高中数学第5章 522 导数的四则运算法则.docx

1、高中数学第5章 522 导数的四则运算法则5.2.2导数的四则运算法则素养目标学科素养1.掌握导数的运算法则(重点)2利用导数的运算法则解决有关问题(难点)1.数学抽象；2逻辑推理；3数学运算情境导学古希腊欧几里得在几何原本中所建立的几何体系，堪称“雄伟的建筑”“庄严的结构”“巍峨的阶梯”，它使得多少科学少年为之神往！数学中优美的公式就如但丁神曲中的诗句、黎曼几何学与肖邦的钢琴曲一样优美导数公式及运算法则的和谐与对称具有一种崇高美，今天，让我们一起领略吧！导数的四则运算法则(1)f(x)g(x)f(x)g(x)；(2)f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)；(3)(g(x)0)特别地

2、：当g(x)c(c为常数)时，cf(x)cf(x)；当f(x)1时，.判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)若f(x)2x，则f(x)x2.() 提示：若f(x)2x，则f(x)x2c.(2)已知函数y2sinxcosx，则y2cosxsinx()提示：若y2sinxcosx，则y(2sinx)(cosx)2cosxsinx.(3)已知函数f(x)(x1)(x2)，则f(x)2x1.()提示：因为f(x)(x1)(x2)x23x2，所以f(x)2x3.1函数ysinxcosx的导数是()Aycos2xsin2x Bycos2xsin2xCy2cosxsinx DycosxsinxB解析：y(

3、sinxcosx)cosxcosxsinx(sinx)cos2xsin2x.2若ycosxex，则y()Asinxex BsinxexCsinx DsinxA解析：y(cosx)(ex)sinxex.3下列求导运算正确的是()A1 B(log2x)C(xln x) D(3x)3xlog3eB解析：1，(xln x)ln x1，(3x)3xln 3，故A，C，D均错误，B正确4函数yx3cosx的导数是()A3x2cosxx3sinx B3x2cosxx3sinxC3x2cosx Dx3sinxB解析：y(x3)cosxx3(cosx)3x2cosxx3sinx.5f(x)(2xa)2，且f(2

4、)20，则a_.1解析：f(x)4x24axa2，f(x)8x4a，f(2)164a20，a1. 【例1】求下列函数的导数(1)y2x3x2x1；(2)yx4cosx；(3)yexln x.解：(1)y(2x3)(x2)(x)(1)6x22x1.(2)y(x4)(cosx)4x3sinx.(3)y(ex)(ln x)ex.1两个函数和(或差)的求导法则：设函数f(x)，g(x)是可导的，则f(x)g(x)f(x)g(x)，即两个函数的和(或差)的导数，等于这两个函数的导数的和(或差)2熟记常见基本初等函数的求导公式是进行求导运算的前提判断所给函数解析式的结构特点，选择正确的公式和运算法则求下列

5、函数的导数(1)yx5x3；(2)y5xln x；(3)ylog5xsinx.解：(1)yx42x2.(2)y(5x)(ln x)5xln 5.(3)y(log5x)(sinx)cosx. 【例2】求下列函数的导数(1)y(2x23)(3x2)；(2)y2xcosx3xln x；(3)y.解：(1)(方法一)y(2x23)(3x2)(2x23)(3x2)4x(3x2)(2x23)318x28x9.(方法二)y(2x23)(3x2)6x34x29x6，y18x28x9.(2)y(2xcosx3xln x)(2x)cosx2x(cosx)3xln xx(ln x)2xln 2cosx2xsinx3

6、2xln 2cosx2xsinx3ln x3.(3)y.两个函数积的求导法则：设函数f(x)，g(x)是可导的，则f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)两个函数商的求导法则：设函数f(x)，g(x)是可导的，且g(x)0，则.运算过程易出现失误的原因是不能正确理解求导法则，特别是商的求导法则求导过程中符号判断不清，也是导致错误的原因另外在求导之前观察函数是否可以化简，再进行求导，可以避免使用商的求导法则，从而减少运算量求下列函数的导数(1)y3x2xcosx；(2)y.解：(1)y(3x2)(xcosx)6xxcosxx(cosx)6xcosxxsinx.(2)y. 探究题1若曲线y

