概率论与数理统计复习提纲doc.docx

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1含关系：

AcB，

2等价关系：

A=B，

3互不相容（互斥）：

④对立关系（互逆）:

A,事件3发生事件A必不发生，反之也成立;

互逆满足＜

A

AA=0

第一章随机事件及其概率

一、随机事件及其运算

1.样本空间、随机事件

1样木点：

随机试验的每一个可能结果，用仍表示；

2样本空间：

样本点的全集，用Q表示；

注：

样本空间不唯一.

3随机事件：

样本点的某个集合或样本空间的某个子集，用A，B，C，…表示;

4必然事件就等于样木空间；不可能事件（0）是不包含任何样木点的空集；

5基本事件就是仅包含单个样本点的子集。

2.事件的四种关系

事件A发生必有事件B发生；

事件A发生必有事件B发生，且事件B发生必有事件A发生；AB=0，事件A与事件B—定不会同时发生。

注：

互不相容和对立的关系（对立事件一定是互不相容事件，但互不相容事件不一定是对立事件。

）

3.事件的三大运算

1事件的并：

AuB，事件A与事件B至少有一个发生。

若49=0，则

2事件的交：

AnB^AB,事件A与事件B都发生；

3事件的差：

A-B，事件A发生且事件B不发生。

4.事件的运算规律

1交换律：

AuB=BuA,AB=BA

2结合律：

==

3分配律：

^u（5nC）=（?

fu5）n（^uC）,?

Jn（5uC）=（?

Jn5）u（/JnC）

④德摩根（DeMorgan）定律:

A

对于n个事件，有

nn

LJ4=门4,

nn

A4-U4

二、随机事件的概率定义和性质

1.公理化定义：

设试验的样本空间为Q,对于任一随机事件JG4cQ）,

都有确定的实值P（A），满足十*列性质：

（1）非负性：

P（A）>0；

（2）规范性：

P（Q）=1;

kk

（3）有限可加性（概率加法公式）：

对于A个互不相容事件為，冯…，小，有=

/=1z=i

则称P（A）为随机事件A的概率.

2.概率的性质

①P（Q）=1,尸（0）=0②尸（]）=1-P（A）

3若Jc5,贝ljP（A）

4P（Au5）=P（d）+P（B）-P（AB）

P（AuB

注：

性质的逆命题不一定成立的.如若尸04）2尸（5）,贝Ud（=5。

（X）若PG4）=0,贝以=0。

（X）

三、古典概型的概率计算

古典概型：

若随机试验满足两个条件：

①只有有限个样本点，

②每个样本点发生的概率相同，则称该概率模型为古典概型，p（a）=L。

n

典型例题：

设一批产品共/V件，其中有件次品，从这批产品中随机抽取77件样品，则

（1）在放回抽样的方式下，取出的/H牛样品中恰好有/〃件次品（不妨设事件4）的概率为

Nn

尸⑷

（2）在不放回抽样的方式下，取出的/?

件样品中恰好有件次品（不妨设事件A）的概率为

Cn,

四、条件概率及其三大公式

1•条件概率：

P（AB）=P（A）P（B|A）=P（B）P（A\B）

p（4為…4,）=p（4）尸（為14）尸（為14為）•••p（4,14…4,_,）

3.全概率公式：

若我，B2，…，BJ两足\」尽=Q，忍义=0，kj，则

1=

P（A）=YPWP^A\Bi^

/=1

4.贝叶斯公式：

若事件S,，S2，…，氏和/f如全概率公式所述，且P（A）>0,

则P（Bi\A）=-

~n.

/=i

五、事件的独立1.定义：

若PG4S）=PG4）P（5），则称A，B独立.

推广:

若4,為，…，4:

相互独立，尸（4…O户（4）…户（4,）

2.在｛j，5｝，p，巧，p，5｝，｛］，司四对事件中，只要有一对独立,则其余三对也独立。

P（AB）=P（A）P（B）

3.三个事件A,B，C两两独立：

P（BC）=P（B）P（C）

P（AC）=P（A）P（C）

注：

Z7个事件的两两独立与相互独立的区别。

（相互独立=>两两独立，反之不成立。

）

4.伯努利概型：

P人k）=Cknpkqn'k二似工…，n，q=X-P.

