
例2已知，Sn=1+
+
+…+
n∈N，
用数学归纳法证明：
>1+
n≥2,n∈N.
思路分析：
本题在由n=k到n=k+1时的推证过程中，不等式左端增加了2k项，而不是只增加了
这一项，否则证题思路必然受阻.
证明：
（Ⅰ）当n=2时，
=1+
+
+
=1+
1+
，
∴命题成立.
（Ⅱ）假设当n=k（k≥2,k∈N）时命题成立，即
=1+
+
+…+
.
则当n=k+1时，
=1+
+
+…+
>1+
所以当n=k+1时，不等式也成立.
由（Ⅰ）（Ⅱ）可知，原不等式对一切n≥2,n∈N均成立.
方法归纳
本题在由n=k到n=k+1时的推证过程中，一定要注意分析清楚命题的结构特征，即由n=k到n=k+1时不等式左端项数的增减情况.
知识点二：
比较法
例3求证：
1+
+
+…+
≥
.
思路分析：
本题在由n=k到n=k+1时的推证过程中，关键的是证明
，为证此，我们采用了不等式证明方法中的比较法.
证明：
（Ⅰ）当n=1时，左式=1，右式=
，左式=右式;
当n=2时，左式=1+
=
右式=
=
;
>
左式>右式.
∴当n=1或n=2时，不等式成立.
（Ⅱ）假设当n=k（k≥1）时，不等式成立，即
1+
+
+…+
.
则当n=k+1时，
左式=1+
+
+…+
.
∵
>0,
∴
=右式.
由不等式的传递性，可得左式>右式，
∴当n=k+1时，不等式也成立.
由（Ⅰ）（Ⅱ）可得，对一切n∈N,不等式都成立.
误区警示
在用数学归纳法证明不等式的过程中，我们经常因思维定式认为只能做代数变形，比较法是一种综合证明法，不能在数学归纳法中使用，这是一种错误的认识.证明不等式的基本方法在数学归纳法的第二步中都可以使用，究竟选择哪种方法要因具体题目而定.
知识点三：
放缩法
例4证明：
，n≥2,n∈N.
思路分析：
本题在由n=k到n=k+1时的推证过程中，在证明
时，使用了均值定理进行放缩.
证明：
（Ⅰ）当n=2时，左边=
，右边=
.
∴左边<右边，
∴n=2时，原不等式成立.
（Ⅱ）假设当n=k时，不等式成立，即
.
当n=k+1时，
∴n=k+1时，原不等式成立.由（Ⅰ）（Ⅱ）知对n≥2的任何自然数，原不等式成立.
知识点四：
转化等价命题
例5数列{an}的通项公式为an=3n+2，将数列{an}中的第2,4,8,…,2n项依次取出，按原来的顺序组成一个新数列{bn}，记其前n项和为Sn,Tn=n（9+an），当n≥4时，证明Sn>Tn.
思路分析：
要证Sn>Tn，只需证3×2n+1+2n-6>3n2+11n，即证2n+1>n2+3n+2.这就证明了原不等式的等价不等式，从而将命题简化.
证明：
∵an=3n+2，
∴
=3×2n+2，
∴Sn=a2+a4+a8+…+a
=3（2+4+8+…+2n）+2n=3×2n+1+2n-6.
而Tn=n（9+an）=3n2+11n.
要证Sn>Tn，只需证3×2n+1+2n-6>3n2+11n，
即证2n+1>n2+3n+2.
用数学归纳法来证明：
（Ⅰ）当n=4时，S4=98,T4=92,S4>T4成立.
（Ⅱ）假设当n=k（k≥4）时，结论成立，就是2k+1>k2+3k+2，那么
2k+2-［（k+1）2+3（k+1）+2］>2（k2+3k+2）-（k2+5k+6）
=k2+k-2=（k+2）（k-1）.
∵k≥4,
∴（k+2）（k-1）>0.
∴2k+2>（k+1）2+3（k+1）+2.
