大学概率论与数理统计必过复习资料及试题解析绝对好用.docx

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大学概率论与数理统计必过复习资料及试题解析绝对好用

概率论与数理统计》复习提要

第一章随机事件与概率

1．事件的关系2．运算规则3．概率满足的三条公理及性质：

件，有（可以取）（6），若，则，（7）（8）

5．几何概率6．条件概率

（1）

法公式：

若为完备事件组，（4）Bayes公式：

性：

独立（注意独立性的应用）

（1）

（2）（3）（4）

1）

（2）（3）对互不相容的事

（4）（5）

4．古典概型：

基本事件有限且等可能

定义：

若，则

（2）乘

，则有（3）全概率公式：

7．事件的独立第二章随机变量与概率分

布1．离散随机变量：

取有限或可列个值，满足

（1），

（2）（3）对任意，2．连续随机变量：

具有概率密度函数，满足

（1）

（2）；

（3）对任意，

4．分布函数，具有以下性质

（1）；

（2）单调非降；（3）右连

续；（4），特别；（5）对离散随机变量，；

（6）为连续函数，且在连续点上，5．正态分布的

概率计算以记标准正态分布的分布函数，则有

（1）；

（2）；（3）

若，则；（4）以记标准正态分布的上侧分位

数，则6．随机变量的函数

（1）离散时，求的值，将相同的概率

相加；

（2）连续，在的取值范围内严格单调，且有一阶连续导

数，，若不单调，先求分布函数，再求导。

第三章随机向量

1．二维离散随机向量，联合分布列，边缘分布，有

（1）；（2

（3），2．二维连续随机向量，联合密度，边缘密度，有

1）；

（2）（4）（3）；

或，

（2）设是次独立重复试验中

发生的次数，，则对任意，或理解为若，则第六

章样本及抽样分布1．总体、样本

（1）简单随机样本：

即独立同分

布于总体的分布（注意样本分布的求法）；

（2）样本数字特征：

样本均值（，）；样本方差）样本标准

样本阶原点矩，样本阶中心矩2．统计量：

样本的函数且不包含任

何未知数3．三个常用分布（注意它们的密度函数形状及分位点定义）

标准正态分布，若且独立，

，其中且独立；（3）分

4．正态总体的抽样分

；（3

，（5）（6）

1）根据参数个数求总体的矩；

（2）

数；（4）令导数或偏导数为0，解出极大似然估计（如无解回到

（1）直接

求最大值，一般为min或max）3．估计量的评选原则，则为无偏；

（2）有效性：

两个无偏估计中方差小的有效；

（1）无偏性：

若

概率论与数理统计》期末试题

（2）与解答一、填空题

由知

．设的分布函数为的分布函数因为，所以，即故在上函数严格单调，反函数为所以

5．似然函数为

解似然方程得的极大似然估计为

二、单项选择题（每小题3分，共15分）1．设为三个事件，且相互独

立，则以下结论中不正确的是（A）若，则与也独立.（B）若，则

（C）若，则与也独立.与也独立（D）若，则与也独立.

（）2．设随机变量的分布函数为，则的值为（A）.

（B）（C）.（D）.（）

3.设随机变量和不相关，则下列结论中正确的是（A）与独立.

（B）（C）.（D）.（）4．设离散型随机变量和的

联合概率分布为若独立，则的值为

（A）.

（D）正确的是估计量.

（）

独立，

（A）..（）（C）

.设总体的数学期望为为来自的样本，则下列结论中

（A）X1是的无偏估计量.（B）X1是的极大似然

（C）X1是的相合（一致）估计量.（D）X1不是的估计量.

解：

1.因为概率为1的事件和概率为0的事件与任何事件所以（A）,（B）,（C）都是正确的，只能选（事实上由图可见A与C不独立

.由不相关的等价条件知应选（

应选

D）

2.所以

有

9

估计，应选（A）.

三、

B）.4

2

.，所以

（A）.故应选（A）5

（7分）已知一批产品中

0.02，求

（1）一个产品经检查后被认为是合

90%0.05

X1是的无偏

，一个次

品被误认为是合格品的概率为

格品的概率；

（2）—个经检查后被认为是合格品的产品确是合格品的概率解：

设‘任取一产品，经检验认为是合格品’‘任取一产品确

是合格品’则

（1）

（2）.

四、（12分）从学校乘汽车到火车站的途中有3件是相互独立的，并且

概率都是2/5.设为途中遇到红灯的次数，求的分布列、分布函数、数学期

望和方差.解：

的概率分布为

即

五、（10分）设二维随机变量在区域

率密度；

（2）的分布函数与概率密

（2）利用公式

时

当或时

的分布函数为

的分布函数为

匀分布.求

（1）关于的边缘概

（1）的概率密度为

其中

故的概率密度为

或利用

分布函数法

六、（10分）向一目标射击，目标中心为坐标原点，已知命中点的横坐标和纵坐标

互独立，且均服从分布.求

（1）命中环形区域的概率；

（2）命中点到目标中心距离

1）

度（单位：

差•

（1）

0.05）.

