动态几何之双多动点形成的最值问题.docx

1、动态几何之双多动点形成的最值问题一、选择题二、填空题1. （2013年湖北武汉3分）如图，E，F是正方形ABCD的边AD上两个动点，满足AEDF连接CF交BD于G，连接BE交AG于点H若正方形的边长为2，则线段DH长度的最小值是 如图，取AB的中点O，连接OH、OD，则根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得OH=AO=AB=1。在RtAOD中，根据三角形的三边关系，OH+DHOD，当O、D、H三点共线时，DH的长度最小。最小值=。三、解答题1. （2013年湖南张家界12分）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a0）的图象过点C（0，1），顶点为Q（2，3），点D在x轴正半轴上，且OD=O

2、C（1）求直线CD的解析式；（2）求抛物线的解析式；（3）将直线CD绕点C逆时针方向旋转45所得直线与抛物线相交于另一点E，求证：CEQCDO；（4）在（3）的条件下，若点P是线段QE上的动点，点F是线段OD上的动点，问：在P点和F点移动过程中，PCF的周长是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由（3）证明：由题意可知，ECD=45，OC=OD，且OCOD，OCD为等腰直角三角形，ODC=45。ECD=ODC，CEx轴。（4）存在。如答图所示，作点C关于直线QE的对称点C，作点C关于x轴的对称点C，连接CC，交OD于点F，交QE于点P，则PCF即为符合题意的周长最小的三角形

3、，由轴对称的性质可知，PCF的周长等于线段CC的长度。（证明如下：不妨在线段OD上取异于点F的任一点F，在线段QE上取异于点P的任一点P，连接FC，FP，PC由轴对称的性质可知，PCF的周长=FC+FP+PC。而FC+FP+PC是点C，C之间的折线段，由两点之间线段最短可知：FC+FP+PCCC，即PCF的周长大于PCE的周长。）如答图所示，连接CE，C，C关于直线QE对称，QCE为等腰直角三角形，QCE为等腰直角三角形。CEC为等腰直角三角形。点C的坐标为（4，5）。C，C关于x轴对称，点C的坐标为（1，0）。过点C作CNy轴于点N，则NC=4，NC=4+1+1=6，在RtCNC中，由勾股定

4、理得：。综上所述，在P点和F点移动过程中，PCF的周长存在最小值，最小值为。2. （2013年山东济宁12分）如图，直线与坐标轴分别交于点A、B，与直线y=x交于点C在线段OA上，动点Q以每秒1个单位长度的速度从点O出发向点A做匀速运动，同时动点P从点A出发向点O做匀速运动，当点P、Q其中一点停止运动时，另一点也停止运动分别过点P、Q作x轴的垂线，交直线AB、OC于点E、F，连接EF若运动时间为t秒，在运动过程中四边形PEFQ总为矩形（点P、Q重合除外）（1）求点P运动的速度是多少？（2）当t为多少秒时，矩形PEFQ为正方形？（3）当t为多少秒时，矩形PEFQ的面积S最大？并求出最大值【答案】

5、解：（1）直线与坐标轴分别交于点A、B，x=0时，y=4；y=0时，x=8。BO=4，AO=8。当t秒时，QO=FQ=t，则EP=t，EPBO，ABOARP。，即。AP=2t。动点Q以每秒1个单位长度的速度从点O出发向点A做匀速运动，点P运动的速度是每秒2个单位长度。（3）同（2）分0t和t4两种情况讨论：如图1，当0t时，Q在P点的左边OQ=t，PA=2t，QP=8t2t=83t，3. （2013年江苏连云港12分）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A、B的坐标分别为（8，0）、（0，6）动点Q从点O、动点P从点A同时出发，分别沿着OA方向、AB方向均以1个单位长度/秒的速度匀速运动

6、，运动时间为t（秒）（0t5）以P为圆心，PA长为半径的P与AB、OA的另一个交点分别为点C、D，连结CD、QC（1）求当t为何值时，点Q与点D重合？（2）设QCD的面积为S，试求S与t之间的函数关系，并求S的最大值？（3）若P与线段QC只有一个交点，请直接写出t的取值范围、点Q、D重合后，即时，QCD的面积为。，当时，S随t的增大而增大。当t=5时，S有最大值为：。综上所述，S与t的函数关系式为。15，S的最大值为15。（3）或。4. （2013年贵州遵义12分）如图，在RtABC中，C=90，AC=4cm，BC=3cm动点M，N从点C同时出发，均以每秒1cm的速度分别沿CA、CB向终点A，

