高中数学第5章 522 导数的四则运算法则.docx

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高中数学第5章522导数的四则运算法则

5.2.2　导数的四则运算法则

素养目标

学科素养

1.掌握导数的运算法则．（重点）

2．利用导数的运算法则解决有关问题．（难点）

1.数学抽象；

2．逻辑推理；

3．数学运算

情境导学

古希腊欧几里得在《几何原本》中所建立的几何体系，堪称“雄伟的建筑”“庄严的结构”“巍峨的阶梯”，它使得多少科学少年为之神往！

数学中优美的公式就如但丁《神曲》中的诗句、黎曼几何学与肖邦的钢琴曲一样优美．

导数公式及运算法则的和谐与对称具有一种崇高美，今天，让我们一起领略吧！

导数的四则运算法则

（1）[f（x）±g（x）]′＝f′（x）±g′（x）；

（2）[f（x）g（x）]′＝f′（x）g（x）＋f（x）g′（x）；

（3）′＝（g（x）≠0）．

特别地：

①当g（x）＝c（c为常数）时，[cf（x）]′＝cf′（x）；

②当f（x）＝1时，′＝－.

判断（正确的打“√”，错误的打“×”）．

（1）若f′（x）＝2x，则f（x）＝x2.（　　）

×　提示：

若f′（x）＝2x，则f（x）＝x2＋c.

（2）已知函数y＝2sinx－cosx，则y′＝2cosx＋sinx．（　　）

√　提示：

若y＝2sinx－cosx，

则y′＝（2sinx）′－（cosx）′＝2cosx＋sinx.

（3）已知函数f（x）＝（x＋1）（x＋2），则f′（x）＝2x＋1.（　　）

×　提示：

因为f（x）＝（x＋1）（x＋2）＝x2＋3x＋2，所以f′（x）＝2x＋3.

1．函数y＝sinx·cosx的导数是（　　）

A．y′＝cos2x＋sin2x

B．y′＝cos2x－sin2x

C．y′＝2cosx·sinx

D．y′＝cosx·sinx

B　解析：

y′＝（sinx·cosx）′＝cosx·cosx＋sinx·（－sinx）＝cos2x－sin2x.

2．若y＝cosx＋ex，则y′＝（　　）

A．－sinx＋ex

B．sinx＋ex

C．－sinx＋

D．sinx＋

A　解析：

y′＝（cosx）′＋（ex）′＝－sinx＋ex.

3．下列求导运算正确的是（　　）

A．′＝1－

B．（log2x）′＝

C．（x·lnx）′＝

D．（3x）′＝3xlog3e

B　解析：

′＝1－，（xlnx）′＝lnx＋1，（3x）′＝3xln3，故A，C，D均错误，B正确．

4．函数y＝x3cosx的导数是（　　）

A．3x2cosx＋x3sinx

B．3x2cosx－x3sinx

C．3x2cosx

D．－x3sinx

B　解析：

y′＝（x3）′cosx＋x3（cosx）′＝3x2cosx－x3sinx.

5．f（x）＝（2x＋a）2，且f′

（2）＝20，则a＝________.

1　解析：

f（x）＝4x2＋4ax＋a2，

∵f′（x）＝8x＋4a，

∴f′

（2）＝16＋4a＝20，∴a＝1.

【例1】求下列函数的导数．

（1）y＝2x3＋x2－x＋1；

（2）y＝x4＋cosx；

（3）y＝ex＋lnx.

解：

（1）y′＝（2x3）′＋（x2）′－（x）′＋

（1）′＝6x2＋2x－1.

（2）y′＝（x4）′＋（cosx）′＝4x3－sinx.

（3）y′＝（ex）′＋（lnx）′＝ex＋.

1．两个函数和（或差）的求导法则：

设函数f（x），g（x）是可导的，则[f（x）±g（x）]′＝f′（x）±g′（x），即两个函数的和（或差）的导数，等于这两个函数的导数的和（或差）．

2．熟记常见基本初等函数的求导公式是进行求导运算的前提．判断所给函数解析式的结构特点，选择正确的公式和运算法则．

求下列函数的导数．

（1）y＝x5＋x3；

（2）y＝5x－lnx；

（3）y＝log5x＋sinx.

解：

（1）y′＝′＋′＝x4＋2x2.

（2）y′＝（5x）′－（lnx）′＝5xln5－.

（3）y′＝（log5x）′＋（sinx）′＝＋cosx.

