272圆心角弧弦弦心距之间的关系很好很全很详细.docx
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272圆心角弧弦弦心距之间的关系很好很全很详细
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27.2圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系
【学习目标】
1.通过观察实验，使学生了解圆心角的概念.
2.掌握在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，就可以推出它们所对应的其余各组量也相等，以及它们在解题中的应用．
【主要概念】
【1】圆心角定义
在纸上任意画一个圆，任意画出两条不在同一条直线上的半径，构成一个角，这样的角就是圆心角.如图所示，∠AOB的顶点在圆心，像这样，顶点在圆心的角叫做圆心角．
【2】圆心角、弧、弦之间的关系定理
在同一个圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等．
【定理拓展】
1在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角，•所对的弦也分○
别相等
2在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角，•所对的弧也分○
别相等
综上所述，同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，就可以推出它们所对应的其余各组量也相等．
【经典例题】
【例1】下列说法中，正确的是（）
A.等弦所对的弧相等B.等弧所对的弦相等
C.圆心角相等，所对的弦相等D.弦相等所对的圆心角相等
【解析】根据弧、弦、圆心角的关系知：
等弦所对的弧不一定相等，圆心角相等，所对的弦相等缺少等圆或同圆的条件，所以也不对；弦相等所对的圆心角相等1
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缺少等圆或同圆的条件，弦所对的弧也不一定是同弧，所以不正确；等弧所对的弦相等是成立的.
【答案】B
【例2】如图2，同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D，已知AB=4，CD=2，AB的弦心距等于1，那么两个同心圆的半径之比为
（）
图2
A.3∶2B.∶2C.∶2D.5∶4
【解析】作OE⊥CD于E，则CE=DE=1，AE=BE=2，OE=1.
在Rt△ODE中，OD=2+12=2.
在Rt△OEB中，OB=BE2+OE2=4+1=.∴OB∶OD=∶2.
【答案】C
【例3】半径为R的⊙O中，弦AB=2R，弦CD=R，若两弦的弦心距分别为OE、OF，则OE∶OF等于（）
A.2∶1B.3∶2C.2∶3D.0
【解析】∵AB为直径，∴OE=0.
∴OE∶OF=0.
【答案】D
【例4】一条弦把圆分成1∶3两部分，则弦所对的圆心角为_____________.【解析】1×360°=90°，∴弦所对的圆心角为90°.4
【答案】90°
【例5】弦心距是弦的一半时，弦与直径的比是____________，弦所对的圆心角是____________.
【解析】OD⊥AB，OD=DB=AD.
设OD=x，则AD=DB=x.
在Rt△ODB中，∵OD=DB，OD⊥AB,
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∴∠DOB=45°.∴∠AOB=2∠DOB=90°，OB=OD2+DB2+x2+x2=2x.
∴AB∶BC=1∶2=2∶2.∴弦与直径的比为2∶2，弦所对的圆心角为90°.【答案】2∶290°
【例6】如图6，已知以点O为公共圆心的两个同心圆，大圆的弦AB交小圆于C、
D.
图6
（1）求证：
AC=DB；
（2）如果AB=6cm，CD=4cm，求圆环的面积.
【分析】求圆环的面积不用求出OA、OC，应用等量代换的方法.事实上，OA、OC的长也求不出来.
（1）证明：
作OE⊥AB于E，∴EA=EB，EC=ED.∴EA－EC=EB－ED，即AC=BD.
（2）解：
连结OA、OC.∵AB=6cm，CD=4cm，∴AE=11AB=3cm.CE=CD=2cm.22
∴S环=π·OA2－π·OC2=π（OA2－OC2）=π［（AE2＋OE2）－（CE2＋OE2）］
=π（AE2－CE2）=π（32－22）=5π（cm2）.
【例7】如图7所示，AB是⊙O的弦（非直径），C、D是AB上的两点，并且AC=BD.求证：
OC=OD.
图7
【分析】根据弧、弦、圆心角的关系得出.
证法一：
如图
（1），分别连结OA、OB.∵OA=OB，∴∠A=∠B.
又∵AC=BD，∴△AOC≌△BOD.∴OC=OD.
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证法二：
如图
（2），过点O作OE⊥AB于E，
∴AE=BE.
∵AC=BD，∴CE=DE.∴OC=OD.
（1）
（2）
【例8】如图8，⊙O的直径AB和弦CD相交于点E，已知AE=6cm，EB=2cm，∠CEA=30°，求CD的长
.
