概率论与数理统计复习提纲doc.docx

1、概率论与数理统计复习提纲doc1 含关系：AcB，2 等价关系：A = B，3 互不相容（互斥）：对立关系（互逆）:A,事件3发生事件A必不发生，反之也成立;互逆满足Aj A = iiAA = 0第一章随机事件及其概率一、随机事件及其运算1. 样本空间、随机事件1 样木点：随机试验的每一个可能结果，用仍表示；2 样本空间：样本点的全集，用Q表示；注：样本空间不唯一.3 随机事件：样本点的某个集合或样本空间的某个子集，用A，B，C，表示;4 必然事件就等于样木空间；不可能事件（0）是不包含任何样木点的空集；5 基本事件就是仅包含单个样本点的子集。2. 事件的四种关系事件A发生必有事件B发生；事件

2、A发生必有事件B发生，且事件B发生必有事件A发生； AB = 0 ，事件A与事件B定不会同时发生。注：互不相容和对立的关系（对立事件一定是互不相容事件，但互不相容事件不一定是对立事件。）3. 事件的三大运算1 事件的并：AuB，事件A与事件B至少有一个发生。若49 = 0，则2 事件的交：A nBAB ,事件A与事件B都发生；3 事件的差：A-B，事件A发生且事件B不发生。4. 事件的运算规律1 交换律：AuB = BuA,AB = BA2 结合律：= =3 分配律：u(5nC) = (?fu5)n(uC),?Jn(5uC) = (?Jn5)u(/JnC)德摩根（De Morgan）定律:Aj

3、B = AB， AB = A0； (2)规范性：P(Q) = 1;k k(3) 有限可加性(概率加法公式)：对于A个互不相容事件為，冯，小，有=/=1 z=i则称P(A)为随机事件A的概率.2. 概率的性质 P(Q) = 1,尸(0) = 0 尸()=1 - P(A)3 若 J c 5 ,贝lj P(A) P(B),且尸(5-A) = P(S) P(A)4 P(A u5) = P(d) + P(B) - P(AB)P(AuB 0,则 P(BiA) = -n ./=i五、事件的独立 1.定义：若PG4S) = PG4)P(5)，则称A，B独立.推广:若4,為，4:相互独立，尸(4O户(4)户(4

4、,)2. 在j，5，p，巧，p，5，司四对事件中，只要有一对独立,则其余三对也独立。P(AB) = P(A)P(B)3. 三个事件A, B，C两两独立：P(BC) = P(B)P(C)P(AC) = P(A)P(C)注：Z7个事件的两两独立与相互独立的区别。(相互独立= 两两独立，反之不成立。)4. 伯努利概型： P人k) = Cknpkqnk 二似工，n，q = X-P.1. 事件的对立与互不相容是等价的。(X)2若 P(/) = 0，则 J = 0。(X)3. 若尸=0.1，P(B) = 0.5,则尸(J5) = 0.05。 (X)4. A, B, C三个事件恰有一个发生可表示为+ + i

5、应C。(V)5. n个事件若满足VZ，V(4O戸(4)八為)，则n个事件相互独立。(X)6. 当 时,有 P (B-A) =P (B)-P (A)。(V)第二章随机变量及其分布一、 随机变量的定义：设样本空间为Q，变量 = ；V(6y)为定义在1上的单值实值函数，则称Y为随机变量，通常用大写英文字母，用小写英文字母表示其取值。二、 分布函数及其性质1. 定义设随机变量X,对于任意实数xe 7?,函数F(x)二称为随机变量X的概率分布(1) J是离散随机变量，并有概率函数pU/V = l，2，.，则有Xj x(2) X连续随机变量，并有概率密度f (x)，KlJ = P(Xx)=Woo2. 分布

6、函数性质：(1 厂(%)是单调非减函数，即对于任意；%2, F(x,)F(x2);(2 0 F(x) -oo x+oo(3离散随机变量/，A Cv)是右连续函数，即F(X) = F(X + 0);连续随机变量X, 在(,+)上 处处连续。注：一个函数若满足上述3个条件，则它必是某个随机变量的分布函数。三、离散随机变量及其分布1. 定义.设随机变量J只能取得冇限个数值;v,，;v2，&,或可列无穷多个数值;q，;v2，&，且P(X = Xi) = Pi (z = l,2,.),则称/为离散随机变量，A U=l, 2，.)为Z的概率分布，或概率函 数(分布律).注：概率函数A的性质：A()，/ =

