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1、272圆心角弧弦弦心距之间的关系很好很全很详细奋飞教育-您值得信赖的一对一个性化辅导学校咨询：3651785627.2 圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系【学习目标】1.通过观察实验，使学生了解圆心角的概念.2.掌握在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，就可以推出它们所对应的其余各组量也相等，以及它们在解题中的应用【主要概念】【1】圆心角定义在纸上任意画一个圆，任意画出两条不在同一条直线上的半径，构成一个角，这样的角就是圆心角.如图所示，AOB的顶点在圆心，像这样，顶点在圆心的角叫做圆心角【2】圆心角、弧、弦之间的关系定理在同一个圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等【

2、定理拓展】1在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角，所对的弦也分别相等2在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角，所对的弧也分别相等综上所述，同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，就可以推出它们所对应的其余各组量也相等【经典例题】【例1】下列说法中，正确的是( )A.等弦所对的弧相等 B.等弧所对的弦相等C.圆心角相等，所对的弦相等 D.弦相等所对的圆心角相等【解析】根据弧、弦、圆心角的关系知：等弦所对的弧不一定相等，圆心角相等，所对的弦相等缺少等圆或同圆的条件，所以也不对；弦相等所对的圆心角相等 1奋飞教育-您值得信赖的一对一个性化辅导学校咨询：3

3、6517856缺少等圆或同圆的条件，弦所对的弧也不一定是同弧，所以不正确；等弧所对的弦相等是成立的.【答案】B【例2】如图2，同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D，已知AB=4，CD=2，AB的弦心距等于1，那么两个同心圆的半径之比为( )图2A.32 B.2 C.2 D.54【解析】作OECD于E，则CE=DE=1，AE=BE=2，OE=1.在RtODE中，OD=2+12=2.在RtOEB中，OB=BE2+OE2=4+1=.OBOD=2.【答案】C【例3】半径为R的O中，弦AB=2R，弦CD=R，若两弦的弦心距分别为OE、OF，则OEOF等于( )A.21 B.32 C.23 D.0【解析】

4、AB为直径，OE=0.OEOF=0.【答案】D【例4】一条弦把圆分成13两部分，则弦所对的圆心角为_. 【解析】1360=90，弦所对的圆心角为90. 4【答案】90【例5】弦心距是弦的一半时，弦与直径的比是_，弦所对的圆心角是_.【解析】ODAB，OD=DB=AD.设OD=x，则AD=DB=x.在RtODB中，OD=DB，ODAB,奋飞教育-您值得信赖的一对一个性化辅导学校咨询：36517856DOB=45.AOB=2DOB=90， OB=OD2+DB2+x2+x2=2 x.ABBC=12=22. 弦与直径的比为22，弦所对的圆心角为90. 【答案】22 90【例6】如图6，已知以点O为公共

5、圆心的两个同心圆，大圆的弦AB交小圆于C、D.图6(1)求证：AC=DB；(2)如果AB=6 cm，CD=4 cm，求圆环的面积.【分析】求圆环的面积不用求出OA、OC，应用等量代换的方法.事实上，OA、OC的长也求不出来.（1）证明：作OEAB于E，EA=EB，EC=ED.EAEC=EBED，即AC=BD.（2）解：连结OA、OC.AB=6 cm，CD=4 cm，AE=11AB=3 cm.CE=CD=2 cm. 22S环=OA2OC2=（OA2OC2）=（AE2OE2）（CE2OE2）=（AE2CE2）=（3222）=5（ cm2）.【例7】如图7所示，AB是O的弦(非直径)，C、D是AB上

6、的两点，并且AC=BD.求证：OC=OD.图7【分析】根据弧、弦、圆心角的关系得出.证法一：如图(1)，分别连结OA、OB.OA=OB，A=B.又AC=BD，AOCBOD.OC=OD.奋飞教育-您值得信赖的一对一个性化辅导学校咨询：36517856证法二：如图(2)，过点O作OEAB于E，AE=BE.AC=BD，CE=DE.OC=OD. (1) (2)【例8】如图8，O的直径AB和弦CD相交于点E，已知AE=6 cm，EB=2 cm，CEA=30，求CD的长.图8【分析】如何利用CEA=30是解题的关键，若作弦心距OF，构造直角三角形，问题就容易解决.【解】过O作OFCD于F，连结CO.AE=