图8
【分析】如何利用∠CEA=30°是解题的关键，若作弦心距OF，构造直角三角形，问题就容易解决.
【解】过O作OF⊥CD于F，连结CO.
∵AE=6cm，EB=2cm，∴AB=8cm.∴OA=
在Rt△OEF中，
∵∠CEA=30°，∴OF=1OE=1（cm）.21AB=4（cm），OE=AE－AO=2（cm）.2
在Rt△CFO中，OF=1cm，OC=OA=4（cm），∴CF=OC2OF2=（cm）.又∵OF⊥CD，
∴DF=CF.
∴CD=2CF=2（cm）.
【例9】如图9，AB是⊙O的直径，CD是弦，AE⊥CD，垂足为E，BF⊥CD，垂足为F，我们知道EC和DF相等.若直线EF平移到与直径AB相交于P（P不与A、B重合）,在其他条件不变的情况下,结论是否依然成立?
为什么?
当EF∥AB时,情况又怎样?
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图9
【分析】考查垂径定理及三角形、梯形相关知识.可适当添加辅助线.
【解】当EF交AB于P时,过O作OM⊥CD于M,则
CM=DM.
通过三角形,梯形知识或构造矩形可证明AM=MF,∴EC=DF.
当EF∥AB时,同理作OM⊥CD于M,可证四边形AEFB为矩形.
所以EF=AB.且EM=MF,又由垂径定理有CM=MD,∴EC=DF.
【例10】如图10所示，AB、CD是⊙O的两条直径，弦BE=BD，则弧AC与弧BE是否相等？
为什么？
图10
【分析】欲求两弧相等，结合图形，可考虑运用“圆心角、弧、弦、弦心距”四量之间的“等对等”关系，可先求弧AC与弧BE所对的弦相等，也可利用“等量代换”的思想，先找一条弧都与弧AC以及弧BE相等.
【解】弧AC=弧BE.
原因如下：
法一：
连结AC，∵AB、CD是直径，
∴∠AOC＝∠BOD.∴AC＝BD.
又∵BE＝BD，∴AC＝BE.∴弧AC=弧BE.
法二：
∵AB、CD是直径，
∴∠AOC＝∠BOD.
∴弧AC=弧BD.
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∵BE＝BD，∴弧BE=弧BD.∴弧AC=弧BE.
【例11】如图11所示，AB是⊙O的弦，C、D为弦AB上两点，且OC=OD，延长OC、OD，分别交⊙O于点E、F.
试证:
弧AE=弧
BF.
图11
【分析】欲求弧相等，结合图形，可先求弧所对的圆心角相等，即求∠AOE＝∠BOF.
【证明】∵OC＝OD，
∴∠OCD＝∠ODC.
∵AO＝OB，∴∠A＝∠B.
∴∠OCD－∠A＝∠ODC－∠B，
即∠AOC＝∠BOD，
即∠AOE＝∠BOF.
∴弧AE=弧BF.
【例12】如图12，AB、CD、EF都是⊙O的直径，且∠1=∠2=∠3，弦AC、EB、DF是否相等？
为什么？
图12
【分析】应用圆心角、弧、弦的关系解决.证明弦相等往往转化成圆心角相等.
【解】在⊙O中，∵∠1=∠2=∠3，
又∵AB、CD、EF都是⊙O的直径，∴∠FOD=∠AOC=∠BOE.
∴弧DF=弧AC=弧BE.
∴AC=EB=DF.
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【例13】为美化校园，学校准备在一块圆形空地上建花坛，现征集设计方案，要求设计的方案由圆和三角形组成（圆和三角形个数不限），并且使整个图案成对称图形，请你画出你的设计方案图（至少两种）.
【解析】设计的基本思路是等分圆心角，或等分圆周，取得轴（或中心）对称的对应点，适当画圆或连线，设计出一些适合要求的图案.
【答案】根据题意画出如下方案供选用，如图,本题答案不唯一，只要符合条件即可
.
【例14】如图14，已知在⊙O中，AD是⊙O的直径，BC是弦，AD⊥BC，E为垂足，由这些条件你能推出哪些结论？
（要求：
不添加辅助线，不添加字母，不写推理过程，只写出6条以上的结论
）
图14
【解析】因AD⊥BC，且AD为直径，所以可以利用垂径定理得到一些结论，同时可证得AD垂直平分BC，据此又能得到许多结论.本题是2000年新疆建设兵团的模拟题，是一个开放性试题，开放到可以不写步骤，但它比书写证明一个结论步骤的题考查面更广，因为写出六个结论考生需要证明六个题.本题是一个考查考生发散思维能力和创新意识的好题.