7、B移动，同时动点P从点B出发，以每秒2cm的速度沿BA向终点A移动，连接PM，PN，设移动时间为t（单位：秒，0t2.5）（1）当t为何值时，以A，P，M为顶点的三角形与ABC相似？（2）是否存在某一时刻t，使四边形APNC的面积S有最小值？若存在，求S的最小值；若不存在，请说明理由【考点】多动点问题，相似三角形的判定和性质、平行线分线段成比例的性质，勾股定理，由实际问题列函数关系式，二次函数的最值，分类思想的应用。【分析】根据勾股定理求得AB=5cm。（1）分AMPABC和APMABC两种情况讨论：利用相似三角形的对应边成比例来求t的值。（2）如图，过点P作PHBC于点H，构造平行线PHAC

8、，由平行线分线段成比例求得以t表示的PH的值；然后根据“S=SABCSBPH”列出S与t的关系式，则由二次函数最值的求法即可得到S的最小值。5. （2013年海南省14分）如图，二次函数的图象与x轴相交于点A（3，0）、B（1，0），与y轴相交于点C（0，3），点P是该图象上的动点；一次函数y=kx4k（k0）的图象过点P交x轴于点Q（1）求该二次函数的解析式；（2）当点P的坐标为（4，m）时，求证：OPC=AQC；（3）点M，N分别在线段AQ、CQ上，点M以每秒3个单位长度的速度从点A向点Q运动，同时，点N以每秒1个单位长度的速度从点C向点Q运动，当点M，N中有一点到达Q点时，两点同时停止运

9、动，设运动时间为t秒连接AN，当AMN的面积最大时，求t的值；直线PQ能否垂直平分线段MN？若能，请求出此时点P的坐标；若不能，请说明你的理由【答案】解：（1）二次函数的图象与x轴相交于点A（3，0）、B（1，0），设二次函数的解析式为：y=a（x+3）（x+1）。二次函数的图象经过点C（0，3），3=a31，解得a=1。二次函数的解析式为：y=（x+3）（x+1），即y =x2+4x+3。 （2）证明：在二次函数解析式y=x2+4x+3中，当x=4时，y=3，P（4，3）。P（4，3），C（0，3），PC=4，PCx轴。一次函数y=kx4k（k0）的图象交x轴于点Q，当y=0时，x=4，Q（

10、4，0），OQ=4。PC=OQ。又PCx轴，四边形POQC是平行四边形。OPC=AQC。（3）在RtCOQ中，OC=3，OQ=4，由勾股定理得：CQ=5如答图1所示，过点N作NDx轴于点D，则NDOC，QNDQCO。，即，解得：。设S=SAMN，则：。又AQ=7，点M的速度是每秒3个单位长度，点M到达终点的时间为t=，（0t）。0，且x时，y随x的增大而增大，当t=时，AMN的面积最大。假设直线PQ能够垂直平分线段MN，则有QM=QN，且PQMN，PQ平分AQC。由QM=QN，得：73t=5t，解得t=1。此时点M与点O重合，如答图2所示，设PQ与OC交于点E，由（2）可知，四边形POQC是平

11、行四边形，OE=CE。点E到CQ的距离小于CE，点E到CQ的距离小于OE。而OEx轴，PQ不是AQC的平分线，这与假设矛盾。直线PQ不能垂直平分线段MN。【考点】二次函数综合题，双动点问题，二次函数的图象和性质，待定系数法的应用，曲线上点的坐标与方程的关系，平行四边形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，角平分线的性质，反证法的应用。【分析】（1）利用交点式求出抛物线的解析式。（2）证明四边形POQC是平行四边形，则结论得证。（3）求出AMN面积的表达式，利用二次函数的性质，求出AMN面积最大时t的值。由于直线PQ上的点到AQC两边的距离不相等，则直线PQ不能平分AQC，所以直线PQ不能垂直平

12、分线段MN。6. （2013年四川攀枝花12分）如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是梯形，ABCD，点B（10，0），C（7，4）直线l经过A，D两点，且sinDAB=动点P在线段AB上从点A出发以每秒2个单位的速度向点B运动，同时动点Q从点B出发以每秒5个单位的速度沿BCD的方向向点D运动，过点P作PM垂直于x轴，与折线ADC相交于点M，当P，Q两点中有一点到达终点时，另一点也随之停止运动设点P，Q运动的时间为t秒（t0），MPQ的面积为S（1）点A的坐标为 ，直线l的解析式为 ；（2）试求点Q与点M相遇前S与t的函数关系式，并写出相应的t的取值范围；（3）试求（2）中当t为何值时，S

