八年级下期数学培优思维训练勾股定理.docx

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八年级下期数学培优思维训练勾股定理

八年级下期数学培优思维训练（勾股定理）

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八年级下期数学培优思维训练

二、勾股定理

（一）知识梳理：

（二）方法归纳：

（三）范例精讲：

1.已知：

如图，在△ABC中，CD是AB边上的高，CD2=AD·BD.求证：

△ABC是直角三角形.

2.已知：

△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是

、

、

，判断△ABC的形状.

（1）

.

（2）

.

（3）

.

3.已知：

如图，在△ABC中，∠C=90°，M是BC的中点，MD⊥AB于D.

求证：

AD2=AC2+BD2.

4.已知：

如图，四边形ABCD，AD∥BC，AB=4，BC=6，CD=5，AD=3.

求：

四边形ABCD的面积.

5.已知：

如图，DE=

，BC=

，∠EBC与∠DCB互余.求BD2+CD2的值.

6.如图，有一块矩形塑料模板ABCD，长为10㎝，宽为4㎝，将你手中足够大的直角三角板PHF的直角顶点P落在AD边上（不与A、D重合）并在AD上平行移动：

①能否使你的三角板两直角边分别通过点B与点C？

若能，请你求出这时AP的长；若不能，请说明理由.②再次移动三角板位置，使三角板顶点P在AD上移动，直角边PH始终通过点B，另一直角边PF与DC的延长线交于点Q，与BC交于点E，能否使CE=2㎝？

若能，请你求出这时AP的长；若不能，请说明理由.

7.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，P是△ABC内的一点，且PB=1，PC=2，PA=3，求∠BPC的度数.

8.已知：

△ABC中，AB=15，AC=13，BC边上的高AD长为12.求△ABC的面积.

9.如图，把矩形纸片ABCD沿对角线AC折叠，点B落在点E处，EC与AD相交于点F.若AB=4，BC=6，求△FAC的周长和面积.

10.如图，将矩形ABCD沿直线AE折叠，顶点D恰好落在BC边上F点处，已知CE=6cm，AB=16cm，求BF的长．

11.如图，一个高18m，周长5m的圆柱形水塔，现制造一个螺旋形登梯，为减小坡度，要求登梯绕塔环绕一周半到达顶端，问登梯至少多长？

12.如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为AB中点，DE、DF分别交AC于E，交BC于F，且DE⊥DF．

（1）如果AC=BC，求证：

AE2+BF2=EF2；

（2）如图2，如果AC＜BC，

（1）中结论AE2+BF2=EF2还能成立吗？

若成立，请证明；若不成立，请说明理由．

13.如图，边长为8和4的矩形OABC的两边分别在平面直角坐标系的x轴和y轴上，若沿对角线AC折叠后，点B落在第四象限B1处，设B1C交x轴于点D.求：

（1）△ACD的面积；

（2）点B1的坐标.

（四）思维训练：

1.如图，△ABC中，AB=BC，BE⊥AC于点E，AD⊥BC于点D，∠BAD=45°，AD与BE交于点F，连接CF.

（1）求证：

BF=2AE；

（2）若CD=

，求AD的长.

2.如图，△ABC是边长为3的等边三角形，将△ABC沿直线BC向右平移，使B点与C点重合，得到△DCE，连接BD，交AC于F.

（1）猜想AC与BD的位置关系，并证明你的结论；

（2）求线段BD的长.

3.如图，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，BC=CD=10，AB=21，AD=9．求AC的长.

4.已知：

△ABC中，BC=

，AC=

，AB=

．若∠C=90°，如图1，根据勾股定理，则

．若△ABC不是直角三角形，如图2和图3，请你类比勾股定理，试猜想

与

的关系，并证明你的结论.