【答案】
（1）BE=CE；
（2）弧BD=弧CD；（3）弧AB=弧AC
（4）AB=AC；（5）BD=DC；（6）∠ABC=∠ACB；
（7）∠DBC=∠DCB；（8）∠ABD=∠ACD；（9）AD是BC的中垂线；
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（10）△ABD≌△ACD；（11）O为△ABC的外心等等.
【例15】如图15，AB为⊙O的弦，P是AB上一点，AB=10cm，OP=5cm，PA=4cm，求⊙O的半径
.
图15
【分析】圆中的有关计算，大多都是通过构造由半径、弦心距、弦的一半组成的直角三角形，再利用勾股定理来解决.
【解】过O作OC⊥AB于C，连结OA，则AB=2AC=2BC.
在Rt△OCA和△OCP中，OC2=OA2－AC2，OC2=OP2－CP2，
∴OA2－AC2=OP2－CP2.
∵AB=10，PA=4，AB=2AC=2BC，∴CP=AB－PA－BC=1，AC=5.
∴OA2－52=52－1.∴OA=7，
即⊙O的半径为7cm.
【例16】⊙O的直径为50cm，弦AB∥CD，且AB=40cm，CD=48cm，求弦AB和CD之间的距离.
【分析】
（1）图形的位置关系是几何的一个重要方面，应逐步加强位置感的培养.
（2）本题往往会遗忘或疏漏其中的一种情况
.
（1）
【解】
（1）当弦AB和CD在圆心同侧时，如图
（1）,作OG⊥AB于G，交CD于E，连结OB、OD.
∵AB∥CD，OG⊥AB，∴OE⊥CD.∴EG即为AB、CD之间的距离.
∵OE⊥CD，OG⊥AB，
∴BG=11AB=×40=20（cm），22
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DE=11CD=×48=24（cm）.22
在Rt△DEO中，OE=OD2-DE2=252-242=7（cm）.
在Rt△BGO中，OG=OB2-BG2=252-202=15（cm）.
∴EG=OG－OE=15－7=8（cm）
.
（2）
（2）当AB、CD在圆心两侧时，如图
（2），同理可以求出OG=15cm，OE=7cm，∴GE=OG＋OE=15＋7=22（cm）.
综上所述，弦AB和CD间的距离为22cm或7cm.
【1】已知：
AB交圆O于C、D，且AC＝BD.你认为OA＝OB吗？
为什么？
【2】如图所示，是一个直径为650mm的圆柱形输油管的横截面，若油面宽AB=600mm，求油面的最大深度。
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【3】如图所示，AB是圆O的直径，以OA为直径的圆C与圆O的弦AD相交于点E。
你认为图中有哪些相等的线段？
为什么？
600
B
【4】如图所示，OA是圆O的半径，弦CD⊥OA于点P，已知OC=5，OP=3，则弦CD=____________________。
【5】如图所示，在圆O中，AB、AC为互相垂直且相等的两条弦，OD⊥AB，OE⊥AC，垂足分别为D、E，若AC=2cm，则圆O的半径为____________cm。
【6】如图所示，AB是圆O的直径，弦CD⊥AB，E为垂足，若AB=9，BE=1，则CD=_________________。
EOAPOAB
【7】如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝8，以AC为直径作圆与斜边交于点P，则BP的长为________________。
【8】如图所示，四边形ABCD内接于圆O，∠BCD=120°，则∠BOD=____________度。
【9】如图所示，圆O的直径为10，弦AB的长为6，M是弦AB上的一动点，则线段的OM的长的取值范围是（）
A.3≤OM≤5B.4≤OM≤5
C.3＜OM＜5D.4＜OM＜5
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【10】下列说法中，正确的是（）
A.到圆心的距离大于半径的点在圆内B.圆的半径垂直于圆的切线
C.圆周角等于圆心角的一半D.等弧所对的圆心角相等
【11】若圆的一条弦把圆分成度数的比为1：
3的两条弧，则劣弧所对的圆周角等于（）
A.45°B.90°C.135°D.270°
【12】如图所示，A、B、C三点在圆O上，∠AOC=100°，则∠ABC等于（）
A.140°B.110°C.120°D.130°
【13】△ABC中，∠C=90°，AB=4cm，BC=2cm，以点A为圆心，以3.5cm长为半径画圆，则点C在圆A___________，点B在圆A_________；
【14】圆的半径等于2cm，圆内一条弦长23cm，则弦的中点与弦所对弧的中点的距离等于_____________；