7、 1，2,； (2)p,.=l審/2. 儿种常见的离散随机变量的分布：(1)超几何分布，XH(N，M，n),PX = k = 0，1，2,，w(2)二项分布，XB(n.，p), Px=k)=cknPk(i-Prk =o，i，,n 当n=l时称X服从参数为p的两点分布(或0 1分布)。服从二项分布77若Xz.(i=l, 2, n)服从同一两点分布且独立，则(3)泊松(Poisson)分布，X P(2)，PX = k =k(义0)，仑=0, 1，2,.四、连续随机变量及其分布1. 定义.若随机变量J的取值范围是某个实数区间人且存在非负函数f(x),使得对于任意区间 (a，b c /，布= j /0

8、)6/x，则称7为连续随机变量；函数r 称为连续随机变量7的概率密 度函数，简称概率密度。注1:连续随机变量/任取某一确定值的x()概率等于0,即PG = *o) = O;fX2注 2: P(x, X x2) = P(x Xx2) = P(x Xx2) = P(x X2)= j (x)dx2.概率密度/ 6c?的性质：性质1: /(X)O; 性质2: f fMdx = 1.Joo注1: 一个函数若满足上述2个条件，则它必是某个随机变量的概率密度函数。 注 2:当又1又2 时，(-1 X x2) = F(x2 ) - F(xt) = P /Mdx 且在f(x)的连续点X处，有，(x) = /(x

9、).3. 几种常见的连续随机变量的分布:均匀分布XU、a，b、， -fM = b-aa xb 其它0， xaF(x) = -, a x b.(2)指数分布e(A), A0x0 x 0F(X) =1-ex0,0， x 0F(x) = ooX +oo, 少-)2fM =e 2(j2，yl2 兀(J1. 概率函数与密度函数是同一个概念。(X )2. 当#充分大时，超几何分布/ U，M，7V)可近似成泊松分布。(X ) 3设 X 是随机变量，有 P(aXb) = P(aSXSb)。(X)4若义的密度函数为/(x)=cosx，xe0，|l,则户(0 Z 7T)二 J。COSZ冰.(x ) 第三章随机变量

10、的数字特征一、期望(或均值)00离散型1.定义 EX，EXk=pv也连续型J OO(1) (C) = C, (C为常数)(2) 2.期望的性质:E(CX)=CE(X)(3) E(XY)=E(X)E(Y)(4) 若X与Y相互独立，贝阳()=(幻(丫)，反之结论不成立.X离散型3.随机变量函数的数学期顰Eg(x) = 0;它反映了随机变量T取值分散的程度，如果/XX)值越大(小)，表示T取值 越分散(集中)。2. 方差的性质(1) D(C) = 0, (C为常数)(2) D (CX) =C2D (X)(3) 若 X与 Y相互独立，贝 IJD (X Y)二 D (X) +D (Y)对于任意实数CE7

11、?,有E(X-C)2D(X)当且仅当C=(X)时，(JV-C)2取得最小值DPO.(5) (切比雪夫不等式)：设T的数学期望玖力与方差存在，对于任意的正数，有p(x-Em)piP(XE(X)1-D(X)3.计算利用方差定义；常用计算公式/)(幻=恥V2)-WUO2.方差的性质；(4)常见分布的方差注：常见布的期望与方差1. 若/(/?，；?)，则 E(A)=np, = npq 2.若 X P(/l)，则(X) = D(A) = 乂；23. 若 XUa，b)，贝IJECY) = ，Z)GY) = A; 4.若 Z e(A)，则(JQ = (义)=4;5.若 X 聯，沪),则(%) = /，D(X

12、) = ct2.三、原点矩与中心矩(总体)X的k阶原点矩：vk(X) = E(Xk) (总体)X的k阶中心矩：uk(X) = EX-E(X)k1. (V)只要是随机变量，都能计算期望和方差。(X )2. 期望反映的是随机变量取值的中心位置，方差反映的是随机变量取值的分散程度3. 方差越小，随机变量取值越分散，方差越大越集中。(X )4. 方差的实质是随机变量函数的期望。(V)5对于任意的X,Y,都有= + 成立。(X)第四章正态分布一、正态分布的定义1. 正态分布1 -X卿，沪)概率密度为./(X)= e 27 ，一X 0，以X轴为渐近线；(5)当固定(7,改变/的大小时，f(x)的图形不变，