【例2】求下列函数的导数．

（1）y＝（2x2＋3）（3x－2）；

（2）y＝2xcosx－3xlnx；

（3）y＝.

解：

（1）（方法一）y′＝（2x2＋3）′（3x－2）＋（2x2＋3）（3x－2）′＝4x（3x－2）＋（2x2＋3）×3＝18x2－8x＋9.

（方法二）∵y＝（2x2＋3）（3x－2）＝6x3－4x2＋9x－6，∴y′＝18x2－8x＋9.

（2）y′＝（2xcosx－3xlnx）′＝（2x）′cosx＋2x（cosx）′－3[x′lnx＋x（lnx）′]＝2xln2×cosx－2xsinx－3＝2xln2×cosx－2xsinx－3lnx－3.

（3）y′＝＝＝.

两个函数积的求导法则：

设函数f（x），g（x）是可导的，则[f（x）·g（x）]′＝f′（x）g（x）＋f（x）g′（x）．　

两个函数商的求导法则：

设函数f（x），g（x）是可导的，且g（x）≠0，则′＝.　

运算过程易出现失误的原因是不能正确理解求导法则，特别是商的求导法则．求导过程中符号判断不清，也是导致错误的原因．另外在求导之前观察函数是否可以化简，再进行求导，可以避免使用商的求导法则，从而减少运算量．

求下列函数的导数．

（1）y＝3x2＋xcosx；

（2）y＝.

解：

（1）y′＝（3x2）′＋（xcosx）′＝6x＋x′cosx＋x（cosx）′＝6x＋cosx－xsinx.

（2）y′＝＝.

探究题1　若曲线y＝xlnx上点P处的切线平行于直线2x－y＋1＝0，则点P的坐标是________．

（e，e）　解析：

设P（x0，y0）．∵y＝xlnx，

∴y′＝lnx＋x·＝1＋lnx.

∴k＝1＋lnx0.又k＝2，

∴1＋lnx0＝2，∴x0＝e.

∴y0＝elne＝e.

∴点P的坐标是（e，e）．

探究题2　已知函数f（x）＝ax2＋lnx的导数为f′（x）．

（1）求f

（1）＋f′

（1）；

（2）若曲线y＝f（x）存在垂直于y轴的切线，求实数a的取值范围．

解：

（1）由题意，函数的定义域为（0，＋∞），

由f（x）＝ax2＋lnx，得f′（x）＝2ax＋，

所以f

（1）＋f′

（1）＝3a＋1.

（2）因为曲线y＝f（x）存在垂直于y轴的切线，故此时切线斜率为0，问题转化为在x∈（0，＋∞）内导函数f′（x）＝2ax＋存在零点．

令f′（x）＝0，即2ax＋＝0有正实数解，

即2ax2＝－1有正实数解，故有a<0，

所以实数a的取值范围是（－∞，0）．

解决有关切线问题的关注点：

（1）此类问题往往涉及切点、切点处的导数、切线方程三个主要元素．

（2）准确利用求导法则求出导函数是解决此类问题的第一步，也是解题的关键，务必做到准确．

（3）分清已知点是否在曲线上，若不在曲线上，则要设出切点，这是解题时的易错点．另外有的点虽然在切线上，但是经过该点的切线不一定只有1条，即该点有可能是切点，也可能是切线与曲线的交点，解题时注意不要漏解．

已知函数f（x）＝ax2＋bx＋3（a≠0），其导函数f′（x）＝2x－8.

（1）求a，b的值；

（2）设函数g（x）＝exsinx＋f（x），求曲线g（x）在x＝0处的切线方程．

解：

（1）因为f（x）＝ax2＋bx＋3（a≠0），

所以f′（x）＝2ax＋b.

又知f′（x）＝2x－8，所以a＝1，b＝－8.

（2）由

（1）可知g（x）＝exsinx＋x2－8x＋3，

所以g′（x）＝exsinx＋excosx＋2x－8，

所以g′（0）＝e0sin0＋e0cos0＋2×0－8＝－7.

又知g（0）＝3，

所以g（x）在x＝0处的切线方程为y－3＝－7（x－0）．即7x＋y－3＝0.