【15】如图所示，已知AB为圆O的直径，AC为弦，OD∥BC交AC于D，OD=2cm，求BC的长；
A
【16】如图所示，破残的圆形轮片上，弦AB的垂直平分线交弧AB于点C，交B弦AB于点D。
已知：
AB=24cm，CD=8cm。
（1）求作此残片所在的圆（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）求
（1）中所作圆的半径。
【17】已知：
如图所示，Rt△ABC的两直角边BC=3cm，AC=4cm，斜边AB上的高为CD，若以C为圆心，分别以r1=2cm，r2=2.4cm，r3=3cm，为半径作圆，试判断
点D与这三个圆的位置关系。
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B
【18】在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=4cm，D是AB边的中点，以点C为圆心，4cm为半径作圆。
则A、B、C、D四点在圆内有_____________。
【19】等腰三角形ABC中，B、C为定点，且AC=AB，D为BC中点，以BC为直径作圆D。
（1）顶角A等于多少度时，A在圆D上？
（2）顶角A等于多少度时，A在圆D内部？
（3）顶角A等于多少度时，A在圆D外部？
【20】
在半径为5cm的圆中，弦AB∥CD，AB=6cm，CD=8cm，求弦AB与CD之间的距离。
【21】如图所示，圆O的直径AB和弦CD交于E，已知AE=6cm，EB=2cm，∠CEA=30°，求CD。
A
B
【22】圆O中若直径为25cm，弦AB的弦心距10cm，求弦长。
【23】若圆的半径2cm，圆中一条弦长1cm，则此弦中点到此弦所对劣弧中点之间的距离？
【24】圆内一条弦与直径的交角为30°，且分直径为1cm和5cm两段，求弦心距，弦长？
【25】半径为5cm的圆O中有一点P，OP=4，则过P的最短弦长_________，最长弦是__________
，
【26】如图所示，已知O是∠EPF的平分线上的一点，以O为圆心的圆心角的两边分别交于点A、B、C、D求证：
PB=PD，若角的顶点P在圆上或圆内，上述还成立吗？
请说明。
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1.过点O作OE⊥CD于E
∴CE=ED
∴AD=DB
∴∆AOE≅∆BOE
∴AO=OB
2.175mm3.略
4.85.26.47.3.68.120
10.D11.A12.D13.
14.1cm或3cm15.BC=4cm16.
（1）图略
（2）13cm
17.外、上、内18.C、D19.
（1）∠A=90°；
（2）∠A为钝角；（3）∠A为锐角。
20.7cm或1cm21.CD=2cm）22.15cm4-2cm24.1cm；42cm25.6cm，10cm
26.
（1）证明：
过O作OE⊥PB于E，OF⊥PD于F
OP平分∠EPF
∴OE=OF，PE=PF
∴AB=CD，则BE=DF
∴PE+BE=PF+DF
∴PB=PD
（2）上述结论仍成立：
如下图所示
证明略。
9.B外部23.内部、
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AAE
OF
CPA=PCPA=PC
1．下列说法中正确的是（）．
A．相等的圆心角所对的弧相等B．等弧所对的圆心角相等C．相等的弦所对的弦心距相等D．弦心距相等，则弦相等2．在半径为5cm为圆中，有一条长为
6cm的弦，则圆心到此弦的距离为（）．
A．3cmB．4cmC．5cmD．6cm3．在两个半径不同的圆中，分别有面结论中正确的是（）．A．C．
＝
B．
和D．
所对的两个圆心角相等和
所对的弦的弦心距相等
和
，若
和
的度数相等，那么下
所对的弦和所对的弦相等
4．下列说法：
①等弧的度数相等；②等弧的长度相等；③度数相等的两条弧是等弧；④长度相等的两条弧是等弧，其中正确的有（）．
A．1个B．2个C．3个D．4个
5．如图5，以O为圆心的两个同心圆，大圆的半径OA、OB分别和小圆相交于A＇、B＇，则下面正确的是（）．A．弦AB和弦A′B′相等C．
＝
B．D．
的长度＝的度数＝
的长度的度数
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图5
6．在⊙O中，弦AB把⊙O分成度数的比为1∶5的两条弧，则
A．30°的度数是（）．B．45°C．60°D．90°
17．在⊙O中，弦AB所对的劣弧为圆的，圆的半径为4cm，则弦AB的长是（）．3
A．cmB．2cmC．2cmD．4cm