7、6 cm，EB=2 cm，AB=8 cm.OA=在RtOEF中，CEA=30，OF=1OE=1（cm）. 21AB=4（cm），OE=AEAO=2（cm）. 2在RtCFO中，OF=1 cm，OC=OA=4(cm)，CF=OC2 OF2=(cm). 又OFCD，DF=CF.CD=2CF=2（ cm）.【例9】如图9，AB是O的直径，CD是弦，AECD，垂足为E，BFCD，垂足为F，我们知道EC和DF相等.若直线EF平移到与直径AB相交于P(P不与A、B重合),在其他条件不变的情况下,结论是否依然成立?为什么?当EFAB时,情况又怎样?奋飞教育-您值得信赖的一对一个性化辅导学校咨询：365178

8、56图9【分析】考查垂径定理及三角形、梯形相关知识.可适当添加辅助线.【解】当EF交AB于P时,过O作OMCD于M,则CM=DM.通过三角形,梯形知识或构造矩形可证明AM=MF,EC=DF.当EFAB时,同理作OMCD于M,可证四边形AEFB为矩形.所以EF=AB.且EM=MF,又由垂径定理有CM=MD,EC=DF.【例10】如图10所示，AB、CD是O的两条直径，弦BE=BD，则弧AC与弧BE是否相等？为什么？图10【分析】欲求两弧相等，结合图形，可考虑运用“圆心角、弧、弦、弦心距”四量之间的“等对等”关系，可先求弧AC与弧BE所对的弦相等，也可利用“等量代换”的思想，先找一条弧都与弧AC以

9、及弧BE相等.【解】弧AC=弧BE.原因如下：法一：连结AC，AB、CD是直径，AOCBOD.ACBD.又BEBD，ACBE.弧AC=弧BE.法二：AB、CD是直径，AOCBOD.弧AC=弧BD.奋飞教育-您值得信赖的一对一个性化辅导学校咨询：36517856BEBD，弧BE=弧BD.弧AC=弧BE.【例11】如图11所示，AB是O的弦，C、D为弦AB上两点，且OC=OD，延长OC、OD，分别交O于点E、F.试证:弧AE=弧BF.图11【分析】欲求弧相等，结合图形，可先求弧所对的圆心角相等，即求AOEBOF.【证明】 OCOD，OCDODC.AOOB，AB.OCDAODCB，即AOCBOD，即

10、AOEBOF.弧AE=弧BF.【例12】如图12，AB、CD、EF都是O的直径，且1=2=3，弦AC、EB、DF是否相等？为什么？图12【分析】应用圆心角、弧、弦的关系解决.证明弦相等往往转化成圆心角相等.【解】在O中，1=2=3，又AB、CD、EF都是O的直径，FOD=AOC=BOE.弧DF=弧AC=弧BE.AC=EB=DF.奋飞教育-您值得信赖的一对一个性化辅导学校咨询：36517856【例13】为美化校园，学校准备在一块圆形空地上建花坛，现征集设计方案，要求设计的方案由圆和三角形组成(圆和三角形个数不限)，并且使整个图案成对称图形，请你画出你的设计方案图(至少两种).【解析】设计的基本思

11、路是等分圆心角，或等分圆周，取得轴（或中心）对称的对应点，适当画圆或连线，设计出一些适合要求的图案.【答案】根据题意画出如下方案供选用，如图,本题答案不唯一，只要符合条件即可.【例14】如图14，已知在O中，AD是O的直径，BC是弦，ADBC，E为垂足，由这些条件你能推出哪些结论？(要求：不添加辅助线，不添加字母，不写推理过程，只写出6条以上的结论)图14【解析】因ADBC，且AD为直径，所以可以利用垂径定理得到一些结论，同时可证得AD垂直平分BC，据此又能得到许多结论.本题是2000年新疆建设兵团的模拟题，是一个开放性试题，开放到可以不写步骤，但它比书写证明一个结论步骤的题考查面更广，因为写

