三角形全等的判定分类练习.docx

1、三角形全等的判定分类练习1. 三角形全等的判定(角边角)【教材研学】一、三角形全等的条件“角边角”（ ASA） 两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写为“角边角”或“ASA”） 由此我们可以看出，对于两个三角形，只要有两个对应角及其所夹的边相等，则这两个三角形全等二、探究活动问题：有两角及其中一角的对边对应相等，这样两个三角形是否全等呢?分析：如图，假设A=A1，B=Bl，BC=B1C1，能否判断ABCA1B1C1呢? 显然，由三角形的内角和定理我们可以知道如果A=A1，B=B1， 则必有C=C1这样，就可得到ABC和A1B1C1中有两角和一夹边对应相等，由此可判定ABCA1B1C

2、1 结论：事实上，知道两角及其中一角的对边对应相等也可以判断两个三角形全等，这一结论我们简称为“角角边(AAS)”【点石成金】例题 如图，已知：AB=AC，D、E两点分别在AB，AC上，且AD=AE，求证：BDFCEF分析：结论要证的两个三角形BDF与CEF中，有一组对角相等，由已知条件可推得，BD=CE，只要证明出它们的另一对角C与B相等，就可证出结论了，为了证明C=B，可以设法证明ACD与ABE全等，而这由已知不难证得 证明： 在ABE和ACD中， ABEACD。C=B AB=AC，AD=AE， BD=CE 在BDF和CEF中， BDF CEF 名师点金：本题的解题关键是证明ABEACD

3、，得到C=B，注意书写格式要规范：【基础练习】1任画一个RtABC，使C=90再画一个RtABC，使BCBC，ABAB把画好的RtABC剪下，放到RtABC上你会得出什么结论?2如图所示，1=2，ABC=DCB求证：AB=DC.3如图所示，12，3=4，请你说明ABCABD的理由。一、基础巩固1判断满足下列条件的两个直角三角形是否全等若全等，画“”号；若不全等，画“”号. (1)一个锐角和这个锐角的对边对应相等( ) (2)一个锐角和锐角相邻的直角边对应相等( ) (3)一个锐角和一条斜边对应相等 ( ) (4)两直角边对应相等 ( ) (5)两锐角对应相等 ( )2如图所示，要证明ACF B

4、DE，根据给定的条件和指明的依据，将应当添加的条件填在横线上(1)AC=BD，ACBD，_(ASA)；(2)AC=BD，ACBD，_(AAS)；(3)CE=DF_，_(ASA)；(4)ACBD，AFEB，_(AAS)3如图所示，已知AB、CD相交于点O，并且ACOBDO，CEDF求证：CE=DF 4如图所示，已知1=2， 3=4求证：AB=AC5如图所示，已知ABDC，AB=CD，BF=DE求证：AECF，AFCE二、探究提高6如图所示，已知EFAD于E，CBAD于B，EF=BC，AE=BD求证：C=F. 7如图所示，ABC是等腰直角三角形，即AC=BC，BAC=B=45，ACB=90AD是B

5、C边上的中线，过C作AD的垂线，交AB于点E交AD于点F，试判断ADC与BDE的大小关系 三、拓展延伸8如图，已知BD、CE分别是ABC的边AC和AB边上的高，点P在BD的延长线上，BP=AC，点Q在CE上，CQ=AB求证：APAQ四、中考模拟9（2005四川南充）如图，正方形ABCD的边长为1 cm，AC是对角线，AE平分BAC，EFAC求证：BE=FC2. 三角形全等的判定(SSS,HL)【教材研学】一、三角形全等的条件一“边边边”（ SSS） 三边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边边边”或“SSS”） 本定理是根据我们的探究问题推出的，它的原理是我们以后要学的三角形的稳定性，因为三

6、角形具有稳定性故三边确定，三角形形状确定，两个三边确定的三角形全等应用此定理解题注意找对公共边与对应边。 二、三角形的稳定性 一个三角形中，只要其三边的长度一定，这个三角形的形状、大小就完全确定了，三角形的这个性质叫做三角形的稳定性 三角形的稳定性应用很广，如屋顶的人字架就是利用了三角形的稳定性。 三、直角三角形全等的条件“斜边、直角边” （HL） 斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(可以简写成“斜边、直角边”或“HL”) 另外：“斜边、直角边”是判定两个直角三角形全等的条件，不适用于一般三角形也不能因为学习了“斜边、直角边”，而认为只有该条件才能说明两个直角三角形全等，前面的“SS

7、S”、“SAS”、“ASA”或“AAS”也都能证明两个直角三角形全等，因此证直角三角形全等的条件比一般三角形全等的条件多一个“HL”【点石成金】例题 如图，AB=AC，DB=DC，EB=EC请写出图中所有的全等三角形，并选一个说明理由解：ABDACDABEACEDBE DCE 以ABDACD为例： 在ABD与ACD中， ABDACD(SSS)名师点金：在解决本题时别忽视了公共边这个条件。找全等三角形时要全面，勿遗漏 例2如图，AB=AE，BC=ED，AFCD，B=E。求证：F是CD的中点 分析：要证F为CD中点，即FC=FD，因此应作辅助线使它们分别在两个不同的三角形中，用三角形全等来完成，所