8．如图8，点O是∠EPF的平分线上一点，以O为圆心的圆与角的两边分别相交于A、B和C、D，角平分线PO和⊙O相交于G、H．下列结论：
①AB＝C；②
；③PB＝PD；④PA＝PC，其中正确的有（）．
A．1个B．2个C．3个D．4个
＝
图8
9．弦AB把⊙O分成1∶2两部分，AB＝8cm，则弦AB的弦心距等于___________．
10．直径为20cm的圆中，有一条长为10cm的弦，则这条弦所对的圆心角的度数是___________，这条弦的弦心距是___________．
11．在⊙O中，AB是弦，∠OAB＝50°，则弦AB所对的圆心角的度数是___________，弦AB所对的两条弧的度数是___________．
12．在⊙O中，OC是半径，弦EF过OC的中点且垂直于OC，则弦EF所对的圆心角的度数是___________，弦EF的弦心距和弦EF的长的比是___________．
13．如图13，OA、OB是⊙O的两条半径，P是
是OB的中点，求证：
PC＝PD．
的中点，点C是OA的中点，点D
图13
14．如图14，AB、CD是⊙O的直径，弦AE∥CD，连结CE、BC，求证：
BC＝CE．（用两种方法加以证明）
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图14
15．如图15，在□ABCD中，以A为圆心，AB为半径作圆，交AD、BC于F、G，延长BA交⊙A于E，且∠B＝65°，求的度数．
图15
16．弦AB把⊙O分成两条弧，它们的度数比为4∶5，M为AB中点，则∠AOM＝（）．
A．50°B．80°C．100°D．160°
17．在⊙O中，AB、CD是弦，OE、OF是AB、CD的弦心距，若AB＜CD，则OE、OF的大小关系是（）．
A．OE＜OFB．OE＝OFC．OE＞OFD．无法确定
18．在⊙O中，AB和CD是两条平行弦，且AB、CD所对的圆心角分别是120°、60°，⊙O的半径为6cm，则AB、CD之问的距离是___________．
19．如图19，在以O为圆心的同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D，AB＝2CD，
1r弦AB的弦心距OP＝CD，小圆和大圆半径分别为r、R，则＝___________．
2R
图19图20
20．如图20，⊙O的半径OP＝10cm，弦AB过OP中点Q，且∠OQB＝45°，则弦AB的弦心距是___________cm，弦AB的长为___________．
21．如图21，AB是⊙O的直径，点E、F分别是OA、OB的中点，且EC⊥AB，FD⊥AB，EC、FD交⊙O于C、D两点，求证：
＝．
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图21
22．如图22，弦AB和CD相交于⊙O内一点P，且∠OPB＝∠OPD，求证：
（1）＝；
（2）PA＝PC．
图22
23．如图23，⊙O内接△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，并且BC＝10cm，求⊙O的半径OA．
图23
24．如图24，在⊙O中，AB、CD是弦，点E、F是AB、CD的中点，并且＝，
（1）求证：
∠AEF＝∠CFE；
（2）若∠EOF＝120°，OE＝4cm，求：
EF的长．
图24
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25．如图25，AB是⊙O的直径，弦CD和AB相交于P，且∠APC＝45°，OQ是弦CD的弦心距，
（1）求证：
PC－PD＝2OQ；
（2）若⊙O的半径为5cm，求PC2PD2的值．
图25
26．如图26，如果和是⊙O的两条弧，并且＝2，那么AB和2CD有怎样的大小关系?
请证明你的结论．
图26
27．如图27，⊙O内接△ABC中，AB＝AC＝5cm，BC＝6cm，求⊙O的半径．
图27
28．如图28，在⊙O中，弦AB＝CD，延长AB到点E，延长CD到F，使得BE＝DF，过O作OP⊥EF，垂足为P，求证：
PE＝PF．
图28
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29．如图29，AB是⊙O直径，C、D是⊙O上两点，且AB＝4cm，AC＝CD＝1cm，求BD的长．
图29
1．B2．B3．B4．B5．D6．C7．D8．D9．43cm3
10．120°，5cm11．80°，80°或280°12．120°，1∶23
13．略14．略15．130°16．B17．D18．33+3或33-319．
20．
22．
（1）
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