1.事件的对立与互不相容是等价的。

（X）

2•若P（//）=0，则J=0。

（X）

3.若尸⑶=0.1，P（B）=0.5,则尸（J5）=0.05。

（X）

4.A,B,C三个事件恰有一个发生可表示为++i应C。

（V）

5.n个事件若满足VZ，V（4O戸（4）八為），则n个事件相互独立。

（X）

6.当时,有P（B-A）=P（B）-P（A）。

（V）

第二章随机变量及其分布

一、随机变量的定义：

设样本空间为Q，变量^=；V（6y）为定义在£1上的单值实值函数，则称Y为随

机变量，通常用大写英文字母，用小写英文字母表示其取值。

二、分布函数及其性质

1.定义••设随机变量X,对于任意实数xe7?

函数F（x）二称为随机变量X的概率分布

（1）J是离散随机变量，并有概率函数pU/V=l，2，...，则有

Xj

（2）X连续随机变量，并有概率密度f（x），KlJ=P（X

W—oo

2.分布函数性质：

（1厂（%）是单调非减函数，即对于任意；〈%2,^F（x,）

（20

x—>-oox—>+oo

（3离散随机变量/，ACv）是右连续函数，即F（X）=F（X+0）;连续随机变量X,在（―,+〜）上处处连续。

注：

一个函数若满足上述3个条件，则它必是某个随机变量的分布函数。

三、离散随机变量及其分布

1.定义.设随机变量J只能取得冇限个数值;v,，;v2，…，&,或可列无穷多个数值;q，;v2，…，&，…，且

P（X=Xi）=Pi（z=l,2,...）,则称/为离散随机变量，AU=l,2，...）为Z的概率分布，或概率函数（分布律）.

注：

概率函数A的性质：

⑴A々（），/=1，2,…；

（2）[p,.=l

審

/

2.儿种常见的离散随机变量的分布：

（1）超几何分布，X〜H（N，M，n）,

P{X=k}=

=0，1，2,…，w

（2）二项分布，X〜B（n.，p）,P〈x=k）=cknPk（i-Prk々=o，i，…,n当n=l时称X服从参数为p的两点分布（或0—1分布）。

服从二项分布

77

若Xz.（i=l,2,n）服从同一两点分布且独立，则

（3）泊松（Poisson）分布，X〜P

（2），

P{X=k}=

k\

（义〉0），仑=0,1，2,...

四、连续随机变量及其分布

1.定义.若随机变量J的取值范围是某个实数区间人且存在非负函数f（x）,使得对于任意区间（a，b]c/，布

=j/0）6/x，则称7为连续随机变量；函数r~称为连续随机变量7的概率密度函数，简称概率密度。

注1:

连续随机变量/任取某一确定值的x（）概率等于0,即PG¥=*o）=O;

fX2

注2:

P（x,

2.概率密度/6c?

的性质：

性质1:

/（X）》O;性质2:

ffMdx=1.

J—oo

注1:

一个函数若满足上述2个条件，则它必是某个随机变量的概率密度函数。

注2:

当又1<又2时，^（-^1

3.几种常见的连续随机变量的分布:

⑴均匀分布X〜U、a，b、，-fM=

a

0，x

F（x）=<-~,a

1，x>b.

（2）指数分布〜e（A）,A〉0

x>0x<0

F（X）=

1-ex〉0,

0，x<0.

⑶正态分布x-N（^C72）,C7>0

F（x）=

—oo

少-"）2

fM=——e2（j2，

yl2兀（J

1.概率函数与密度函数是同一个概念。

（X）

2.当#充分大时，超几何分布//U，M，7V）可近似成泊松分布。

（X）3•设X是随机变量，有P（a

（X）

4•若义的密度函数为/（x）=cosx，xe[0，|l,则户（0

COSZ冰.（x）第三章随机变量的数字特征

一、期望（或均值）

00

离散型

1.定义••EX，EX

k=\

pv•⑴也连续型

J—OO

（1）£（C）=C,（C为常数）

（2）

2.期望的性质:

E（CX）=CE（X）

（3）E（X±Y）=E（X）±E（Y）

（4）若X与Y相互独立，贝阳（\¥）=£（幻£（丫），反之结论不成立.

