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1、5RigidBody1011025706938 第五章 刚体的转动(Rotation of Rigid Body about a Fixed Axis)1 刚体的运动一.刚体( rigid body) 1.刚体 刚体是受力时形状和体积不改变的物体 -理想化模型。 刚体是特殊的质点系，其上各质点间的 相对位置保持不变。 2.刚体的运动形式 平动(translation)：可用质心的运动代表 转动(rotation)： 分 定轴转动(本章讨论) 定点转动(如陀螺的运动) 平面运动 (如车轮的运动) 一般运动：可分解为两种运动 随质心的平动 绕通过质心的轴的转动转动平面二.刚体定轴转动的描述(运动学

2、问题) 1.物理量 转动平面：过刚体上某点p垂直于转轴的 平面。转动中心：转动平面与轴的交点 op在转动平面内绕o作圆周运动 可用圆周运动的角量描述 刚体的运动。 (1)角位置： (2)角位移： dt (3)角速度： (矢量) 大小： 方向：沿轴(指向由右手确定)= (4)角加速度： (矢量) 大小:： 方向：沿轴 (加速转动)； (减速转动) 2.角量和线量的关系 = r (1)p点的线速度 r ：p点的矢径(由转动中心o引出) (2)p点的线加速度a = r + 切向加速度： at = r 法向加速度： an = 3.典型定轴转动 (1)匀速转动： = 0 = const. - 0 = t

3、(2) 2 - 02 = 2 ( - 0)匀加速转动： p 2 转动定律一.力矩 1.力对轴的矩 设力F在转动 平面内，作用 点在 p M轴 = r F 方向：沿轴 (由右手定)； r是 op 思考:如F不在转动平面内，M轴方向如何 确定? 2.力对固定点的矩 M点 = rF r 是 op ( o是某定点) 可以证明：M轴 是M点 沿z轴的投影 以下把M轴 记作M二.转动定律 1.推导 刚体看作是由很多质元组成 质元 i ：质量 mio 矢径ri (由转动中心引出) 外力Fi 内力 fi 由牛顿定律，对质元 mi有 Fi + fi = mi ai， (ai = ain + ait )以 ri对

4、等式作叉积(从左侧) riFi + ri fi = mi ri( ain + ait ) ri ain = 0 (为什么?) riait = ri( ri) = ri2 利用了a(bc) = (ac)b - (ab)c 于是有riFi + rifi = mi ri2对所有质元求和有 (riFi ) + ( ri fi) = (mi ri2)各项意义 (riFi )：各质元所受的外力矩之和, 即刚体所受的外力矩 ( rifi)：各质元所受的内力矩之和 可证 ( rifi) = 0 (见下) (mi ri2)： 称刚体的转动惯量(见下)， 写作 J = (mi ri2) 证明 ( rifi) =

5、0 每一对内力的内力矩之和都为零 对质元 i和 j，其内力矩之和为 rifi + rjfj = rifi + rj(-fi ) =( ri - rj)fi = 0 因 ( ri - rj)| fi 可知所有内力矩之和为零。 可得转动定律 M = J2.意义：刚体所受的合外力矩等于转动惯 量与角加速度的乘积。 如M一定，则 J三.转动惯量(moment of inertia) 1.定义 J = (mi ri2) 如刚体为连续体，则为 J = r2dm 2.意义：反映刚体转动惯性的大小 J大 转动惯性大 J和下列因素有关： 刚体的质量 刚体的质量分布 J1、J2、J3 谁大? 轴的方位m3.计算例

6、1 求小球m的 转动惯量。 解：m看作质点 J = mR2 例2质量为m的细圆环，求J。 解：把环分成无限 多个质量为dm 的小段，对每 个dm有 dJ = R2dm 对整个环有 J = R2dm = mR2R 例3薄圆盘 (质量 m，半径 R)，求J。 解：把盘分成无限 多个环。取其中 一个环(半径r，宽dr，质量 dm)， 其转动惯量 dJ = r2dmR2 2 整个盘的转动惯量 转动惯量表 (见教材p166)o4.平行轴定理 J = Jc + md 2 J对oo轴的转 动惯量 Jc对通过质心C的轴的转动惯量 d两平行轴间的距离 证明： J = miri2 = miri ri = mi(r

7、ci + d ) (rci + d ) = mi rci2 + mid2 +2(drci)mi = Jc +md2 +2d(mirci) 第3项中 mi rci = 0 (为什么?) 例求环对 oo轴 的转动惯量。 解: J = Jc + mR2 = 2mR2四.转动定律的应用 M a 例1如图滑轮系统,图中 各量已知。求绳中张力及 物体加速度(设m2m1)。 解：画受力图a = R (4)列动力学方程 联立各方程可得 222 注意： T1 T2 (m = 0时，有T1 = T2)mg 例2质量为m、长 为l的棒可绕轴o 转动。棒由水平自静止释放。求：(1)棒摆至角时的、； (2)棒在竖直位置