Cm），今抽取容量为求的置信度为0.95

（附注）

七、（11分）设某机器生产的零件长

16样本，测得样本均值，样本方

区间；

（2）检验假设（显著性水平为

解：

（1）的置信度为

下的置信区间为所以的置信度为0.95的置信区间为（9.7868，的拒绝域为，

《概率论与数理统计》期末试题（3）与解答

10.2132）

（2）

因为，所以接受

一、填空题（每小题

3分，共15分）

（1）设事件与相互独立，事件与互不相容，事件与

互不相容，，，则事件、、中仅发生或仅概率为

（2）甲盒中

有2个白球和3个黑球，乙盒中有3个白球和2个黑球，今从每个盒中各取个球，发现它们是同一颜色的，则这颜色是黑色的概率为（3）设随机

变量的概率密度为现对察，用表示观察值不大于0.5的次

数，则.（4）设二维离散型随机变量的分布列为

若，则（

5）

设是总体的样本，是样本方差，若，

（注：

,,）

解：

（1）因为

与不相容，与不相容，

所以，故

同理

B

B

（2）设‘四个球是同

一颜色的'，

‘四个球都是白球'，

‘四个球都是黑球'

则

.所求概率为

所以

（3）

其

中

（4）

的分布为

这是因为，由

得

，故

（5）

即，

亦即

■

二、单项选择题（每小题3分，共15

分）

（1）设、

、为三个事件，且，则有

（A）（B）

（C）（

D）

（2）设随机变量的概率密度为

且，则在下列各组数中应取（A）（B）（C）

（D）（3）设随机变量与相互独立，其概率分布分别为

则有

（

））

（A）

、,一、tZ>→f∕∙,rt→、、I——⅜_rt、

（B）

Λ

（C）

（D）

（

）（4）对任意随机变量，若存在，

则等于

（A）

（B）

（C）（D）

（）

（5）设

为正态总体的一个样本，

表示样本均值，则的

置信度

为的置信区间为

（B）

（C）

（

）（D）

解

（1）由知，故

A）

应选C.

（2）

即

时

故当

应选

（3）

应选

（4）应选

（5）

因为方差已知，所以的置信区间为

应选D.三、（8分）装有10件某产品（其中一等品5件，二等品3件，三等品2件）的箱子中丢失一件产品，但不知是几等品，今从箱中任取2件产品，结果都是一等品，求丢失的也是一等品的概率。

解：

设‘从箱中任取2件都是一等品'‘丢失等号'.

则

；所求概率为

四、（10分）设随机变量的概率密度为求

（1）常

数；

（2）的分布函数；（3）解：

（1）•••

（2）的分布函数为

（3）五、（12分）设的概率密度为

求

（1）边缘概率密度；

（2）；（3）的概率密度

（2）

3）

时

六、（10分）

（1）设，且与独立，求；

（2）设且与独立，

求.

；

（2）因相互独立，所以

七、（10分）设总体的概率密度为试用来自总

体的样本，求未知参数的矩估计和极大似然估计解：

先求矩估计

故的矩估计为再求极大似然估计

所以的极大似然估计为《概率论与数理统

设测量零件的长度产生的误差服从正态分布，今随机地测量

，.在置信度0.95下，的置信区间为

（2）故.

（3），其

（4）设第件元5）的置信度下的置信区间系统的寿命为，

所以的置信区间为（）.二、单项选择题（下列各题中每题只有一个答案是对的，请将其代号填入（）中，每小题3分，共15分）

（1）是任意事件，在下列各式中，不成立的是（A）（B）

（C）..（D）.

（）

（2）设是随机变量，其分布函数分别为，为使是某一随机变

量的分布函数，在下列给定的各组数值

中应取

.（B）

（C）.

（D）.（

）

3）设随机变量的分布

函数为，

则的分布函数为

（A）

（A）.

（B）.

（D）.

（）

（4）设随机变量的概率分布为.

且满足，则的相关

系数为

（C）.

C）.（D）.

（）

相互独立，根据切比（5）设随机变量雪

夫不等式有

（A）0.

（B

■

（C）.（D）.

（）

解：

（1）（A）

：

成立，

（B）：

应选（B）

（A）.（B）

（2）.

应选

（C）（3）

应选（D）

（4）

的分布

为

，所以，

于是

B

应选（A）

（5）

由切比雪夫不等式

应选（D）三、（8分）在一天中进入某超市的顾客人数服从

参数为的泊松分布，而进入超市的每一个人购买种商品的概率为，若顾

客购买商品是相互独立的，求一天中恰有个顾客购买种商品的概率。

解：

设‘一天中恰有个顾客购买种商品'‘一天中有个顾客

进入超市'则

四、（10分）设考生的外语成绩（百分制）服从正态分布，平均成绩（即

参数之值）为72分，96以上的人占考生总数的2.3%，今任取100个考

生的成绩，以表示成绩在60分至84分之间的人数，求

（1）的分布列.

（2）和.解：

（1），其中

分）二维随机变量在以为顶点的三角形区域上服从均匀分布，求的概

率密度。

设的概率密度为，则

当或时当时所以的密度为

解2：

分布函数法，设的分布函数为，则

故的密度为七、（9

分）已知分子运动的速度具有概率密度为的简单

随机样本

（1）求未知参数的矩估计和极大似然估计；

（2）验

一、判断题（每小题3分，本）⑴设A、B是Ω中的随机事（）⑵设A、B是Ω中的随）⑶若X服从二项分布

⑷样本均是母体