大学概率论与数理统计必过复习资料及试题解析绝对好用.docx

1、大学概率论与数理统计必过复习资料及试题解析绝对好用概率论与数理统计复习提要第一章 随机事件与概率1事件的关系 2 运算规则 3概率满足的三条公理及性质： 件，有 （可以取） （6），若，则， （ 7） （8）5几何概率 6 条件概率 （ 1）法公式： 若为完备事件组， （ 4） Bayes 公式：性： 独立 （注意独立性的应用）（1） （2） （ 3） （4）1） （2） （ 3）对互不相容的事（ 4） （5）4 古典概型：基本事件有限且等可能定义：若，则 （2） 乘，则有 （ 3） 全概率公式：7 事件的独立 第二章 随机变量与概率分布 1 离散随机变量：取有限或可列个值，满足（ 1），（

2、2） （ 3）对 任意， 2 连续随机变量：具有概 率密度函数，满足（ 1） （ 2） ；（3）对任意，4 分布函数 ，具有以下性质 （ 1）；（ 2）单调非降；（ 3）右连续； （ 4），特别； （5）对离散随机变量， ；（ 6） 为连续函数，且在连续点上， 5 正态分布的概率计算 以记标准正态分布的分布函数，则有 （ 1）；（ 2）；（ 3）若，则 ； （ 4）以记标准正态分布的上侧分位数，则 6 随机变量的函数 （1）离散时，求的值，将相同的概率相加； （ 2）连续，在的取值范围内严格单调，且有一阶连续导数， ，若不单调，先求分布函数，再求导。 第三章 随机向量1 二维离散随机向量，联合

3、分布列，边缘分布 ，有 （ 1）；（ 2（3）， 2 二维连续随机向量，联合密度，边缘密度，有1）；（ 2） （4） （3）；或 ， （ 2）设是次独立重复试验中发生的次数，则对任意， 或理解为若，则 第六章 样本及抽样分布 1 总体、样本 （ 1） 简单随机样本：即独立同分布于总体的分布（注意样本分布的求法）； （2） 样本数字特征：样本均值（，）； 样本方差 ）样本标准样本阶原点矩，样本阶中心矩 2 统计量：样本的函数且不包含任何未知数 3 三个常用分布（注意它们的密度函数形状及分位点定义）标准正态分布，若 且独立，其中且独立； （ 3）分4 正态总体的抽样分； （ 3，（ 5） （6）1

4、）根据参数个数求总体的矩；（ 2）数；（ 4）令导数或偏导数为 0，解出极大似然估计（如无解回到（ 1）直接求最大值，一般为 min 或 max） 3 估计量的评选原则 ，则为无偏；（2） 有效性：两个无偏估计中方差小的有效； （1） 无偏性：若概率论与数理统计期末试题（ 2）与解答 一、填空题由知设的分布函数为的分布函数 因为，所以，即 故 在上函数 严格单调，反函数为 所以5似然函数为解似然方程得的极大似然估计为二、单项选择题（每小题 3 分，共 15 分） 1 设为三个事件，且相互独立，则以下结论中不正确的是 （A）若，则与也独立. （B）若，则（C）若，则 与也独立.与也独立 （D）若

5、，则与也独立.（ ） 2 设随机变量的分布函数为，则的值为 （ A） .（ B） （ C） . （ D） . （ ）3.设随机变量和不相关，则下列结论中正确的是 （A）与独立.（ B） （ C） . （ D） . （ ） 4 设离散型随机变量和的联合概率分布为 若独立，则的值为（A）.（D） 正确的是 估计量.（）独立，（A） . . （ ） （C）.设总体的数学期望为为来自的样本，则下列结论中（A） X1是的无偏估计量. （B） X1是的极大似然（C） X1是的相合（一致）估计量.（D） X1不是的估计量.解：1.因为概率为1的事件和概率为0的事件与任何事件 所以（A）,（ B）,（ C）都

6、是正确的，只能选（ 事实上由图 可见A与C不独立.由不相关的等价条件知应选（应选D)2.所以有,9估计，应选（A）.三、B) . 42.，所以（A）. 故应选（A） 5（7分）已知一批产品中0.02，求（1） 一个产品经检查后被认为是合90% 0.05X1是的无偏，一个次品被误认为是合格品的概率为格品的概率；（2） 个经检查后被认为是合格品的产品确是合格品的概率 解：设任取一产品，经检验认为是合格品 任取一产品确是合格品 则（1） （2） .四、 （12分）从学校乘汽车到火车站的途中有 3 件是相互独立的，并且概率都是2/5.设为途中遇到红灯的次数，求的分布列、分布函数、数学期望和方差. 解：

7、的概率分布为即五、 （10分）设二维随机变量在区域率密度；（2）的分布函数与概率密（2）利用公式时当或时的分布函数为的分布函数为匀分布.求（1）关于的边缘概（1）的概率密度为其中故的概率密度为或利用分布函数法六、（10分）向一目标射击，目标中心为坐标原点，已知命中点的横坐标 和纵坐标互独立，且均服从分布.求（1）命中环形区域的概率；（2） 命中点到目标中心距离1）度（单位： 差 （ 1）0.05）.Cm），今抽取容量为 求的置信度为0.95（附注）七、（11分）设某机器生产的零件长16 样本，测得样本均值，样本方区间；（2）检验假设（显著性水平为解：（1）的置信度为下的置信区间为 所以的置信度