1．函数f（x）＝x3－2x2－3的导数为（　　）　　　　　　　　　　　　　

A．f′（x）＝3x2－4x

B．f′（x）＝3x2－4x－3

C．f′（x）＝3x2－2x

D．f′（x）＝3x2－2x－3

A　解析：

∵f（x）＝x3－2x2－3,∴f′（x）＝3x2－4x.故选A．

2．已知f（x）＝sinx＋cosx＋，则f′等于（　　）

A．－1＋B．＋1

C．1D．－1

D　解析：

由f（x）＝sinx＋cosx＋，得f′（x）＝cosx－sinx，所以f′＝cos－sin＝－1.故选D．

3．函数f（x）＝x3－x2＋x的图象在原点的切线方程为（　　）

A．x－y＝0B．x＋2y＝0

C．x＋y＝0D．x－2y＝0

A　解析：

由函数f（x）＝x3－x2＋x，则f′（x）＝3x2－2x＋1，

所以f′（0）＝1，所以函数f（x）＝x3－x2＋x的图象在原点的切线方程为y－0＝1（x－0），即x－y＝0.故选A．

4．函数y＝x2cosx＋x2的导数为（　　）

A．y′＝2xcosx－x2sinx＋2x

B．y′＝2xcosx＋x2sinx＋2x

C．y′＝x2cosx－2x2sinx－2x

D．y′＝xcosx－x2sinx－x2

A　解析：

∵y＝x2cosx＋x2，

∴y′＝（x2）′cosx＋x2·（cosx）′＋（x2）′＝2xcosx－x2sinx＋2x，故选A．

5．已知函数f（x）＝x2＋xlnx.

（1）求这个函数的导数f′（x）；

（2）求这个函数在x＝1处的切线方程．

解：

（1）因为f（x）＝x2＋xlnx，所以f′（x）＝2x＋lnx＋1.

（2）由题意可知，切点的横坐标为1，所以切线的斜率是k＝f′

（1）＝2＋1＝3，

又f

（1）＝1，所以切线方程为y－1＝3（x－1），整理得3x－y－2＝0.

1．熟练运用积、商的求导法则，不可混淆．

2．函数解析式较复杂时，可以化简的要先化简再求导．

课时分层作业（十五）

导数的四则运算法则

（60分钟　100分）

知识点1　利用导数的加法与减法法则求导

1．（5分）已知f（x）＝x3－3x，则f′（x）＝（　　）

A．3x2－3x

B．3x2－3xln3＋

C．3x2＋3xln3

D．3x2－3xln3

D　解析：

∵f（x）＝x3－3x，∴f′（x）＝3x2－3xln3.

2．（5分）已知f（x）＝sinx－cosx，则f′＝（　　）

A．0B．

C．D．1

C　解析：

∵f′（x）＝cosx＋sinx，

∴f′＝cos＋sin＝＋＝.

3．（5分）曲线f（x）＝x3－x2＋5在x＝1处的切线的倾斜角为（　　）

A．B．

C．D．

B　解析：

f′（x）＝x2－2x，k＝f′

（1）＝－1，故切线的倾斜角为.

4．（5分）曲线y＝2sinx＋cosx在点（π，－1）处的切线方程为（　　）

A．x－y－π－1＝0B．2x－y－2π－1＝0

C．2x＋y－2π＋1＝0D．x＋y－π＋1＝0

C　解析：

由y＝2sinx＋cosx可得y′＝2cosx－sinx，当x＝π时，y′＝－2，即切线的斜率为－2，所以切线方程为2x＋y－2π＋1＝0.

5．（5分）函数y＝（ex＋e－x）的导数是（　　）

A．（ex－e－x）B．（ex＋e－x）

C．ex－e－xD．ex＋e－x

A　解析：

y′＝′＋′＝ex－e－x＝（ex－e－x）．

知识点2　利用导数的乘法与除法法则求导

6．（5分）下列运算正确的是（　　）

A．（ax2－bx＋c）′＝a（x2）′＋b（－x）′

B．（sinx＋2x2）′＝（sinx）′＋2′（x2）′

C．（cosx·sinx）′＝（sinx）′cosx＋（cosx）′cosx

D．′＝

A　解析：

根据导数的四则运算法则易知A正确．

7．（5分）函数y＝的导数是（　　）

A．

B．

C．

D．

C　解析：

y′＝

＝

＝.

8．（5分）函数y＝（a>0）的导数为0，那么x等于（　　）

A．aB．±a

C．－aD．a2

B　解析：

y′＝＝.由x2－a2＝0得x＝±a.