8、时所受的轴力。解：(1)求：棒在 位置时所受的力矩2 2J 由转动定律可得(2)求= )d 21/2 3 其中用了 (3)求棒在竖直位置时所受的轴力。Nx 设轴对棒的力为Nx、Ny(外力)， 由质心运动定理 y向 Ny - mg = macn x向 Nx = mact act = = 0 = /2时， = 0， Ny =3 定轴转动中的功能关系一.力矩的功 外力F的元功 dW = Fdr = F cos dr = Fcos rd = M d 末 力矩M的功 反映力矩的空间积累作用效果。二.转动动能 整个刚体的动能应等于各质元的动能之Ek = J 2 和。 三.定轴转动的动能定理2 由转动定律

9、W外 = Ek末 - Ek初 合外力矩的功等于动能的增量 思考:上式中“系统”是谁 ? 式中为何没有W内一项了?m四.定轴转动的功能原理 1.刚体的重力势能 在重力场中的刚体 质量为m重力势能 Ep = mighi = g(mihi) m 质心的高度 有 Ep = mghc机械能E = J2 + mghc 2.功能原理对于包括有刚体的系统，功能原理形式 仍为 W外 + W非保内 = E末 - E初若系统内只有保守内力作功，其机械能 亦守恒。 例用机械能守恒再解棒下摆问题(教材 P270)，并对比两种解法。4 刚体定轴转动的角动量定理和角动量 守恒定律 讨论：力矩对时间的积累效应一.刚体对轴的角

10、动量1.质点系对固定点的角动量质点对点的角动量 定义是L = r m 质点系对某固定点 的角动量为系内各 质点对该固定点的角动量的矢量和。如图刚体对固定点o的角动量为 L点 = rimii 2.刚体对轴的角动量 -刚体上各质元对各自转动中心的 角动量的矢量和 L轴 = ri(mii) = ri(ri) mi ， 利用a(bc) = (mi ri2) L轴 = J 可以证明：L轴 是L点 沿z轴的分量。 (以下L轴 记作 L )二.刚体对轴的角动量定理 1.微分形式dt 由转动定律， dt J不随t变， dt 有 刚体所受的(对轴的)外力矩等于刚体(对 轴的) 角动量的时间变化率 或写作 M d

11、t = dL 2.积分形式 对于一段时间过程有末 二.(对固定轴的)角动量守恒定律 1.如合外力矩等于零 则 L = J = const. 即转动过程中角动量(大小、方向)保持不 变 或 L末 = L初 J末末 = J初初 角动量守恒定律比转动定律适用范围更 广泛，这里可以有 J末 J初 2.转动系统由多个物体(刚体或质点)组成 同样可得角动量守恒定律 但系统内各物体的角动量必须是对同一 固定轴而言的。 演示:茹可夫斯基凳 回转仪 视频: 1.角动量守恒；2.直升飞机 例小球m以 速度0撞击质 量M长l上端 悬挂的棒，碰 后两者粘在一 起转动。求棒端升起的最大高度h。解：两过程题过程1：mM

12、非弹性碰撞 系统：mM 条件：外力轴力、重力 系统动量不守恒 外力矩为零 系统角动量守恒3过程 2：mM上摆 系统： mM-地球 条件： 外力-轴力， 但W外 = 0 内力-重力 (保守内力) E 守恒2选择棒最低端Ep = 0 联立(1)、(2)可得 h (略)*5 旋进(进动)一.进动 ( Precession) 1.进动：高速自转的物体其自转轴绕另一 轴转动的现象。飞轮轴的一端 放在支架上o点，当飞轮 高速旋转时，在重力矩的作用下，飞轮 轴在水平面内绕o旋转。 属非固定轴转动问题（属定点转动） 2.进动角速度 飞轮对点o的角动量为L (飞轮对定点o的角动量应为自转角动量与 进动角动量之和

13、，飞轮高速转动时， L自转 L进动， 故可认为飞轮的角动量仍 为L = J ) dt时间内L的增量为dL， 飞轮所受的重力矩(对点o )为 M = mgr由角动量定理 dL = Mdtdt内飞轮转过的角度L= L进动角速度 可见， M L 注：飞轮对o点的角动量应为 Lo = L进动对o +L自转对o 在飞轮高速转动时L自转对o L进动对o (后者可略) 对质量分布相对于自转轴对称的飞轮 L自转对o =L自转对轴 故 Lo L自转对轴二.应用 陀螺定向 枪膛来复线视频：车轮进动；来复线 转起来更稳(生活中的物理)以上只是近似讨论，当进动发生时，还有 章动现象。实际上飞轮的总角动量 L应等于自旋角动量与进动角动量的矢量和， 而上面只考虑了前者。 第五章结束 力学部分全部结束