X离散型

3.随机变量函数的数学期顰

E[g（x）]=<

广+00

fg（x）f（x）dx,JV连续型

4.计算数学期望的方法

（1）利用数学期望的定义；

（2）利用数学期望的性质；

常见的基本方法：

将一个比较复杂的随机变量Z拆成有限多个比较简单的随机变量Z•之和，再利用期望性质求得I触腥.

（3）利用常见分布的期望；

Z[;c-E（X）]2A•，离散型k方差D（X）=E[X-E（X）]2=li

f+OYv-£（X）]2/（x）也，连续型

J—OO

注：

Z?

（X）=£[T-£（X）]2>0;它反映了随机变量T取值分散的程度，如果/XX）值越大（小），表示T取值越分散（集中）。

2.方差的性质

（1）D（C）=0,（C为常数）

（2）D（CX）=C2D（X）

（3）若X与Y相互独立，贝IJD（X±Y）二D（X）+D（Y）

⑷对于任意实数CE7?

有E（X-C）2^D（X）

当且仅当C=£（X）时，£（JV-C）2取得最小值DPO.

（5）（切比雪夫不等式）：

设T的数学期望玖力与方差存在，对于任意的正数£，有

p（\x-Em\>£）

P（\X'E（X）\<£）>1-

D（X）

3.计算

⑴利用方差定义；⑵常用计算公式/）（幻=恥V2）-WUO]2.⑶方差的性质；（4）常见分布的方

差

注：

常见布的期望与方差

1.若/〜//（/?

，；?

），则E（A）=np,=npq\2.若X〜P（/l），则£（X）=D（A"）=乂；

2

3.•若X〜U{a，b），贝IJECY）=¥，Z）GY）=A^;4.若Z〜e（A），则£（JQ=£>（义）=4;

5.若X〜聯，沪）,则£（%）=//，D（X）=ct2.

三、原点矩与中心矩

（总体）X的k阶原点矩：

vk（X）=E（Xk）（总体）X的k阶中心矩：

uk（X）=E[X-E（X）]k

1.

（V）

只要是随机变量，都能计算期望和方差。

（X）

2.期望反映的是随机变量取值的中心位置，方差反映的是随机变量取值的分散程度

3.方差越小，随机变量取值越分散，方差越大越集中。

（X）

4.方差的实质是随机变量函数的期望。

（V）

5•对于任意的X,Y,都有=+成立。

（X）

第四章正态分布

一、正态分布的定义

1.正态分布

1-

⑴X〜卿，沪）概率密度为./（X）=e2<7，一⑺

（卜A）2

F（x）=—fe2a~dt

^2710J-°°

注：

F（a）=|.

正态密度函数的几何特性：

（1）曲线关于％=//对称；⑦当％="吋，/（X）取得最大值-

yj27T（7

⑶当X4±oo时，/（X）->0，以X轴为渐近线；

（5）当固定（7,改变//的大小时，f（x）的图形不变，只是沿肴V轴作平移变化.

（6）当固定/z,改变rr的大小时，/（X）对称轴不变而形状在改变，<7越小，图形越高越瘦；tr越大，阁形越矮越胖.

2.标准正态分布

1-互

当//=O，C7=1时，1〜#（0，1），其密度函数为2，-°°

（3）d>（-x）=1-0（x）.

3.正态分布与标准正态分布

的关系

定理：

若X〜N（jU，（72），则

X/d

〜7V（0,1）

定理：

设％〜7V（/z，<72），则P（xl<^-X2）-中（1一

二、正态分布的数字特征

{+oo（邱?

2

设#（//，？

），则1.期望砌=AE（X）=~j2^^e2（7dX=^

1+ooJx-P）2

2.方差/O=<722

3.准差（7（y）=<7

三、正态分布的性质

1.线性性.设U（AC72），则r=以+从〜^^+冲，W），（办关0）;

2.可加性.设且xZ〜州/^，°^），^〜#（久，4），和丫相互独立，贝1」

n

n

n

〜叭［认，［況

Z=X+Y-N（jUx+juy,（7^+（y2y）\

3.线性组合性设^〜州/<，C7,2），z=l,2,...,n,K相互独立，则

四、中心极限定理

1.独立同分布的中心极限定理

设随机变量4，％2，".，％,,，".相互独立，服从相冋的分布，且£«.）=//，U，…，n

则对于任何实数•¥，存limP

W—>oo

E-

1=1

4n（r

1上-"）1

=—fXe2a'dt<2^（7J-°°

定理解释：

若，…，满足上述条件，当n充分大时，有

（1）

1=1

4n（r〜崖（0，l）;

（2））：

:

〜AN（njn,ncr2）.