5.细心观察下图，认真分析各式，然后解答问题．

，

；

，

；

，

；……

（1）请用含

（

是正整数）的等式表示上述变化规律；

（2）推算出OA10的长；

（3）求出S12+S22+S32+…+S102的值．

6.已知∠ABC=90°，点P为射线BC上任意一点（与点B不重合），分别以AB、AP为边在∠ABC的内部作等边△ABE和△APQ，连接QE并延长交BP于点F．

（1）如图1，若AB=

，点A、E、P恰在一条直线上时，求此时EF的长；

（2）如图2，当点P为射线BC上任意一点时，猜想EF与图中的哪条线段相等（不能添加辅助线产生新的线段），并加以证明；

（3）若AB=

，设BP=4，求QF的长．

7.在△ABC中，∠A=2∠B，且∠A=60°.求证：

.

8.如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=AB=4，BC=7，点E在BC边上，将△CDE沿DE折叠，点C恰好落在AB边上的点C'处．

（1）求∠C'DE的度数；

（2）求△C'DE的面积．

9.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点M、N在边BC上．

（1）如图1，如果AM=AN，求证：

BM=CN；

（2）如图2，如果M、N是边BC上任意两点，并满足∠MAN=45°，那么线段BM、MN、NC是否有可能使等式MN2=BM2+CN2成立？

如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由．

10.如图，△ABC是一个边长为1的等边三角形，BB1是△ABC的高，B1B2是△ABB1的高，B2B3是△AB1B2的高，B3B4是△AB2B3的高，…Bn-1Bn是△ABn-2Bn-1的高.

（1）求BB1的长；

（2）填空：

B1B2的长为_________，B2B3的长为___________；

（3）根据

（1）、

（2）的计算结果，猜想写出Bn-1Bn的值（用含n的代数式表示，n为正整数）．

11.如图，△ABD、△CBD都是等边三角形，DE、BF分别是△ABD的两条高，DE、BF交于点G．

（1）求∠BGD的度数；

（2）连接CG，①求证：

BG+DG=CG；②求

的值．

12.

（1）如图1，在△ABC中，BC=3，AC=4，AB=5．D为AB边上一点，且△ACD与△BCD的周长相等，则AD=_________．

（2）如图2，在△ABC中，BC=a，AC=b，AB2=BC2+AC2．E为BC边上一点，且△ABE与△ACE的周长相等；F为AC边上一点，且△ABF与△BCF的周长相等，求CE•CF（用含a，b的式子表示）．

13.如图，在△ABC中，∠ABC=45°，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D、E，F为BC中点，BE与DF、DC分别交于点G、H，∠ABE=∠CBE．

（1）求证：

BH=2CE；

（2）求证：

BG2-GE2=AE2．

14.如图，等边△ABC和等边△DEC，CE和AC重合，CE=

AB．

（1）求证：

AD=BE；

（2）若CE绕点C顺时针旋转30°，连BD交AC于点G，取AB的中点F，连接FG．求证：

BE=2FG．

15.在讨论问题：

“如图1，∠ABC=30°，∠ADC=60°，AD=CD，请问：

BD、AB、BC三边满足什么关系？

”时，某同学在图中作△ACE≌△DCB，连接BE得图2，然后指出三边的关系为BD2=AB2+BC2．他的判断是否正确？

请说明理由．

16.已知：

△ABC中，AB＜BC，AC的中点为M，MN⊥AC交∠ABC的角平分线于N．

（1）如图1，若∠ABC=60°，求证：

BA+BC=

BN；

（2）如图2，若∠ABC=120°，则BA、BC、BN之间满足什么关系式，并对你得出的结论给予证明．

17.如图，△ABC是等边三角形，过点C作CD⊥CB交∠CBA的外角平分线于点D，连接AD，过点C作∠BCE=∠BAD，交AB的延长线于点E．

（1）求证：

BD=BE；

（2）若CD=4，求AD的长．

18.在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2，BC=

，点D在BC所在的直线上运动，作∠ADE=45°（A，D，E按逆时针方向）．如图1，若点D在线段BC上运动，DE交AC于E．

（1）求证：

∠1=∠2．

（2）当△ADE是等腰三角形时，求AE的长．

（3）如图2，若点D在BC的延长线上运动，DE的反向延长线与AC的延长线相交于点E′，是否存在点D，使△ADE′是等腰三角形？

若存在，写出所有点D的位置；若不存在，请简要说明理由．

19.如图，已知△ABC中，BC=AC=8厘米，∠C=90°，如果点P在线段AC上以1厘米/秒的速度由A点向C点运动，同时，点Q在线段BC上由C点向B点运动，运动速度与点P的运动速度相等，点M是AB的中点．