9.（5分）已知函数f（x）＝axlnx，x∈（0，＋∞），其中a为实数，f′（x）为f（x）的导函数．若f′

（1）＝3，则a的值为________．

3　解析：

f′（x）＝a＝a（1＋lnx）．由于f′

（1）＝a（1＋ln1）＝a，又f′

（1）＝3,所以a＝3.

10.（5分）若函数f（x）＝x2－2x－4lnx，则f′（x）>0的解集为（　　）

A．（0，＋∞）B．（－1,0）∪（2，＋∞）

C．（2，＋∞）D．（－1,0）

C　解析：

由题意知x>0，且f′（x）＝2x－2－，

若f′（x）＝>0，则x2－x－2>0，

解得x<－1或x>2.又x>0，∴x>2.

11．（5分）已知曲线y＝aex＋xlnx在点（1，ae）处的切线方程为y＝2x＋b，则（　　）

A．a＝e，b＝－1B．a＝e，b＝1

C．a＝e－1，b＝1D．a＝e－1，b＝－1

D　解析：

令f（x）＝aex＋xlnx，

则f′（x）＝aex＋lnx＋1，f′

（1）＝ae＋1＝2，得a＝＝e－1.f

（1）＝ae＝2＋b,可得b＝－1.

12．（5分）曲线y＝xsinx在点处的切线与x轴、直线x＝π所围成的三角形的面积为（　　）

A．B．π2

C．2π2D．（2＋π）2

A　解析：

曲线y＝xsinx在点处的切线方程为y＝－x，所围成的三角形的顶点为O（0,0），A（π，0），C（π，－π），所以三角形面积为.

13.（5分）曲线f（x）＝在点（1,1）处的切线为l，则l上的点到圆x2＋y2＋4x＋3＝0上的点的最近距离是________．

2－1　解析：

f′（x）＝，则f′

（1）＝－1，

∴切线方程为y－1＝－（x－1），即x＋y－2＝0，圆心（－2，0）到直线的距离d＝2，圆的半径r＝1，∴所求最近距离为2－1.

14.（5分）已知曲线y1＝2－与y2＝x3－x2＋2x在x＝x0处切线的斜率的乘积为3，则x0＝________.

1　解析：

由题知y′1＝，y′2＝3x2－2x＋2，所以两曲线在x＝x0处切线的斜率分别为，3x－2x0＋2，所以＝3，所以x0＝1.

15.（5分）已知函数f（x）＝f′cosx＋sinx，则f的值为________．

1　解析：

∵f′（x）＝－f′sinx＋cosx，

∴f′＝－f′×＋，

得f′＝－1.

∴f（x）＝（－1）cosx＋sinx.

∴f＝1.

16.（5分）若曲线y＝ax2－lnx在点（1，a）处的切线平行于x轴，则a＝________.

　解析：

∵点（1，a）在曲线y＝ax2－lnx上，

∴切线与曲线在点（1，a）处相切．

又∵f′（x）＝y′＝2ax－，

∴f′

（1）＝2a－1.

∴切线的斜率为2a－1.又切线平行于x轴，

∴2a－1＝0，∴a＝.

17.（10分）求下列函数的导数：

（1）y＝3－x3；

（2）y＝sinx－2x2；

（3）y＝cosx·lnx；

（4）y＝.

解：

（1）y＝3－x3，

则y′＝（3）′－（x3）′＝－3x2.

（2）y′＝（sinx－2x2）′＝（sinx）′－（2x2）′＝cosx－4x.

（3）y′＝（cosx·lnx）′＝（cosx）′·lnx＋cosx·（lnx）′＝－sinx·lnx＋.

（4）y′＝′＝＝＝.

18.（10分）已知f（x）＝x2＋ax＋b，g（x）＝x2＋cx＋d，又f（2x＋1）＝4g（x），且f′（x）＝g′（x），f（5）＝30，求g（4）．

解：

由f（2x＋1）＝4g（x）得

4x2＋2（a＋2）x＋（a＋b＋1）＝4x2＋4cx＋4d.

于是有a＋2＝2c，①

a＋b＋1＝4d.②

由f′（x）＝g′（x）得2x＋a＝2x＋c，

于是a＝c.③

由①与③有a＝c＝2.

此时f（x）＝x2＋2x＋b，

由f（5）＝30得25＋10＋b＝30，④

于是b＝－5，再由②得d＝－.

从而g（x）＝x2＋2x－，

故g（4）＝16＋8－＝.