1、人教版新课标语文教案 选修21教案新课标高中数学人教A版选修21全套教案人教版新课标语文教案 【选修2-1教案】新课标高中数学人教A版选修2-1全套教案 导读:就爱阅读网友为您分享以下“【选修2-1教案】新课标高中数学人教A版选修2-1全套教案”的资讯,希望对您有所帮助,感谢您对的支持!z P A ?a M O bN B Q 图1 公式(1)可以利用向量的内积来加以证明: 以Q为坐标平面,直线MN为y轴,如图1建立直角坐标系。 记xOz平面与平面P的交线为射线OD,则OD?MN,得 ?AOD? ? 2 ?,?DOx?,?DOz? ? 2 ?。 ? 分别沿射线OA、OB的方向上作单位向量a,b,
2、则a,b?。 ? 由计算知a,b的坐标分别为 (sin?cos?,cos?,sin?sin?),(sin?,cos?,0), 于是, ? ?a?b ?a?b?cos?cos?sin?sin?cos?。 cos?|a|?|b| 公式(1)在立体几何计算二面角的平面角时是有用的。我们来介绍如下的两个应用。 例1立方体ABCD-A1B1C1D1的边长为1,E、F、G、H、I分别为A1D1、A1A、A1B1、B1C1、B1B的中点。 求面EFG和面GHI的夹角?的大小(用反三角函数表示)。 解 由于图2中所画的两平面EFG和GHI只有一个公共点,没有交线,所以我们可以将该立方体沿AB方向平移1个单位。
3、这样就使平面EFG平移至平面HIG?。而?就是二面角G-IH-G?(见图3)。利用公式(1),只要知道了?,?和?的大小,我们就能求出?。 A1 图2 由已知条件,?GHI和?HIG?均为等边三角形,所以? ? 3 ,而 ?GIG? ? 2 。因此, DAC图3 cos ? ?coscos?sinsincos?, 23333 113?cos?。 2222 ? 即 0? 解得 11 cos?, ?arcc。s 33 当然,在建立了直角坐标系之后,通过计算向量的外积可计算出两平面的法向量, 利用法向量同样也可算出夹角?来。 例2计算正十二面体的两个相邻面的夹角?的大小。 解 我们知道正十二面体的每
4、个面都是大小相同的正五边形,且在正十二面体的每个顶点上均有3个面围绕。设P和Q是两个相邻的面,MN是它们的交线(如图4),则公式(1)中的?,?,?分别为: ?AMN, ?BMN, ?AMB, 因此它们均为正五边形的内角。所以 ?108?。 图4 所以,由公式(1)知 cos108?cos108?cos108?sin108?sin108?cos?, 或 cos? cos108?(1?cos108?) sin2108? ? 5。 5 因此,?arccos ,或?116?33?54?。 5 如果不使用公式(1),要求出例2中的夹角?的大小在计算上要复杂很多。 利用例2的结果,我们可以容易地计算出单
5、位棱长正十二面体的体积V。 设单位棱长正十二面体的中心为O,则该十二面体可以切割成十二个全等的正五棱锥,每个五棱锥以该多面体的一个面为底面、以O为其顶点。设该正五棱锥为?,从而可知: V?12V?。 再设?的底面积为S、高为h,设O?为单位边长正五边形(即?的底)的中心,A、B为该五边形的两个相邻的顶点,H为AB的中点,|O?H|?a,则 11a5 tan?O'AH?tan54?, S?5?tan54?。 2224 h? 仍设?为正十二面体两相邻面的夹角,则?tan。所以 a21?h?tan54?tan。 22 但是, ?O'AH?54?, a? tan ? 2 ? 1?cos5?1 ?,
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