13、只是沿肴V轴作平移变化.（6）当固定/z,改变rr的大小时，/（X）对称轴不变而形状在改变，7越小，图形越高越瘦；tr越大，阁形越矮越胖.2. 标准正态分布1 -互当/ = O，C7 = 1时，1#（0，1），其密度函数为2，-X(-x) = 1 - 0(x).3. 正态分布与标准正态分布的关系定理：若XN（jU，（72），则X/d7V(0,1)定理：设 7V（/z，72），则 P（xl - X2）-中（1一二、正态分布的数字特征 +oo （邱?2设#（/，？），则 1.期望砌=A E（X）= j2e 2（7 dX = 1 +oo Jx-P）22. 方差/O =72 2j2 dx = a23.

14、 准差（7（y）= 7三、正态分布的性质1. 线性性.设U（AC72），则r =以+从+冲，W ），（办关0）;2. 可加性.设且xZ州/，），#（久，4），和丫相互独立，贝1nnn叭认，況Z = X + Y - N（jUx +juy,（7+（y2y）3.线性组合性设州/ooE -1=1 4n(rx1 上-)1=fX e 2a dt 2(7 J-定理解释：若，满足上述条件，当n充分大时，有(1)1=14n(r崖(0，l); (2)：: AN(njn, ncr2).(3)X = -yXANn i=i2. 棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理1 ww% D设）；5（，p），则npyjnpl-p、-oo(t

15、-p)2crdt定理解释：若&50，；?），当/?充分大吋，宵二KO，1）; AN（np，np（y-p、i若欠；V（O，1），y ；V（2，1），则 Z r 7V（2,2）.（ X）2. 若X TV（/z，72），则 = （ 7 ）3. 设随机变量X与Y均服从正态分布： M（A，42），y 鄰,52） 而门=尸0/z + 5），贝lj（ B ）A对任何实数/,都有5.对任何实数/，都有PA C.只对/的个别值，才有A = p2 D.对任何实数/，都有门门.4.已知连续随机变量J的概率密度函数为/（x）x2+2x-1则I的数学期望为_1_； Z的方差为1/2 .第五章数理统计的基本知识一、总体个

16、体样本1. 总体：把研究对象的全体称为总体（或母体）.它是一个随机变量，记X2. 个体：总体中每个研宂对象称为个体.即每一个可能的观察值.3. 样本：从总体J中，随机地抽取7?个个体U2称为总体J的容量为7?的样本。注：（1）样本01，4，.，人,）是一个维的随机变量；（2）本书中提到的样本都是指简单随机样本，其满 足2个特性：代表性：,，心，。中每一个与总体T有和同的分布.独立性：y2，A；,是相互独立的随 机变量.4.样本（4,4,，人）的联合分布设总体J的分布函数为，（%）,则样本（4,4，X,）的联合分布函数为FGw.，；v,）=设总体的概率密度函数为/，则样木的联合密度函数为/0W2

17、,，&）=（2）设总体J的概率函数为pW，U = 0，l，2，.），贝幌本的联合概率函数为p（x,，x2，x,） = fP（x,）;=1二、统计量1. 定义不含总体分布中任何未知参数的样本函数，人）称为统计量，咖，%2，X。）是gCYA，人）的 观测值.注：（1）统计量g（U2，,Zn）是随机变量；（2）统计量gPG為，人）不含总体分布中任何未知 参数；（3）统计量的分布称为抽样分布.2. 常用统计量_ 1 w I n（1）样本矩：样本均值；其观测值. 可用于推断：总体均值 /=! i=l万.样本方差其观测值n-rX（xz-x）2n-iX：nx2可用于推断：总体方差m.样本标准差5* =n-1

18、i=in-i其观测值样本阶原点矩n i=l样本A阶中心矩ukE2-/=lnx2其观测值 Vk其观测值Z=1注：比较样本矩与总体矩，如样本均值又和总体均值玖X);样本方差S2与总体方差样本k阶原点矩与总体k阶原点矩芯(1)，(众二1，2,)，样本k阶屮心矩1 Uk=-Xi -奸，(h i，2,)与总体k阶原点矩E (=1，2,).n i=i前者是随机变量，后者是常数.(2)样本矩的性质：设总体X的数学期望和方差分别为= = X,s为样本均值、样本方差，则1 E(X) = A； 2 D(X)=丄j2; 3 E(S2) =(t2.3. 抽样分布：统计量的分布称为抽样分布.三、 3大抽样分布1. /2

