三角形全等的判定分类练习.docx

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三角形全等的判定分类练习

1.三角形全等的判定（角边角）

【教材研学】

一、三角形全等的条件――“角边角”（A．S．A．）

两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写为“角边角”或“A．S．A．”）．

由此我们可以看出，对于两个三角形，只要有两个对应角及其所夹的边相等，则这两个三角形全等．

二、探究活动

问题：

有两角及其中一角的对边对应相等，这样两个三角形是否全等呢?

分析：

如图，假设∠A=∠A1，∠B=∠Bl，BC=B1C1，能否判断△ABC≌△A1B1C1呢?

显然，由三角形的内角和定理我们可以知道如果∠A=∠A1，∠B=∠B1，则必有∠C=∠C1．这样，就可得到△ABC和△A1B1C1中有两角和一夹边对应相等，由此可判定△ABC≌△A1B1C1．

结论：

事实上，知道两角及其中一角的对边对应相等也可以判断两个三角形全等，这一结论我们简称为“角角边（A．A．S．）”．

【点石成金】

例题如图，已知：

AB=AC，D、E两点分别在AB，AC上，且AD=AE，

求证：

△BDF≌△CEF．

分析：

结论要证的两个三角形△BDF与△CEF中，有

一组对角相等，由已知条件可推得，BD=CE，只要证明出

它们的另一对角∠C与∠B相等，就可证出结论了，为了证

明∠C=∠B，可以设法证明△ACD与△ABE全等，而这由

已知不难证得．

证明：

在△ABE和△ACD中，

∴△ABE≌△ACD。

∴∠C=∠B

∵AB=AC，AD=AE，∴BD=CE．

在△BDF和△CEF中，

∴△BDF≌△CEF．

名师点金：

本题的解题关键是证明△ABE≌△ACD，得到∠C=∠B，注意书写格式要规范：

【基础练习】

1．任画一个Rt△ABC，使∠C=90°．再画一个Rt△A’B’C’，使B’C’＝BC，A’B’＝AB．把画好的Rt△A’B’C’剪下，放到Rt△ABC上．你会得出什么结论?

2．如图所示，∠1=∠2，∠ABC=∠DCB．求证：

AB=DC.

3．如图所示，∠1＝∠2，∠3=∠4，请你说明△ABC≌△ABD的理由。

一、基础巩固

1．判断满足下列条件的两个直角三角形是否全等．若全等，画“√”号；若不全等，画“×”号.

（1）一个锐角和这个锐角的对边对应相等．（）

（2）一个锐角和锐角相邻的直角边对应相等．（）

（3）一个锐角和一条斜边对应相等．（）（4）两直角边对应相等．（）

（5）两锐角对应相等．（）

2．如图所示，要证明△ACF≌△BDE，根据给定的条件和指明的依据，将应当添加的条件填在横线上．

（1）AC=BD，AC∥BD，__________（A．S．A．）；

（2）AC=BD，AC∥BD，___________（A．A．S．）；

（3）CE=DF_________，____________（A．S．A．）；

（4）AC∥BD，AF∥EB，__________（A．A．S．）．

3．如图所示，已知AB、CD相交于点O，并且△ACO≌△BDO，CE∥DF．求证：

CE=DF．

4．如图所示，已知∠1=∠2，∠3=∠4．求证：

AB=AC．

5．如图所示，已知AB∥DC，AB=CD，BF=DE．求证：

AE∥CF，AF∥CE．

二、探究提高

6．如图所示，已知EF⊥AD于E，CB⊥AD于B，EF=BC，AE=BD．求证：

∠C=∠F.

7．如图所示，△ABC是等腰直角三角形，即AC=BC，∠BAC=∠B=45°，∠ACB=90°．AD是BC边上的中线，过C作AD的垂线，交AB于点E．交AD于点F，试判断∠ADC与∠BDE的大小关系．

三、拓展延伸

8．如图，已知BD、CE分别是△ABC的边AC和AB边上的高，点P在BD的延长线上，BP=AC，点Q在CE上，CQ=AB．求证：

AP⊥AQ．

四、中考模拟

9．（2005·四川南充）如图，正方形ABCD的边长为1cm，AC是对角线，AE平分∠BAC，EF⊥AC．求证：

BE=FC．

2.三角形全等的判定（SSS,HL）

【教材研学】

一、三角形全等的条件一－“边边边”（S．S．S．）

　三边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边边边”或“S．S．S．”）．

　本定理是根据我们的探究问题推出的，它的原理是我们以后要学的三角形的稳定性，因为三角形具有稳定性．故三边确定，三角形形状确定，两个三边确定的三角形全等．应用此定理解题注意找对公共边与对应边。