13、的值最大，并求出S的最大值；（4）随着P，Q两点的运动，当点M在线段DC上运动时，设PM的延长线与直线l相交于点N，试探究：当t为何值时，QMN为等腰三角形？请直接写出t的值【答案】解：（1）（4，0）；y=x+4。（2）在点P、Q运动的过程中：当0t1时，如图1，过点C作CFx轴于点F，则CF=4，BF=3，由勾股定理得BC=5。过点Q作QEx轴于点E，则BE=BQcosCBF=5t=3t。PE=PBBE=（142t）3t=145t，S=PMPE=2t（145t）=5t2+14t。当1t2时，如图2，过点C、Q分别作x轴的垂线，垂足分别为F，E，则CQ=5t5，PE=AFAPEF=112t（

14、5t5）=167t。S=PMPE=2t（167t）=7t2+16t。当点M与点Q相遇时，DM+CQ=CD=7，即（2t4）+（5t5）=7，解得t=。当2t时，如图3，MQ=CDDMCQ=7（2t4）（5t5）=167t，S=PMMQ=4（167t）=14t+32。 综上所述，点Q与点M相遇前S与t的函数关系式为。 （3）当0t1时，a=50，抛物线开口向下，对称轴为直线t=，当0t1时，S随t的增大而增大。当t=1时，S有最大值，最大值为9。当1t2时，（3）根据（2）中求出的S表达式与取值范围，逐一讨论计算，最终确定S的最大值。（4）QMN为等腰三角形的情形有两种，需要分类讨论：如图4，点

15、M在线段CD上，MQ=CDDMCQ=7（2t4）（5t5）=167t，MN=DM=2t4，由MN=MQ，得167t=2t4，解得t=。如图5，当点M运动到C点，同时当Q刚好运动至终点D，此时QMN为等腰三角形，t=。当t=或t=时，QMN为等腰三角形。7. （2013福建龙岩14分）如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC与BD交于点O，且AC=80，BD=60动点M、N分别以每秒1个单位的速度从点A、D同时出发，分别沿AOD和DA运动，当点N到达点A时，M、N同时停止运动设运动时间为t秒（1）求菱形ABCD的周长；（2）记DMN的面积为S，求S关于t的解析式，并求S的最大值；（3）当t=30秒

16、时，在线段OD的垂直平分线上是否存在点P，使得DPO=DON？若存在，这样的点P有几个？并求出点P到线段OD的距离；若不存在，请说明理由【答案】解：（1）在菱形ABCD中，ACBD，AC=80，BD=60，。菱形ABCD的周长为200。（2）过点M作MPAD，垂足为点P当0t40时，如答图1，当0t40时，S随t的增大而增大，当t=40时，最大值为480；当40t50时，S随t的增大而减小，最大值不超过480。综上所述，S的最大值为480。（3）存在2个点P，使得DPO=DON。如答图3所示，过点N作NFOD于点F，则NF=NDsinODA=30=24， DF=NDcosODA=30=18。O

17、F=12。作NOD的平分线交NF于点G，过点G作GHON于点H，则FG=GH。SONF=OFNF=SOGF+SOGN=OFFG+ONGH=（OF+ON）FG。设OD中垂线与OD的交点为K，由对称性可知：DPK=DPO=DON=FOG，。PK=。根据菱形的对称性可知，在线段OD的下方存在与点P关于OD轴对称的点P。存在两个点P到OD的距离都是。由、可得：。PE=PI+IE=。根据对称性可得，在BD下方还存在一个点P也满足条件。存在两个点P，到OD的距离都是。8. （ 2013年广西柳州12分）已知二次函数y=ax2+bx+c（a0）的图象经过点（1，0），（5，0），（3，4） （1）求该二次函