8、以连接AC、AD通过证ABCAED得到ACFADF的条件 证明：连接AC、AD，如图，在ABC和AED中， 所以ABCAED(SAS)所以AC=AD(全等三角形的对应边相等) 因为AFCD，所以AFC= AFD=90，即ACF和ADF都为直角三角形 在RtACF和 RtADF中， 所以RtACFRtADF(HL) 所以CF=DF(全等三角形的对应边相等) 名师点金：这里采用了“分析法”的证明方法，即从结论入手找出需要的条件，逐步向已知靠拢当然也可由此反回去用综合法【基础练习】1 如图所示是小明制作的风筝，他根据图中DE=DF，EH=FH，不用度量，就知道E=F，请用你所学的知识给予证明?【升级

9、演练】一、基础巩固:1已知，如图，AD=BC，AE=FC，DF=BE。求证：B=D2如图所示是某人设计的风筝模型，经过测量知：AB=DC，AC=DB由此你能断定A=DB=C吗?若能，作出证明；若不能，说明理由4阅读下列题目： 如图所示，已知ABC中，B=C求证：AB=AC 证明：作BAC的平分线AD，交BC于D由BAD=CAD，BC，AD=AD，得BADCAD所以AB=AC. 试问：（1）若作ADBC于D，AB=AC是否成立?若成立，写出证明过程；若不成立，说明理由； （2）若作BC边上的中线AD，AB=AC是否成立?请说明理由； （3）若AB=AC，则B=C是否成立?请说明理由 二、探究提高

10、7如图所示，有块三角形厚铁板，为了实际生产需要，工人师傅要把MAN平分，现在他手边只有一把尺子和一根细绳，你能帮工人师傅想个办法吗?并说说你的根据N8如图（1）所示，ABC中，BAC=90AB =AC，AE是过A的一条直线，且B、C在AE的异侧，BDAE于D， CEAE于E（1）求证：BD=DE+CE；（2）若直线AE绕A点旋转到图（2）位置时（BDCE），其余条件不变，问BD与DE、CE的关系如何?请直接写出结果，不需证明；三、拓展延伸9如图所示，取一张长方形纸片，用A、B、C、D表示其四个顶点，将其折叠，使点D与点B重合 （1）在图中标出折线与AD的交点E，与BC的交点F；标出折叠后点C的

11、位置C点； （2）图中有没有全等的图形?如果有，全部找出来，再说明理由 （3）找出图中相等的线段和相等的锐角 3.三角形全等的判定(边角边)【教材研学】一、三角形全等的条件“边角边”（S.A.S）两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS”）运用这个定理请务必找准对应角，一定要是两边的夹角二、“边角边”应用 根据“边角边”可以测量不能到达的两个位置的距离现实生活中一些点，如在水中或其他很难测量的位置，为了方便的计算这些难于测量的距离，我们常构造全等三角形，构造出与要测量的两点间距离相等的对应线段，这些线段是便于测量的，条件得以转化，如测量池塘两点，山脚下一点与山的

12、对面一点等，常用此方法【点石成金】例1如图，已知A、B、C三点在一条直线上，分别以AB、BC为边在AC同侧作等边三角形ABD和等边三角形BCE，AE交BD于F，DC交BE于G。求证：AE=DC 证明：因为ABD和BCE为等边三角形， 所以AB=BD，BC=BE， ABD=EBC=60 所以ABE=DBC=120，ABF=DBG=60 在ABE和DBC中， 所以ABEDBC(SAS) 所以AE=DC（全等三角形的对应边相等） 名师点金：上题中A、B、C三点不在一条直线上，其他条件不写仍有AE=DC，请自行证明【基础练习】1如图所示，已知ADBC，AD=BC，请你思考一下，ABC与CDA有什么关系

13、? 2在证明分别属于两个三角形的线段相等或角相等的问题，常常通过证明这两个三角形_来解决【升级演练】一、基础巩固1如图1所示，在ABC中，CDAB，请你添加一个条件，写出一个正确结论（不要在图中添加辅助线、字母）条件：_,结论：_. (1) (2) (3)2如图2，ACBE，AC=EC，CB=CF，把EFC绕着点C逆时针方向旋转90，E点将落在_点上3如图3所示，M是AB的中点，MC=MD，12.求证：C=D 4如图所示，已知CA AB，DBAB，AC=BE，AE=BD试猜想线段CE与DE的大小与位置关系，并说明理由5如图所示，D、E、F、B在一条直线上，ABCD， B=D，BF=DE求证：（

14、1）AE=CF；（2）AECF；（3）AFECEF6如图，小明要测量小口瓶下半部的内径他把两根相等的钢条AA，BB的中点O连在一起可活动A、B两点，使A、B卡在小口瓶内壁上然后量出AB的长度，就可知道小口瓶下半部的内径，你知道这是为什么吗?说明你的理由 7如图19212所示，AB=AC，AD=AE， 1=2，请你说明ABDACE的理由 二、探究提高8如图所示，已知AB=AC，D是BC的中点，E是AD上的任意一点，连接EB、EC求证：EB=EC 9如图，AB、BC、CD是三根长度分别为1cm、2 cm、5 cm的木棒，它们之间的连接处可以转动，现在A、D之间拉一根橡皮筋，请根据四边形的不稳定性思考：这根橡皮筋的最大长度可拉到多少厘米?最短长度为多少厘米? 10如图所示，在ABC中，AD为BC边上的中线求证：2ADAB+AC 三、拓展延伸11.如图所示，ABC是等边三角形，BD是中线，延长BC到E，使CE=CD不添加辅助线，请你写出尽可能多的结论 中考模拟题12（2006山东日照）如图，AB=12米，CAAB，DBAB，垂足分别为A、B，P、Q两点同时从B出发，P点从B向A运动，每分钟走1米；P点从B点向D运动，每分钟走2米试问P、Q出发几分钟后，CAPPBQ，并说明理由