12、出六个结论考生需要证明六个题.本题是一个考查考生发散思维能力和创新意识的好题.【答案】（1）BE=CE；（2）弧BD=弧CD；（3）弧AB=弧AC（4）AB=AC；（5）BD=DC；（6）ABC=ACB；（7）DBC=DCB；（8）ABD=ACD；（9）AD是BC的中垂线；奋飞教育-您值得信赖的一对一个性化辅导学校咨询：36517856（10）ABDACD；（11）O为ABC的外心等等.【例15】如图15，AB为O的弦，P是AB上一点，AB=10 cm，OP=5 cm，PA=4 cm，求O的半径.图15【分析】圆中的有关计算，大多都是通过构造由半径、弦心距、弦的一半组成的直角三角形，再利用勾股

13、定理来解决.【解】过O作OCAB于C，连结OA，则AB=2AC=2BC.在RtOCA和OCP中，OC2=OA2AC2，OC2=OP2CP2，OA2AC2=OP2CP2.AB=10，PA=4，AB=2AC=2BC，CP=ABPABC=1，AC=5.OA252=521.OA=7，即O的半径为7 cm.【例16】O的直径为50 cm，弦ABCD，且AB=40 cm，CD=48 cm，求弦AB和CD之间的距离.【分析】（1）图形的位置关系是几何的一个重要方面，应逐步加强位置感的培养.（2）本题往往会遗忘或疏漏其中的一种情况.(1)【解】（1）当弦AB和CD在圆心同侧时，如图(1),作OGAB于G，交C

14、D于E，连结OB、OD.ABCD，OGAB，OECD.EG即为AB、CD之间的距离.OECD，OGAB，BG=11AB=40=20（cm）， 22奋飞教育-您值得信赖的一对一个性化辅导学校咨询：36517856DE=11CD=48=24（cm）. 22在RtDEO中，OE=OD2-DE2=252-242=7（cm）.在RtBGO中，OG=OB2-BG2=252-202=15（cm）.EG=OGOE=157=8（cm）.(2)（2）当AB、CD在圆心两侧时，如图(2)，同理可以求出OG=15 cm，OE=7 cm，GE=OGOE=157=22（cm）.综上所述，弦AB和CD间的距离为22 cm或

15、7 cm.【1】已知：AB交圆O于C、D，且ACBD.你认为OAOB吗？为什么？【2】 如图所示，是一个直径为650mm的圆柱形输油管的横截面，若油面宽AB=600mm，求油面的最大深度。奋飞教育-您值得信赖的一对一个性化辅导学校咨询：36517856【3】 如图所示，AB是圆O的直径，以OA为直径的圆C与圆O的弦AD相交于点E。你认为图中有哪些相等的线段？为什么？600B【4】 如图所示，OA是圆O的半径，弦CDOA于点P，已知OC=5，OP=3，则弦CD=_。【5】如图所示，在圆O中，AB、AC为互相垂直且相等的两条弦，ODAB，OEAC，垂足分别为D、E，若AC=2cm，则圆O的半径为_

16、cm。【6】 如图所示，AB是圆O的直径，弦CDAB，E为垂足，若AB=9，BE=1，则CD=_。E O A P O A B【7】 如图所示，在ABC中，C90，AB10，AC8，以AC为直径作圆与斜边交于点P，则BP的长为_。【8】如图所示，四边形ABCD内接于圆O，BCD=120，则BOD=_度。【9】如图所示，圆O的直径为10，弦AB的长为6，M是弦AB上的一动点，则线段的OM的长的取值范围是（ ）A. 3OM5 B. 4OM5C. 3OM5 D. 4OM5奋飞教育-您值得信赖的一对一个性化辅导学校咨询：36517856【10】 下列说法中，正确的是（ ）A. 到圆心的距离大于半径的点在

17、圆内 B. 圆的半径垂直于圆的切线C. 圆周角等于圆心角的一半 D. 等弧所对的圆心角相等【11】 若圆的一条弦把圆分成度数的比为1：3的两条弧，则劣弧所对的圆周角等于（ ）A. 45 B. 90 C. 135 D. 270【12】 如图所示，A、B、C三点在圆O上，AOC=100，则ABC等于（ ）A. 140 B. 110 C. 120 D. 130【13】ABC中，C=90，AB=4cm，BC=2cm，以点A为圆心，以3.5cm长为半径画圆，则点C在圆A_，点B在圆A_；【14】圆的半径等于2cm，圆内一条弦长23cm，则弦的中点与弦所对弧的中点的距离等于_；【15】 如图所示，已知AB