19、分布：定义.设，相互独立，且义#（0，1），7: = 1，2，-，贝1 = x + x22+- + x2kxk注：若；v（o,i），则2 y（i）.（2） 性质（可加性）设/严和相互独立，且么2z2%），z22Z2（h），则W+/22/2（M2）.2. f分布： 设/与/相互独立，且Z#（0，1），I义2（幻，则狀）.4v/k注：6分布的密度图像关于戶0对称；当n充分大时，t分布趋向于标准正态分布N（O，1）.X / k3. 厂分布：定义.设J与/相互独立，且JV/2（久），卜/2（2），则厂= 厂（介1人）.（2）性质.设（，2），则1/U02為）.四、 分位点定义：对于总体T和给定的Q（O

20、6Z1），若存在;使得户02） = 6则称么为乂分布的a分位点。 注：常见分布的分位点表示方法（1）义2（）分布的汉分位点，:（）；（2） Z（幻分布的汉分位点匕（幻，其性质：-a （k） = -ta（k）；（3） F真介2），分布的6Z分位点Fa队，介2），其性质Uc，k2）= f （八）；（4） N（0, 1）分布的汉分位点心，有心）= 1-P（X）= 1-（D（人），第六章参数估计一、 点估计:设（Xi,I2，,Z）为来自总体X的样木，0为X中的未知参数，（W.&）为样木值，构造某个统计量，,）作为参数沒的估计，则称么，,）为沒的点估计量，知|，x2，X,）为沒的估 计值.2.常用点估计

21、的方法：矩估计法和最大似然估计法.二、 矩估计法1. 基本思想：用样本矩（原点矩或中心矩）代替相应的总体矩.2. 求总体X的分布中含的m个未知参数，的矩估计步骤： 求出总体矩，即（f）或MUWV = 1，2,；用样本矩代替总体矩，列出矩估计方程:= EX-E(X)k = l -3 解上述方程（或方程组）得到0，么，么的矩估计量为：= 0，02,，氏,的矩估计值为：義=Oixx,x2,-,xn）,i = 1,2,/3. 矩估计法的优缺点：优点：直观、简单；只须知道总体的矩,不须知道总体的分布形式.缺点：没有充分利用总体分布提供的信息；矩估计量不具有唯一性；可能估计结果的精度比其它估 计法的低三、

22、最大似然估计法1. 直观想法：在试验中，事件A的概率AA）最大，则A出现的可能性就大；如果事件A岀现了，我 们认为事件A的概率最大.2. 定义设总体J的概率函数或密度函数为PU，的（或/U，的），其屮参数0未知，则X的样本合概率函数（或联合密度函数）L） = Yp（Xi）（或L（的= /W）/=1 /=1称为似然函数.3. 求最大似然估计的步骤：求似然函数离散：L（3） = YIp 义连续：=;=1 /=|（2） 求ln（的和似然方程:3ln（6） =（），, = 1，2,，zuOj（3） 解似然方程，得到最人似然估计值：4 = （x, x2,-sxZJ）, / = 1,2,/?（4）最后得到

23、最大似然估计量：3, =4. 最大似然估计法是在各种参数估计方法中比较优良的方法，但是它需要知道总体X的分布形式.四、 估计量的评价标准1无偏性:设冷=4，,Xw）是未知参数沒的估计量,若（和=0，则冷= （4，,Xw）是汐的无偏估 计量，6 =冷（X,.,x）是权的无偏估计值。有效性:设么二:义一和氏二义义是未知参数权的无偏估计量，若晚、Dd、= e，则称么比氏有效。1. 若（,，义2，1）是来自总体J的样本，则,，12，兑相互独立.（7）2. 不含总体X的任何未知参数的样本函数g（A，2,，A）就是统计量.（V ）3. 样本矩与总体矩是等价的。（X ）4. 矩估计法的基本思想是用总体矩代替样本矩，故矩估计量不唯一.（X ）设总体 IMA，r2），其中A，cr2未知，则估计量 fi = X, 一I）2分别是，的无偏估计量.（X ）H f=i