　二、三角形的稳定性

　一个三角形中，只要其三边的长度一定，这个三角形的形状、大小就完全确定了，三角形的这个性质叫做三角形的稳定性．

三角形的稳定性应用很广，如屋顶的人字架就是利用了三角形的稳定性。

　　三、直角三角形全等的条件――“斜边、直角边”（H．L．）

斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“H．L．”）．

另外：

“斜边、直角边”是判定两个直角三角形全等的条件，不适用于一般三角形．也不能因为学习了“斜边、直角边”，而认为只有该条件才能说明两个直角三角形全等，前面的“S．S．S．”、“S．A．S．”、“A．S．A．”或“A．A．S．”也都能证明两个直角三角形全等，因此证直角三角形全等的条件比一般三角形全等的条件多一个“H．L．”．

【点石成金】

例题如图，AB=AC，DB=DC，EB=EC．请写出图中所有的全等三角形，并选一个说明理由．

解：

△ABD≌△ACD．△ABE≌△ACE．

△DBE≌△DCE．

以△ABD≌△ACD为例：

在△ABD与△ACD中，

∴△ABD≌△ACD（S．S．S．）．

名师点金：

在解决本题时别忽视了公共边这个条件。

找全等三角形时要全面，勿遗漏．

例2．如图，AB=AE，BC=ED，AF⊥CD，∠B=∠E。

求证：

F是CD的中点．

分析：

要证F为CD中点，即FC=FD，因此应作辅助线使它们分别在两个不同的三角形中，用三角形全等来完成，所以连接AC、AD．通过证△ABC≌△AED得到△ACF≌△ADF的条件．

证明：

连接AC、AD，如图，

在△ABC和△AED中，

所以△ABC≌△AED（S．A．S．）．

所以AC=AD（全等三角形的对应边相等）．

因为AF⊥CD，所以∠AFC=∠AFD=90°，即△ACF和△ADF都为直角三角形．

　在Rt△ACF和Rt△ADF中，

所以Rt△ACF≌Rt△ADF（H．L．）．

　所以CF=DF（全等三角形的对应边相等）．

　名师点金：

这里采用了“分析法”的证明方法，即从结论入手．找出需要的条件，逐步向已知靠拢．当然也可由此反回去用综合法．

【基础练习】

1．如图所示是小明制作的风筝，他根据图中DE=DF，EH=FH，不用度量，就知道∠E=∠F，请用你所学的知识给予证明?

【升级演练】

一、基础巩固:

1．已知，如图，AD=BC，AE=FC，DF=BE。

求证：

∠B=∠D．

2．如图所示是某人设计的风筝模型，经过测量知：

AB=DC，AC=DB．

由此你能断定∠A=∠D．∠B=∠C吗?

若能，作出证明；若不能，说明理由．

4．阅读下列题目：

如图所示，已知△ABC中，∠B=∠C．求证：

AB=AC．

证明：

作∠BAC的平分线AD，交BC于D．由∠BAD=∠CAD，∠B＝∠C，AD=AD，得△BAD≌△CAD．所以AB=AC.

试问：

（1）若作AD⊥BC于D，AB=AC是否成立?

若成立，写出证明过程；若不成立，说明理由；

（2）若作BC边上的中线AD，AB=AC是否成立?

请说明理由；

（3）若AB=AC，则∠B=∠C是否成立?

请说明理由．

二、探究提高

7．如图所示，有块三角形厚铁板，为了实际生产需要，工人师傅要把∠MAN平分，

现在他手边只有一把尺子和一根细绳，你能帮工人师傅想个办法吗?

并说说你的根据．

N

8．如图

（1）所示，△ABC中，∠BAC=90°AB=AC，AE是过A的一条直线，且B、C在AE的异侧，BD⊥AE于D，CE⊥AE于E．

（1）求证：

BD=DE+CE；

（2）若直线AE绕A点旋转到图

（2）位置时（BD

请予以证明；

（3）若直线AE绕A点旋转到图（3）位置时（BD>CE），其余条件不变，问BD与DE、CE的关系如何?