（3）

X=-yX^AN^

ni=i

2.棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理

1•ww%D

设）；〜5（«，p），则

np

yjnp{l-p、

-oo

（t-p）

2cr

dt

定理解释：

若&〜50，；?

），当/?

充分大吋，宵

⑴二~KO，1）;⑵［〜AN（np，np（y-p、、

i•若欠〜；V（O，1），y〜；V（2，1），则Z—r〜7V（—2,2）.（X）

2.若X~TV（/z，<72），则~~~—=（7）

3.设随机变量X与Y均服从正态分布：

M（A，42），y〜鄰,52）而门=尸0¥<"—4）;厂2=/\y>/z+5），贝lj（B）•

A对任何实数//,都有5.对任何实数//，都有P'AC.只对//的个别值，才有A=p2\D.对任何实数//，都有门〉门.

4.已知连续随机变量J的概率密度函数为/（x）

—x2+2x-1

则I的数学期望为_1_；Z的方差为

—1/2.

第五章数理统计的基本知识

一、总体个体样本

1.总体：

把研究对象的全体称为总体（或母体）.它是一个随机变量，记X

2.个体：

总体中每个研宂对象称为个体.即每一个可能的观察值.

3.样本：

从总体J中，随机地抽取7?

个个体U2称为总体J的容量为7?

的样本。

注：

（1）样本0¥1，4，...，人,）是一个^维的随机变量；

（2）本书中提到的样本都是指简单随机样本，其满足2个特性：

①代表性：

％,，心，…，％。

中每一个与总体T有和同的分布.②独立性：

y2，…，A；,是相互独立的随机变量.

4.样本（4,4,…，人）的联合分布

设总体J的分布函数为，（%）,则样本（4,4，…，X,,）的联合分布函数为FGw..，；v,,）=

⑴设总体的概率密度函数为/⑴，则样木的联合密度函数为/0W2,…，&）=

（2）设总体J的概率函数为pW，U=0，l，2，".），贝幌本的联合概率函数为p（x,，x2，…，x,,）=fP（x,）;

'•=1

二、统计量

1.定义

不含总体分布中任何未知参数的样本函数，…人）称为统计量，咖，%2，…，X。

）是gCYA，…人）的观测值.

注：

（1）统计量g（U2，…,Zn）是随机变量；

（2）统计量gPG為，…人）不含总体分布中任何未知参数；

（3）统计量的分布称为抽样分布.

2.常用统计量

_1wIn

（1）样本矩：

①样本均值；其观测值.可用于推断：

总体均值/=!

i=l

万⑵.

②样本方差

其观测值

n-\r

X（xz-x）2

n-i

X：

nx2

可用于推断：

总体方差

m.

③样本标准差5*=

n-1

i=i

n-i

其观测值

④样本々阶原点矩

ni=l

⑤样本A阶中心矩

uk

E^2-

nx2

其观测值Vk

其观测值

Z=1

注：

比较样本矩与总体矩，如样本均值又和总体均值玖X）;样本方差S2与总体方差

样本k阶原点矩

与总体k阶原点矩

芯（1々），（众二1，2,•••）•，样本k阶屮心矩

1—

Uk=-^Xi-奸，（hi，2,…）与总体k阶原点矩E⑷］\（々=1，2,…）.

ni=i

前者是随机变量，后者是常数.

（2）样本矩的性质：

设总体X的数学期望和方差分别为==X,s为样本均值、样本方差，则

1°E（X）=A；2°D（X）=丄＜j2;3°E（S2）=（t2.

3.抽样分布：

统计量的分布称为抽样分布.

三、3大抽样分布

1./2分布：

定义.设，…，相互独立，且义〜#（0，1），7:

=1，2，"-，々，贝1』

^=x^+x22+-+x2k~x\k}

注：

若％〜；v（o,i），则％2〜y（i）.