8、为0.95的置信区间为（9.7868， 的拒绝域为 ，概率论与数理统计期末试题（3）与解答10.2132 ） （2）因为，所以接受一、填空题（每小题3 分，共 15 分） （ 1） 设事件与相互独立，事件与互不相容，事件与互不相容， ，则事件、中仅发生或仅 概率为 （2） 甲盒中有 2 个白球和 3 个黑球，乙盒中有 3 个白球和 2 个黑球，今从每个盒中各取 个球，发现它们是同一颜色的，则这颜色是黑色的概率为 （3） 设随机变量的概率密度为 现对 察，用表示观察值不大于 0.5 的次数，则 . （ 4） 设二维离散型随机变量的分布列为若，则 （5）设是总体的样本，是样本方差，若，（注： ,

9、, , ）解：（ 1 ） 因为与不相容，与不相容，所以，故同理BB（ 2）设四个球是同一颜色的，四个球都是白球，四个球都是黑球则. 所求概率为所以（ 3）其中（ 4 ）的分布为这是因为 ，由得，故（ 5）即，亦即二、单项选择题（每小题 3 分，共 15分）（ 1 ）设、为三个事件，且，则有（ A） （ B）（ C） （D）（ 2）设随机变量的概率密度为且，则在下列各组数中应取 （ A） （B） （C）（D） （ 3）设随机变量与相互独立，其概率分布分别为则有（）（ A）、 , 一、 t Z f , r t 、 、 I _r t 、（ B）, （ C）（ D）（） （ 4）对任意随机变量，若存在

10、，则等于（ A）（ B）（ C） （ D）（）（ 5）设为正态总体的一个样本，表示样本均值，则的置信度为的置信区间为（ B）（ C）（） （ D）解 （ 1 ）由知，故A）应选 C.（ 2）即时故当应选（ 3）应选（ 4 ） 应选（ 5）因为方差已知，所以的置信区间为应选 D. 三、（ 8 分）装有 10 件某产品（其中一等品 5 件，二等品 3 件，三等品 2 件）的 箱子中丢失一件产品，但不知是几等品，今从箱中 任取 2 件产品，结果都 是一等品，求丢失的也是一等品的概率。 解： 设从箱中任取 2 件都是一等品 丢失等号 .则； 所求概率为四、（ 10 分）设随机变量的概率密度为 求（ 1

11、）常数； （2）的分布函数； （3） 解：（1） （ 2）的分布函数为（3） 五、（ 12分）设的概率密度为求（ 1 ）边缘概率密度； （2）； （ 3）的概率密度（ 2）3）时六、（ 10 分）（ 1）设，且与独立，求； （ 2）设且与独立，求.； （ 2）因相互独立，所以七、（ 10 分）设总体的概率密度为 试用来自总体的样本，求未知参数的矩估计和极大似然估计 解：先求矩估计故的矩估计为 再求极大似然估计所以的极大似然估计为 概率论与数理统设测量零件的长度产生的误差服从正态分布，今随机地测量， . 在置信度 0.95 下，的置信区间为 （ 2） 故 .（3），其（4）设第件元 5）的置信度

12、下的置信区间 系统的寿命为，所以的置信区间为（） . 二、单项选择题（下列各题中每题只有一个答 案是对的，请将其代号填入（ ） 中，每小题 3 分，共 15分） （ 1）是任意事件，在下列各式中，不成立的是 （ A） （B）（C） . . （D）.（ ） （ 2）设是随机变量，其分布函数分别为，为使 是某一随机变量的分布函数，在下列给定的各组数值中应取. （ B）（C）.（ D）. （）3）设随机变量的分布函数为，则的分布函数为（A）（A）.（ B） .（D）.（）（ 4）设随机变量的概率分布为 .且满足，则的相关系数为（C） .C） . （D）.（）相互独立，根据切比 （ 5）设随机变量 雪

13、夫不等式有（A）0.（B（C）. （ D）.（）解：（ 1）（A）：成立，（ B）：应选（ B）（A）. （ B）（2）.应选（C） （3）应选（ D）（4）的分布为，所以，于是B应选（ A）（5）由切比雪夫不等式应选（ D） 三、（ 8 分）在一天中进入某超市的顾客人数服从参数为的泊松分布，而进入 超市的每一个人购买种商品的概率为，若顾客购买商品是相互独立的， 求一天中恰有个顾客购买种商品的概率。解：设一天中恰有个顾客购买种商品 一天中有个顾客进入超市 则四、（ 10 分）设考生的外语成绩（百分制）服从正态分布，平均成绩（即参 数之值）为 72 分， 96 以上的人占考生总数的 2.3%，今任取 100 个考生 的成绩，以表示成绩在 60 分至 84 分之间的人数，求（ 1 ）的分布列 .（2） 和. 解：（ 1），其中分）二维随机变量在以为顶点的三角形区 域上服从均匀分布，求的概率密度。 设的概率密度为，则当 或时 当 时 所以的密度为解 2 ：分布函数法，设的分布函数为，则故的密度为 七、（ 9分）已知分子运动的速度具有概率密度 为的简单随 机样本 （1）求未知参数的矩估计和极大似然估计； （ 2）验一、 判断题（每小题 3 分，本 ） 设 A、B 是 中的随机事 （ ） 设 A、B 是 中的随 ） 若 X 服从二项分布 样本均 是母体