18、数的解析式； （2）当y3，写出x的取值范围； （3）A、B为直线y=2x6上两动点，且距离为2，点C为二次函数图象上的动点，当点C运动到何处时ABC的面积最小？求出此时点C的坐标及ABC面积的最小值【答案】解：（1）点（1，0），（5，0），（3，4）在抛物线上，解得。二次函数的解析式为：y=x26x+5。（2）在y=x26x+5中，令y=3，即x26x+5=3，整理得：x26x+8=0，解得x1=2，x2=4。结合函数图象，可知当y3时，x的取值范围是：x2或x4。（3）设直线y=2x6与x轴，y轴分别交于点M，点N，令x=0，得y=6；令y=0，得x=2，M（3，0），N（0，6）。OM

19、=3，ON=6，由勾股定理得：MN=，。设点C坐标为（x，y），则y=x26x+5。过点C作CDy轴于点D，则CD=x，OD=y，DN=6+y。过点C作直线y=2x6的垂线，垂足为E，交y轴于点F，【考点】二次函数综合题，多动点问题，曲线上点的坐标与方程的关系，解一元二次方程，勾股定理，锐角三角函数定义，由实际问题列函数关系式，二次函数的最值。【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式。（2）求出y=3时x的值，结合函数图象，求出y3时x的取值范围。（3）ABC的底边AB长度为2，是定值，因此当AB边上的高最小时，ABC的面积最小如解答图所示，由点C向直线y=2x6作垂线，利用三角函数（或

20、相似三角形）求出高CE的表达式，根据表达式求出CE的最小值，这样问题得解。9. （2013年青海西宁12分）如图，正方形AOCB在平面直角坐标系中，点O为原点，点B在反比例函数（）图象上，BOC的面积为（1）求反比例函数的关系式； （2）若动点E从A开始沿AB向B以每秒1个单位的速度运动，同时动点F 从B开始沿BC向C以每秒个单位的速度运动，当其中一个动点到达端点时，另一个动点随之停止运动若运动时间用t表示，BEF的面积用S表示，求出S关于t的函数关系式，并求出当运动时间t取何值时，BEF的面积最大？ （3）当运动时间为秒时，在坐标轴上是否存在点P，使PEF的周长最小？若存在，请求出点P的坐标

21、；若不存在，请说明理由（3）存在。当时，点E的坐标为（，4），点F的坐标为（4，），【考点】反比例函数综合题，双动点问题，正方形的性质，待定系数法的应用，曲线上点的坐标与方程的关系，由实际问题列函数关系式，二次函数的最值，轴对称的应用（最短线路问题），分类思想的应用。【分析】（1）根据正方形的性质和BOC的面积为8，列式求出点B的坐标，代入，即可求得k，从而求得反比例函数的关系式。（2）根据双动点的运动时间和速度表示出BF和BE，即可求得S关于t的函数关系式，化为顶点式即可根据二次函数的最值原理求得BEF的面积最大时t的值。（3）根据轴对称的原理，分F点关于轴的对称点F1和E点关于轴的对称点E

22、1两种情况讨论。10. （2013年内蒙古呼和浩特12分）如图，已知二次函数的图象经过点A（6，0）、B（2，0）和点C（0，8）（1）求该二次函数的解析式；（2）设该二次函数图象的顶点为M，若点K为x轴上的动点，当KCM的周长最小时，点K的坐标为 ；（3）连接AC，有两动点P、Q同时从点O出发，其中点P以每秒3个单位长度的速度沿折线OAC按OAC的路线运动，点Q以每秒8个单位长度的速度沿折线OCA按OCA的路线运动，当P、Q两点相遇时，它们都停止运动，设P、Q同时从点O出发t秒时，OPQ的面积为S请问P、Q两点在运动过程中，是否存在PQOC？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由；请

23、求出S关于t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；设S0是中函数S的最大值，直接写出S0的值【答案】解：（1）二次函数的图象经过点A（6，0）、B（2，0），设二次函数的解析式为y=a（x+2）（x6）。图象过点（0，8），8=a（0+2）（06），解得a=。二次函数的解析式为y=（x+2）（x6），即。（2）（，0）。 （3）不存在PQOC，若PQOC，则点P，Q分别在线段OA，CA上，此时，1t2。PQOC，APQAOC。AP=63t，AQ=188t，解得t=。t=2不满足1t2，不存在PQOC。分三种情况讨论如下，情况1：当0t1时，如图1，S=OPOQ=3t8t=12t2。情况2：当

