八年级下期数学培优思维训练勾股定理.docx

1、八年级下期数学培优思维训练勾股定理八年级下期数学培优思维训练(勾股定理) 作者： 日期： 八年级下期数学培优思维训练二、勾股定理（一）知识梳理：（二）方法归纳：（三）范例精讲：1.已知：如图，在ABC中，CD是AB边上的高，CD2=ADBD. 求证：ABC是直角三角形. 2.已知：ABC中，A、B、C的对边分别是、，判断ABC的形状.（1）. （2）.（3）. 3.已知：如图，在ABC中，C=90，M是BC的中点，MDAB于D.求证：AD2 =AC2 +BD2.4.已知：如图，四边形ABCD，ADBC，AB=4，BC=6，CD=5，AD=3. 求：四边形ABCD的面积. 5.已知：如图，DE=

2、，BC=，EBC与DCB互余. 求BD2+CD2 的值.6.如图，有一块矩形塑料模板ABCD，长为10，宽为4，将你手中足够大的直角三角板PHF的直角顶点P落在AD边上（不与A、D重合）并在AD上平行移动：能否使你的三角板两直角边分别通过点B与点C？若能，请你求出这时AP的长；若不能，请说明理由. 再次移动三角板位置，使三角板顶点P在AD上移动，直角边PH始终通过点B，另一直角边PF与DC的延长线交于点Q，与BC交于点E，能否使CE=2？若能，请你求出这时AP的长；若不能，请说明理由.7.如图，在ABC中，ACB=90，AC=BC，P是ABC内的一点，且PB=1，PC=2，PA=3，求BPC的

3、度数.8.已知：ABC中，AB=15，AC=13，BC边上的高AD长为12. 求ABC的面积.9.如图，把矩形纸片ABCD沿对角线AC折叠，点B落在点E处，EC与AD相交于点F. 若AB=4，BC=6，求FAC的周长和面积.10.如图，将矩形ABCD沿直线AE折叠，顶点D恰好落在BC边上F点处，已知CE=6 cm，AB=16cm，求BF的长11.如图，一个高18m，周长5m的圆柱形水塔，现制造一个螺旋形登梯，为减小坡度，要求登梯绕塔环绕一周半到达顶端，问登梯至少多长？12.如图1，在RtABC中，ACB=90，D为AB中点，DE、DF分别交AC于E，交BC于F，且DEDF（1）如果AC=BC，

4、求证：AE2+BF2=EF2；（2）如图2，如果ACBC，（1）中结论AE2+BF2=EF2还能成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由13.如图，边长为8和4的矩形OABC的两边分别在平面直角坐标系的x轴和y轴上，若沿对角线AC折叠后，点B落在第四象限B1处，设B1C交x轴于点D. 求：（1）ACD的面积；（2）点B1的坐标.（四）思维训练：1.如图，ABC中，AB=BC，BEAC于点E，ADBC于点D，BAD=45，AD与BE交于点F，连接CF.（1）求证：BF=2AE；（2）若CD=，求AD的长.2.如图，ABC是边长为3的等边三角形，将ABC沿直线BC向右平移，使B点与C点重合，得

5、到DCE，连接BD，交AC于F.（1）猜想AC与BD的位置关系，并证明你的结论；（2）求线段BD的长.3.如图，在四边形ABCD中，AC平分BAD，BC=CD=10，AB=21，AD=9求AC的长.4.已知：ABC中，BC=，AC=，AB=若C=90，如图1，根据勾股定理，则若ABC不是直角三角形，如图2和图3，请你类比勾股定理，试猜想与的关系，并证明你的结论.5.细心观察下图，认真分析各式，然后解答问题，；，；，；（1）请用含（是正整数）的等式表示上述变化规律；（2）推算出OA10的长；（3）求出S12+S22+S32+S102的值6.已知ABC=90，点P为射线BC上任意一点（与点B不重合

6、），分别以AB、AP为边在ABC的内部作等边ABE和APQ，连接QE并延长交BP于点F（1）如图1，若AB= ，点A、E、P恰在一条直线上时，求此时EF的长；（2）如图2，当点P为射线BC上任意一点时，猜想EF与图中的哪条线段相等（不能添加辅助线产生新的线段），并加以证明；（3）若AB=，设BP=4，求QF的长7.在ABC中，A=2B，且A=60. 求证：.8.如图，梯形ABCD中，ADBC，B=90，AD=AB=4，BC=7，点E在BC边上，将CDE沿DE折叠，点C恰好落在AB边上的点C处（1）求CDE的度数；（2）求CDE的面积9.如图，在RtABC中，BAC=90，AB=AC，点M、N在

7、边BC上（1）如图1，如果AM=AN，求证：BM=CN；（2）如图2，如果M、N是边BC上任意两点，并满足MAN=45，那么线段BM、MN、NC是否有可能使等式MN2=BM2+CN2成立？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由10.如图，ABC是一个边长为1的等边三角形，BB1是ABC的高，B1B2是ABB1的高，B2B3是AB1B2的高，B3B4是AB2B3的高，Bn-1Bn是ABn-2Bn-1的高.（1）求BB1的长；（2）填空：B1B2的长为_，B2B3的长为_；（3）根据（1）、（2）的计算结果，猜想写出Bn-1Bn的值（用含n的代数式表示，n为正整数）11.如图，ABD、CBD都是