请直接写出结果，不需证明；

三、拓展延伸

9．如图所示，取一张长方形纸片，用A、B、C、D表示其四个顶点，将其折叠，使点D与点B重合．

（1）在图中标出折线与AD的交点E，与BC的交点F；标出折叠后点C的位置C’点；

（2）图中有没有全等的图形?

如果有，全部找出来，再说明理由．

（3）找出图中相等的线段和相等的锐角．

3.三角形全等的判定（边角边）

【教材研学】

一、三角形全等的条件――“边角边”（S.A.S）

两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“S．A．S．”）．运用这个定理请务必找准对应角，一定要是两边的夹角．

二、“边角边”应用

根据“边角边”可以测量不能到达的两个位置的距离．

现实生活中一些点，如在水中或其他很难测量的位置，为了方便的计算这些难于测量的距离，我们常构造全等三角形，构造出与要测量的两点间距离相等的对应线段，这些线段是便于测量的，条件得以转化，如测量池塘两点，山脚下一点与山的对面一点等，常用此方法．

【点石成金】

例1．如图，已知A、B、C三点在一条直线上，分别以AB、BC为边在AC同侧作等边三角形ABD和等边三角形BCE，AE交BD于F，DC交BE于G。

求证：

AE=DC．

证明：

因为△ABD和△BCE为等边三角形，

所以AB=BD，BC=BE，∠ABD=∠EBC=60°．

所以∠ABE=∠DBC=120°，∠ABF=∠DBG=60°．

在△ABE和△DBC中，

所以△ABE≌△DBC（S．A．S．）．

所以AE=DC（全等三角形的对应边相等）．

　名师点金：

上题中A、B、C三点不在一条直线上，其他条件不写仍有AE=DC，请自行证明．

【基础练习】

1．如图所示，已知AD∥BC，AD=BC，请你思考一下，△ABC与△CDA有什么关系?

2．在证明分别属于两个三角形的线段相等或角相等的问题，常常通过证明这两个三角形_____来解决．

【升级演练】

一、基础巩固

1．如图1所示，在△ABC中，CD⊥AB，请你添加一个条件，写出一个正确结论（不要在图中添加辅助线、字母）．

条件：

______________________,结论：

____________________________.

（1）

（2）（3）

2．如图2，AC⊥BE，AC=EC，CB=CF，把△EFC绕着点C逆时针方向旋转90°，E点将落在____点上．

3．如图3所示，M是AB的中点，MC=MD，∠1＝∠2.求证：

∠C=∠D．

4．如图所示，已知CA⊥AB，DB⊥AB，AC=BE，AE=BD．试猜想线段CE与DE的大小与位置关系，并说明理由．

5．如图所示，D、E、F、B在一条直线上，AB＝CD，∠B=∠D，BF=DE．

求证：

（1）AE=CF；

（2）AE∥CF；（3）∠AFE＝∠CEF．

6．如图，小明要测量小口瓶下半部的内径．他把两根相等的钢条AA’，BB’的中点O连在一起．可活动A、B两点，使A’、B’卡在小口瓶内壁上．然后量出AB的长度，就可知道小口瓶下半部的内径，你知道这是为什么吗?

说明你的理由．

7．如图19—2—12所示，AB=AC，AD=AE，∠1=∠2，请你说明△ABD≌△ACE的理由．

二、探究提高

8．如图所示，已知AB=AC，D是BC的中点，E是AD上的任意一点，连接EB、EC．

求证：

EB=EC．

9．如图，AB、BC、CD是三根长度分别为1cm、2cm、5cm的木棒，它们之间的连接处可以转动，现在A、D之间拉一根橡皮筋，请根据四边形的不稳定性思考：

这根橡皮筋的最大长度可拉到多少厘米?

最短长度为多少厘米?

10．如图所示，在△ABC中，AD为BC边上的中线．求证：

2AD

三、拓展延伸

11.如图所示，△ABC是等边三角形，BD是中线，延长BC到E，使CE=CD．不添加辅助线，请你写出尽可能多的结论．

中考模拟题

12．（2006·山东日照）如图，AB=12米，CA⊥AB，DB⊥AB，垂足分别为A、B，P、Q两点同时从B出发，P点从B向A运动，每分钟走1米；P点从B点向D运动，每分钟走2米．试问P、Q出发几分钟后，△CAP≌△PBQ，并说明理由．