24、1t2时，如图2，作QEOA，垂足为E，S=OPEQ=3t。情况3：当2t时，如图3，作OFAC，垂足为F，则OF=。S=QPOF=（2411t）。综上所述，S关于t的函数关系式。（3）如果DEOC，此时点D，E应分别在线段OA，CA上，先求出这个区间t的取值范围，然后根据平行线分线段成比例定理，求出此时t的值，然后看t的值是否符合此种情况下t的取值范围如果符合则这个t的值就是所求的值，如果不符合，那么就说明不存在这样的t。本题要分三种情况进行讨论：当E在OC上，D在OA上，即当0t1时，此时S=OEOD，由此可得出关于S，t的函数关系式；11. （2012广东湛江12分）如图，在平面直角坐标

25、系中，直角三角形AOB的顶点A、B分别落在坐标轴上O为原点，点A的坐标为（6，0），点B的坐标为（0，8）动点M从点O出发沿OA向终点A以每秒1个单位的速度运动，同时动点N从点A出发，沿AB向终点B以每秒个单位的速度运动当一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，设动点M、N运动的时间为t秒（t0）（1）当t=3秒时直接写出点N的坐标，并求出经过O、A、N三点的抛物线的解析式；（2）在此运动的过程中，MNA的面积是否存在最大值？若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由；（3）当t为何值时，MNA是一个等腰三角形？【答案】解：（1）N（3，4）。 A（6，0）可设经过O、A、N三点的抛物线

26、的解析式为：y=ax（x6），则将N（3，4）代入得4=3a（36），解得a=。抛物线的解析式：。【考点】二次函数综合题，动点问题，勾股定理，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，锐角三角函数定义，二次函数的最值，等腰三角形的性质。【分析】（1）由A、B的坐标，可得到OA=6，OB=8，根据勾股定理可得AB=10。当t=3时，AN=t=5=AB，即N是AB的中点，由此得到点N的坐标N（3，4）。利用待定系数法，设交点式求出抛物线的解析式。（2）MNA中，过N作MA边上的高NC，先由BAO的正弦值求出NC的表达式，而AM=OA-OM，由三角形的面积公式可得到关于SMNA关于t的函数关系式，由二

27、次函数的最值原理即可求出MNA的最大面积。（3）首先求出N点的坐标，然后表示出AM、MN、AN三边的长。由于MNA的腰和底不确定，若该三角形是等腰三角形，可分三种情况讨论：MN=NA、MN=MA、NA=MA；直接根据等量关系列方程求解即可。12. （2012江苏连云港12分）如图，甲、乙两人分别从A(1，)、B(6，0)两点同时出发，点O为坐标原点，甲沿AO方向、乙沿BO方向均以4km/h的速度行驶，th后，甲到达M点，乙到达N点(1)请说明甲、乙两人到达O点前，MN与AB不可能平行(2)当t为何值时，OMNOBA？(3)甲、乙两人之间的距离为MN的长，设sMN2，求s与t之间的函数关系式，并

28、求甲、乙两人之间距离的最小值综上所述，在甲、乙两人到达O点前， MN与AB不可能平行。(2) 由（1）知，当t时，OMN不相似OBA。当t时，OM4t 2，ON4t 6，由解得t2，当t2时，OMNOBA。【考点】反证法，坐标与图形性质，平行的判定和性质，相似三角形的判定和性质，三角形外角性质，勾股定理，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，二次函数的最值。【分析】(1)用反证法说明根据已知条件分别表示相关线段的长度，根据三角形相似得比例式说明。(2)根据两个点到达O点的时间不同分段讨论解答。(3)在不同的时间段运用相似三角形的判定和性质分别求解析式，运用函数性质解答问题。13. （2012福

29、建漳州14分）如图，在OABC中，点A在x轴上，AOC=60o，OC=4cmOA=8cm动点P从点O出发，以1cms的速度沿线段OAAB运动；动点Q同时从点O出发，以acms的速度沿线段OCCB运动，其中一点先到达终点B时，另一点也随之停止运动 设运动时间为t秒 (1)填空：点C的坐标是(_，_)，对角线OB的长度是_cm；(2)当a=1时，设OPQ的面积为S，求S与t的函数关系式，并直接写出当t为何值时，S的值最大? (3)当点P在OA边上，点Q在CB边上时，线段PQ与对角线OB交于点M.若以O、M、P为顶点的三角形与OAB相似，求a与t的函数关系式，并直接写出t的取值范围【答案】解：（1）C(2，2)，OB=4cm。 （2）当0t4时， 过点Q作QDx轴于点D(如图1)，则QD=t。 S=OPQD=t2。 当4t8时， 作QE