（1）在点P和点Q运动过程中，△APM与△CQM是否保持全等，请说明理由；

（2）在点P和点Q运动过程中，四边形PMQC的面积是否变化？

若变化说明理由；若不变，求出这个四边形的面积；

（3）线段AP、PQ、BQ之间存在什么数量关系，写出这个关系，并加以证明．

20.已知△ABC，以AC为边在△ABC外作等腰△ACD，其中AC=AD．

（1）如图1，若AB=AE，∠DAC=∠EAB=60°，则∠BFC=__________；

（2）如图2，若∠ABC=30°，△ACD是等边三角形，BC=4，AB=3．求BD的长；

（3）如图3，若∠ACD为锐角，作AH⊥BC于H，当BD2=4AH2+BC2时，判定∠DAC与∠ABC的数量关系，并证明你的结论．

21.某兴趣小组在学习了勾股定理之后提出：

“锐（钝）角三角形有没有类似于勾股定理的结论”的问题．首先定义了一个新的概念：

如图

（1）△ABC中，M是BC的中点，P是射线MA上的点，设

=k，若∠BPC=90°，则称k为勾股比．

（1）如图

（1），过B、C分别作中线AM的垂线，垂足为E、D．求证：

CD=BE．

（2）①如图

（2），当k=1，且AB=AC时，AB2+AC2=____BC2（填一个恰当的数）．

②如图

（1），当k=1，△ABC为锐角三角形，且AB≠AC时，①中的结论还成立吗？

若成立，请写出证明过程；若不成立，也请说明理由；

③对任意锐角或钝角三角形，如图

（1）、（3），请用含勾股比k的表达式直接表示AB2+AC2与BC2的关系（写出锐角或钝角三角形中的一个即可）．

22.在四边形ABCD中，AD∥BC，AD=CD，点E在DC的延长线上，AE交BC边于点F，且AE=AB．

（1）如图1，求证：

∠B=∠E：

（2）如图2，在

（1）的条件下，在BC上取一点M，使BM=CE，连接AM，过M作MH⊥AE于H，连接CH，若∠BAE=∠EHC=60°，CF=2，求线段AH的长．

23.如图，在直角坐标系中，点B坐标为（-4，0），点C与点B关于原点O对称，点A为y轴上一动点，其坐标为（0，k），BE，CD分别为△ABC中AC，AB边上的高，垂足分别为E，D．

（1）当k=-3时，求AB的长；

（2）试说明△DOE是等腰三角形；（3）k取何值时，△DOE是等边三角形？

（直接写出k的值即可）

24.已知：

△ABC中，D是AB的中点，若AC=12，BC=5，CD=6.5.

求证：

△ABC是直角三角形.

25.如图，△ABC中，AB=AC=20，BC=32，D是BC上一点，且AD⊥AC，求BD的长．

26.已知一直角三角形的斜边长是2，周长是

，求这个三角形的面积．

27.台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围数十千米范围内形成气旋风暴，有极强的破坏力，如图，据气象观测，距沿海某城市A的正南方向220千米B处有一台风中心，其中心最大风力为12级，每远离台风中心20千米，风力就会减弱一级，该台风中心现正以15千米/时的速度沿北偏东30º方向往C移动，且台风中心风力不变，若城市所受风力达到或走过四级，则称为受台风影响. 

（1）该城市是否会受到这交台风的影响？

请说明理由. 

（2）若会受到台风影响，那么台风影响该城市持续时间有多少？

（3）该城市受到台风影响的最大风力为几级？