7、xln x上点P处的切线平行于直线2xy10，则点P的坐标是_(e，e)解析：设P(x0，y0)yxln x，yln xx1ln x.k1ln x0.又k2，1ln x02，x0e.y0eln ee.点P的坐标是(e，e)探究题2已知函数f(x)ax2ln x的导数为f(x)(1)求f(1)f(1)；(2)若曲线yf(x)存在垂直于y轴的切线，求实数a的取值范围解：(1)由题意，函数的定义域为(0，)，由f(x)ax2ln x，得f(x)2ax，所以f(1)f(1)3a1.(2)因为曲线yf(x)存在垂直于y轴的切线，故此时切线斜率为0，问题转化为在x(0，)内导函数f(x)2ax存在零点令f

8、(x)0，即2ax0有正实数解，即2ax21有正实数解，故有a0)的导数为0，那么x等于()Aa Ba Ca Da2B解析：y.由x2a20得xa.9.(5分)已知函数f(x)axln x，x(0，)，其中a为实数，f(x)为f(x)的导函数若f(1)3，则a的值为_3解析：f(x)aa(1ln x)由于f(1)a(1ln 1)a，又f(1)3, 所以a3.10.(5分)若函数f(x)x22x4ln x，则f(x)0的解集为() A(0，) B(1,0)(2，)C(2，) D(1,0)C解析：由题意知x0，且f(x)2x2，若f(x)0，则x2x20，解得x2.又x0，x2.11(5分)已知曲

9、线yaexxln x在点(1，ae)处的切线方程为y2xb，则()Aae，b1 Bae，b1Cae1，b1 Dae1，b1D解析：令f(x)aexxln x，则f(x)aexln x1，f(1)ae12，得ae1.f(1)ae2b, 可得b1.12(5分)曲线yxsinx在点处的切线与x轴、直线x所围成的三角形的面积为 ()A B2 C22 D(2)2A解析：曲线yxsinx在点处的切线方程为yx，所围成的三角形的顶点为O(0,0)，A(，0)，C(，)，所以三角形面积为.13.(5分)曲线f(x)在点(1,1)处的切线为l，则l上的点到圆x2y24x30上的点的最近距离是_21解析：f(x)

10、，则f(1)1，切线方程为y1(x1)，即xy20，圆心(2，0)到直线的距离d2，圆的半径r1，所求最近距离为21.14.(5分)已知曲线y12与y2x3x22x在xx0处切线的斜率的乘积为3，则x0_.1解析：由题知y1，y23x22x2，所以两曲线在xx0处切线的斜率分别为，3x2x02，所以3，所以x01.15.(5分)已知函数f(x)fcosxsinx，则f的值为_1解析：f(x)fsinxcosx，ff，得f1.f(x)(1)cos xsinx.f1.16.(5分)若曲线yax2ln x在点(1，a)处的切线平行于x轴，则a_.解析：点(1，a)在曲线yax2ln x上，切线与曲线

11、在点(1，a)处相切又f(x)y2ax，f(1)2a1.切线的斜率为2a1.又切线平行于x轴，2a10，a.17.(10分)求下列函数的导数：(1)y3x3；(2)ysinx2x2；(3)ycosxln x；(4)y.解：(1)y3x3，则y(3)(x3)3x2.(2)y(sinx2x2)(sinx)(2x2)cosx4x.(3)y(cosxln x)(cosx)ln xcosx(ln x)sinxln x.(4)y.18.(10分)已知f(x)x2axb，g(x)x2cxd，又f(2x1)4g(x)，且f(x)g(x)，f(5)30，求g(4)解：由f(2x1)4g(x)得4x22(a2)x(ab1)4x24cx4d.于是有a22c，ab14d.由f(x)g(x)得2xa2xc，于是ac.由与有ac2.此时f(x)x22xb，由f(5)30得2510b30，于是b5，再由得d.从而g(x)x22x，故g(4)168.