18、为圆O的直径，AC为弦，ODBC交AC于D，OD=2cm，求BC的长；A【16】 如图所示，破残的圆形轮片上，弦AB的垂直平分线交弧AB于点C，交B 弦AB于点D。已知：AB=24cm，CD=8cm。（1）求作此残片所在的圆（不写作法，保留作图痕迹）；（2）求（1）中所作圆的半径。【17】已知：如图所示，RtABC的两直角边BC=3cm，AC=4cm，斜边AB上的高为CD，若以C为圆心，分别以r1=2cm，r2=2.4cm，r3=3cm，为半径作圆，试判断点D与这三个圆的位置关系。奋飞教育-您值得信赖的一对一个性化辅导学校咨询：36517856B【18】在ABC中，C=90，AC=BC=4cm

19、，D是AB边的中点，以点C为圆心，4cm为半径作圆。则A、B、C、D四点在圆内有_。【19】等腰三角形ABC中，B、C为定点，且AC=AB，D为BC中点，以BC为直径作圆D。（1）顶角A等于多少度时，A在圆D上？ （2）顶角A等于多少度时，A在圆D内部？ （3）顶角A等于多少度时，A在圆D外部？【20】在半径为5cm的圆中，弦ABCD，AB=6cm，CD=8cm，求弦AB与CD之间的距离。【21】 如图所示，圆O的直径AB和弦CD交于E，已知AE=6cm，EB=2cm， CEA=30，求CD。AB【22】圆O中若直径为25cm，弦AB的弦心距10cm，求弦长。【23】 若圆的半径2cm，圆中一

20、条弦长1cm，则此弦中点到此弦所对劣弧中点之间的距离？【24】 圆内一条弦与直径的交角为30，且分直径为1cm和5cm两段，求弦心距，弦长？【25】 半径为5cm的圆O中有一点P，OP=4，则过P的最短弦长_，最长弦是_，【26】 如图所示，已知O是EPF的平分线上的一点，以O为圆心的圆心角的两边分别交于点A、B、C、D求证：PB=PD，若角的顶点P在圆上或圆内，上述还成立吗？请说明。奋飞教育-您值得信赖的一对一个性化辅导学校咨询：365178561. 过点O作OECD于ECE=EDAD=DBAOEBOEAO=OB2. 175mm 3.略4. 8 5. 2 6. 4 7. 3.6 8. 120

21、10. D 11. A 12. D 13.14. 1cm或3cm 15. BC=4cm 16. （1）图略（2）13cm17. 外、上、内 18. C、D 19. （1）A=90；（2）A为钝角； （3）A为锐角。20. 7cm或1cm 21. CD=2cm)22. 15cm 4-2cm 24. 1cm；42cm 25. 6cm，10cm26. （1）证明：过O作OEPB于E，OFPD于FOP平分EPFOE=OF，PE=PFAB=CD，则BE=DFPE+BE=PF+DFPB=PD（2）上述结论仍成立：如下图所示证明略。9. B 外部23. 内部、奋飞教育-您值得信赖的一对一个性化辅导学校咨询：

22、36517856A A EO FC PA=PC PA=PC1下列说法中正确的是（ ）A相等的圆心角所对的弧相等 B等弧所对的圆心角相等 C相等的弦所对的弦心距相等 D弦心距相等，则弦相等 2在半径为5cm为圆中，有一条长为6cm的弦，则圆心到此弦的距离为（ ）A3cm B4cm C5cm D6cm 3在两个半径不同的圆中，分别有面结论中正确的是（ ） ACB和D所对的两个圆心角相等 和所对的弦的弦心距相等和，若和的度数相等，那么下所对的弦和所对的弦相等4下列说法：等弧的度数相等；等弧的长度相等；度数相等的两条弧是等弧；长度相等的两条弧是等弧，其中正确的有（ ）A1个 B2个 C3个 D4个5如