8、等边三角形，DE、BF分别是ABD的两条高，DE、BF交于点G（1）求BGD的度数；（2）连接CG，求证：BG+DG=CG；求的值12.（1）如图1，在ABC中，BC=3，AC=4，AB=5D为AB边上一点，且ACD与BCD的周长相等，则AD=_（2）如图2，在ABC中，BC=a，AC=b，AB2=BC2+AC2E为BC边上一点，且ABE与ACE的周长相等；F为AC边上一点，且ABF与BCF的周长相等，求CECF（用含a，b的式子表示）13.如图，在ABC中，ABC=45，CDAB，BEAC，垂足分别为D、E，F为BC中点，BE与DF、DC分别交于点G、H，ABE=CBE（1）求证：BH=2C

9、E；（2）求证：BG2-GE2=AE214.如图，等边ABC和等边DEC，CE和AC重合，CE=AB（1）求证：AD=BE；（2）若CE绕点C顺时针旋转30，连BD交AC于点G，取AB的中点F，连接FG求证：BE=2FG15.在讨论问题：“如图1，ABC=30，ADC=60，AD=CD，请问：BD、AB、BC三边满足什么关系？”时，某同学在图中作ACEDCB，连接BE得图2，然后指出三边的关系为BD2=AB2+BC2他的判断是否正确？请说明理由16.已知：ABC中，ABBC，AC的中点为M，MNAC交ABC的角平分线于N（1）如图1，若ABC=60，求证：BA+BC=BN；（2）如图2，若AB

10、C=120，则BA、BC、BN之间满足什么关系式，并对你得出的结论给予证明17.如图，ABC是等边三角形，过点C作CDCB交CBA的外角平分线于点D，连接AD，过点C作BCE=BAD，交AB的延长线于点E（1）求证：BD=BE；（2）若CD=4，求AD的长18.在RtABC中，BAC=90，AB=AC=2，BC=，点D在BC所在的直线上运动，作ADE=45（A，D，E按逆时针方向）如图1，若点D在线段BC上运动，DE交AC于E（1）求证：1=2（2）当ADE是等腰三角形时，求AE的长（3）如图2，若点D在BC的延长线上运动，DE的反向延长线与AC的延长线相交于点E，是否存在点D，使ADE是等腰

11、三角形？若存在，写出所有点D的位置；若不存在，请简要说明理由19.如图，已知ABC中，BC=AC=8厘米，C=90，如果点P在线段AC上以1厘米/秒的速度由A点向C点运动，同时，点Q在线段BC上由C点向B点运动，运动速度与点P的运动速度相等，点M是AB的中点（1）在点P和点Q运动过程中，APM与CQM是否保持全等，请说明理由；（2）在点P和点Q运动过程中，四边形PMQC的面积是否变化？若变化说明理由；若不变，求出这个四边形的面积；（3）线段AP、PQ、BQ之间存在什么数量关系，写出这个关系，并加以证明20.已知ABC，以AC为边在ABC外作等腰ACD，其中AC=AD（1）如图1，若AB=AE，

12、DAC=EAB=60，则BFC=_；（2）如图2，若ABC=30，ACD是等边三角形，BC=4，AB=3求BD的长；（3）如图3，若ACD为锐角，作AHBC于H，当BD2=4AH2+BC2时，判定DAC与ABC的数量关系，并证明你的结论21.某兴趣小组在学习了勾股定理之后提出：“锐（钝）角三角形有没有类似于勾股定理的结论”的问题首先定义了一个新的概念：如图（1）ABC中，M是BC的中点，P是射线MA上的点，设=k，若BPC=90，则称k为勾股比（1）如图（1），过B、C分别作中线AM的垂线，垂足为E、D求证：CD=BE（2）如图（2），当k=1，且AB=AC时，AB2+AC2=_BC2（填一个

13、恰当的数）如图（1），当k=1，ABC为锐角三角形，且ABAC时，中的结论还成立吗？若成立，请写出证明过程；若不成立，也请说明理由；对任意锐角或钝角三角形，如图（1）、（3），请用含勾股比k的表达式直接表示AB2+AC2与BC2的关系（写出锐角或钝角三角形中的一个即可）22.在四边形ABCD中，ADBC，AD=CD，点E在DC的延长线上，AE交BC边于点F，且AE=AB（1）如图1，求证：B=E：（2）如图2，在（1）的条件下，在BC上取一点M，使BM=CE，连接AM，过M作MHAE于H，连接CH，若BAE=EHC=60，CF=2，求线段AH的长23.如图，在直角坐标系中，点B坐标为（-4，0

14、），点C与点B关于原点O对称，点A为y轴上一动点，其坐标为（0，k），BE，CD分别为ABC中AC，AB边上的高，垂足分别为E，D（1）当k=-3时，求AB的长；（2）试说明DOE是等腰三角形；（3）k取何值时，DOE是等边三角形？（直接写出k的值即可）24.已知：ABC中，D是AB的中点，若AC=12，BC=5，CD=6.5.求证：ABC是直角三角形.25.如图，ABC中，AB=AC=20，BC=32，D是BC上一点，且ADAC，求BD的长26.已知一直角三角形的斜边长是2，周长是，求这个三角形的面积27.台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围数十千米范围内形成气旋风暴，有极强的破坏力，如图，据气象观测，距沿海某城市A的正南方向220千米B处有一台风中心，其中心最大风力为12级，每远离台风中心20千米，风力就会减弱一级，该台风中心现正以15千米/时的速度沿北偏东30方向往C移动，且台风中心风力不变，若城市所受风力达到或走过四级，则称为受台风影响.（1）该城市是否会受到这交台风的影响？请说明理由.（2）若会受到台风影响，那么台风影响该城市持续时间有多少？（3）该城市受到台风影响的最大风力为几级？