这就是说，当n=k+1时，Sn>Tn也成立.
由（Ⅰ）（Ⅱ）知，对n≥4,Sn>Tn都成立.
方法归纳
本题用数学归纳法证明2n+1>n2+3n+2，第二步采用的是作差比较法：
作差——利用归纳假设——变形（因式分解）——定号.这比通常的“作差——变形——定号”多了利用归纳假设这一步，这是因为归纳假设是用数学归纳法证明命题时所必需的.
巧解提示
也可不用数学归纳法来证明2n+1>n2+3n+2（n≥4），而是利用二项展开式和放缩法直接证得.
当n≥4时，
2n+1=2·2n=2（1+1）n
=2（
）
≥2（
）
=n2+3n+4
>n2+3n+2.
知识点五：
单调性
例6已知数列{an}中，所有项都是正数，且an+1≤an-a2n，求证：
an<
.
思路分析：
（Ⅰ）当n=1时，由a2≤a1-a12=a1（1-a1），且a1>0,a2>0，可得a1<1，命题成立.
（Ⅱ）假设当n=k（k≥1）时命题成立，即ak<
.
则当n=k+1时，ak+1≤ak-a2k=ak（1-ak），
∵ak<
，
∴1-ak>1-
=
.
由于以上二式不是同向不等式，所以无法完成由k到（k+1）的证明.所以我们可以利用函数f（x）=-x2+x的单调性进行证明：
函数f（x）=-x2+x的最大值为f（
）=
，且在（-∞,
］上为增函数.
证明：
（Ⅰ）当n=1时，由a2≤a1-a12=a1（1-a1），且a1>0,a2>0，可得a1<1，命题成立.
而a2≤a1-a12=f（a1）≤
<
，故n=2时命题也成立.
（Ⅱ）假设n=k（k≥2）时，命题成立，即ak<
，
因为函数f（x）=-x2+x在（-∞,
］上为增函数，
所以由ak<
≤
及ak+1≤ak-a2k得
ak+1≤f（ak））=
+
=
<
即ak+1<
，
所以当n=k+1时，命题也成立.
根据（Ⅰ）（Ⅱ）可知，对任何n∈N*，an<
.
知识点六：
活用起点的位置
例7已知函数f（x）=ax-
x2的最大值不大于
，又当x∈［
］时，f（x）≥
.
（1）求a的值；
（2）设0an+1=f（an）,n∈N*,证明:
an<
.
思路分析：
在用数学归纳法证明不等式的过程中，充分利用了数列递推关系式an+1=f（an）=
a2n+an的函数单调性，需注意命题的递推关系式中起点位置的推移.
（1）解：
由于f（x）=ax
x2的最大值不大于
所以
f（
）=
≤
即a2≤1.
又x∈［
］时f（x）≥
所以
解得a≥1.
∴a=1.
（2）证明：
（Ⅰ）当n=1时，0，不等式0成立；
因f（x）>0,x∈（0,
）,所以0<
故n=2时不等式也成立.
（Ⅱ）假设n=k（k≥2）时，不等式0成立，
因为f（x）=x-
x2的对称轴为x=
知f（x）在［0,
］为增函数，所以由0≤
得0）,于是有
0-
·
.
所以当n=k+1时，不等式也成立.
根据（Ⅰ）（Ⅱ）可知，对任何n∈N*，不等式an<
成立.
方法归纳
将起点的位置推移至2的目的，就是要将ak和
置于函数f（x）的单调区间［0,
］内，从而由0≤
得0）.
问题·探究
交流讨论探究
问题1我们已经学习过贝努利不等式（1+x）n＞1+nx的证明，如果我们加强条件，如：
已知x＞-1，且x≠0，n∈N，n≥2.如何来证明不等式（1+x）n＞1+nx.证明的方法有哪些呢？
探究过程:
老师：
首先验证n=2时的情况.
（1）当n=2时，左边=（1+x）2=1+2x+x2，右边=1+2x，因x2＞0，则原不等式成立.
（2）假设
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