（2）性质（可加性）

设/严和％相互独立，且么2〜z2%），z22〜Z2（h），则W+/22〜/2（M々2）.

2.f分布：

设/与/相互独立，且Z〜#（0，1），I"〜义2（幻，则〜狀）.

4v/k

注：

6分布的密度图像关于戶0对称；当n充分大时，t分布趋向于标准正态分布N（O，1）.

X/k

3.厂分布：

定义.设J与/相互独立，且JV〜/2（久），卜/2（々2），则厂=■〜厂（介1人）.

（2）性质.设^（々，2），则1/U02為）.

四、分位点

定义：

对于总体T和给定的Q（O<6Z<1），若存在;使得户0¥2\）=6^则称么为乂分布的a分位点。

注：

常见分布的分位点表示方法

（1）义2（々）分布的汉分位点，:

（々）；

（2）Z（幻分布的汉分位点匕（幻，其性质：

^\-a（k）=-ta（k）；

（3）F真介2），分布的6Z分位点Fa队，介2），其性质Uc'，k2）=f（八）；

（4）N（0,1）分布的汉分位点心，有心）=1-P（X<〜）=1-（D（人），

第六章参数估计

一、点估计:

设（Xi,I2，…,Z„）为来自总体X的样木，0为X中的未知参数，（W.&）为样木值，构

造某个统计

量，…，％,,）作为参数沒的估计，则称么，…，％,,）为沒的点估计量，知|，x2，…，X,,）为沒的估计值.

2.常用点估计的方法：

矩估计法和最大似然估计法.

二、矩估计法

1.基本思想：

用样本矩（原点矩或中心矩）代替相应的总体矩.

2.求总体X的分布中含的m个未知参数…，^的矩估计步骤：

①求出总体矩，即£（f）或MUW]V=1，2,…；②用样本矩代替总体矩，列出矩估计方程:

=E[X-E（X）]\k=l^-

3解上述方程（或方程组）得到0，么，…，么的矩估计量为：

=

④0，02,…，氏,的矩估计值为：

義=Oi{xx,x2,''-,xn）,i=1,2,•••,///

3.矩估计法的优缺点：

优点：

直观、简单；只须知道总体的矩,不须知道总体的分布形式.

缺点：

没有充分利用总体分布提供的信息；矩估计量不具有唯一性；可能估计结果的精度比其它估计法的低

三、最大似然估计法

1.直观想法：

在试验中，事件A的概率AA）最大，则A出现的可能性就大；如果事件A岀现了，我们认为事件A的概率最大.

2.定义设总体J的概率函数或密度函数为PU，的（或/U，的），其屮参数0未知，则X的样本

合概率函数（或联合密度函数）L^）=Y[p（Xi^）（或L（的=]^[/W）

/=1/=1

称为似然函数.

3.求最大似然估计的步骤：

⑴求似然函数离散：

L（3）=YIp^^义连续：

=

;=1/=|

（2）求ln£（的和似然方程:

3ln^（6＞）=（），,•=1，2,…，"z

uOj

（3）解似然方程，得到最人似然估计值：

4=^（x,,x2,--sxZJ）,/=1,2,•••,//?

（4）最后得到最大似然估计量：

3,=

4.最大似然估计法是在各种参数估计方法中比较优良的方法，但是它需要知道总体X的分布形式.

四、估计量的评价标准

1•无偏性:

设冷=^4，…,Xw）是未知参数沒的估计量,若£（和=0，则冷=々（4，…,Xw）是汐的无偏估计量，6=冷（X,,.",x„）是权的无偏估计值。

有效性:

设么二^:

^…义一和氏二^义^…义^是未知参数权的无偏估计量，

若晚、＜Dd、=e，则称么比氏有效。

1.若（％,，义2，…，1„）是来自总体J的样本，则％,，12，…，兑相互独立.（7）

2.不含总体X的任何未知参数的样本函数g（A\，％2,…，A\）就是统计量.（V）

3.样本矩与总体矩是等价的。

（X）

4.矩估计法的基本思想是用总体矩代替样本矩，故矩估计量不唯一.（X）

设总体I〜MA，r2），其中A，cr2未知，则估计量fi=X,•一I）2分别是"，的无偏估计量.（X）

Hf=i