23、图5，以O为圆心的两个同心圆，大圆的半径OA、OB分别和小圆相交于A、B，则下面正确的是（ ） A弦AB和弦AB相等 CBD的长度的度数的长度 的度数奋飞教育-您值得信赖的一对一个性化辅导学校咨询：36517856图56在O中，弦AB把O分成度数的比为15的两条弧，则A30 的度数是（ ） B45 C60 D9017在O中，弦AB所对的劣弧为圆的，圆的半径为4cm，则弦AB的长是（ ） 3Acm B2cm C2cm D4cm8如图8，点O是EPF的平分线上一点，以O为圆心的圆与角的两边分别相交于A、B和C、D，角平分线PO和O相交于G、H下列结论：ABC；PBPD；PAPC，其中正确的有（ ）

24、A1个 B2个 C3个 D4个图89弦AB把O分成12两部分，AB8cm，则弦AB的弦心距等于_10直径为20cm的圆中，有一条长为10cm的弦，则这条弦所对的圆心角的度数是_，这条弦的弦心距是_11在O中，AB是弦，OAB50，则弦AB所对的圆心角的度数是_，弦AB所对的两条弧的度数是_12在O中，OC是半径，弦EF过OC的中点且垂直于OC，则弦EF所对的圆心角的度数是_，弦EF的弦心距和弦EF的长的比是_13如图13，OA、OB是O的两条半径，P是是OB的中点，求证：PCPD的中点，点C是OA的中点，点D图1314如图14，AB、CD是O的直径，弦AECD，连结CE、BC，求证：BCCE（

25、用两种方法加以证明）奋飞教育-您值得信赖的一对一个性化辅导学校咨询：36517856图1415如图15，在ABCD中，以A为圆心，AB为半径作圆，交AD、BC于F、G，延长BA交A于E，且B65，求的度数图1516弦AB把O分成两条弧，它们的度数比为45，M为AB中点，则AOM（ ）A50 B80 C100 D16017在O中，AB、CD是弦，OE、OF是AB、CD的弦心距，若ABCD，则OE、OF的大小关系是（ ）AOEOF BOEOF COEOF D无法确定18在O中，AB和CD是两条平行弦，且AB、CD所对的圆心角分别是120、60，O的半径为6cm，则AB、CD之问的距离是_19如图1

26、9，在以O为圆心的同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D，AB2CD，1r弦AB的弦心距OPCD，小圆和大圆半径分别为r、R，则_2R图19 图2020如图20，O的半径OP10cm，弦AB过OP中点Q，且OQB45，则弦AB的弦心距是_cm，弦AB的长为_21如图21，AB是O的直径，点E、F分别是OA、OB的中点，且ECAB，FDAB，EC、FD交O于C、D两点，求证：奋飞教育-您值得信赖的一对一个性化辅导学校咨询：36517856图2122如图22，弦AB和CD相交于O内一点P，且OPBOPD，求证：（1）；（2）PAPC图2223如图23，O内接ABC中，ABAC，BAC120，并且BC

27、10cm，求O的半径OA图2324如图24，在O中，AB、CD是弦，点E、F是AB、CD的中点，并且，（1）求证：AEFCFE；（2）若EOF120，OE4cm，求：EF的长图24奋飞教育-您值得信赖的一对一个性化辅导学校咨询：3651785625如图25，AB是O的直径，弦CD和AB相交于P，且APC45，OQ是弦CD的弦心距，（1）求证：PCPD2OQ；（2）若O的半径为5cm，求PC2 PD2的值图2526如图26，如果和是O的两条弧，并且2，那么AB和2CD有怎样的大小关系?请证明你的结论图2627如图27，O内接ABC中，ABAC5cm，BC6cm，求O的半径图2728如图28，在O中，弦ABCD，延长AB到点E，延长CD到F，使得BEDF，过O作OPEF，垂足为P，求证：PEPF图28奋飞教育-您值得信赖的一对一个性化辅导学校咨询：3651785629如图29，AB是O直径，C、D是O上两点，且AB4cm，ACCD1cm，求BD的长图291B 2B 3B 4B 5D 6C 7D 8D 9 43cm 310120，5cm 1180，80或28012120，12313略 14略 15130 16B 17D 1833+3或33-3 192022（1）