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5RigidBody1011025706938
第五章刚体的转动
（RotationofRigidBodyabouta
FixedAxis）
§1刚体的运动
一.刚体（rigidbody）
1.刚体
·刚体是受力时形状和体积不改变的物体
---理想化模型。
·刚体是特殊的质点系，其上各质点间的
相对位置保持不变。
2.刚体的运动形式
·平动（translation）：
可用质心的运动代表
·转动（rotation）：
分
定轴转动（本章讨论）
定点转动（如陀螺的运动）
·平面运动（如车轮的运动）
·一般运动：
可分解为两种运动
随质心的平动
绕通过质心的轴的转动
转动平面
二.刚体定轴转动的描述（运动学问题）
1.物理量
·转动平面：
过刚体上某点p垂直于转轴的
平面。
·转动中心：
转动平面与轴的交点o
·p在转动平面内绕o作圆周运动
可用圆周运动的角量描述
刚体的运动。
（1）角位置：
（2）角位移：
dt
（3）角速度：
（矢量）
大小：
方向：
沿轴（指向由右手确定）
=
（4）角加速度：
（矢量）
大小:
：
方向：
沿轴
（加速转动）；（减速转动）
2.角量和线量的关系
=r
（1）p点的线速度
r：
p点的矢径（由转动中心o引出）
（2）p点的线加速度
a=r+
切向加速度：
at=r
法向加速度：
an=
3.典型定轴转动
（1）匀速转动：
=0
=const.
-0=t
（2）
2-02=2（-0）
匀加速转动：
p
§2转动定律
一.力矩
1.力对轴的矩
设力F在转动
平面内，作用
点在p
M轴=rF
方向：
沿轴（由右手定）；r是op
思考:
如F不在转动平面内，M轴方向如何
确定?
2.力对固定点的矩
M点=rF
r是op（o是某定点）
·可以证明：
M轴是M点沿z轴的投影
·以下把M轴记作M
二.转动定律
1.推导
·刚体看作是由很多质元组成
·质元i：
质量mi
o
矢径ri（由转动中心引出）
外力Fi
内力fi
·由牛顿定律，对质元mi有
Fi+fi=miai，（ai=ain+ait）
·以ri对等式作叉积（从左侧）
riFi+rifi=miri（ain+ait）
·riain=0（为什么?
）
riait=ri（ri）=ri2
[利用了a（bc）=（ac）b-（ab）c]
于是有riFi+rifi=miri2
·对所有质元求和有
（riFi）+（rifi）=（miri2）
·各项意义
（riFi）：
各质元所受的外力矩之和,
即刚体所受的外力矩
（rifi）：
各质元所受的内力矩之和
可证（rifi）=0（见下）
（miri2）：
称刚体的转动惯量（见下），
写作J=（miri2）
★证明（rifi）=0
每一对内力的内力矩之和都为零
对质元i和j，其内力矩之和为
rifi+rjfj=rifi+rj（-fi）
=（ri-rj）fi=0
[因（ri-rj）||fi]
可知所有内力矩之和为零。
·可得转动定律
M=J
2.意义：
刚体所受的合外力矩等于转动惯
量与角加速度的乘积。
如M一定，则J
三.转动惯量（momentofinertia）
1.定义J=（miri2）
如刚体为连续体，则为
J=r2dm
2.意义：
反映刚体转动惯性的大小
J大转动惯性大
J和下列因素有关：
·刚体的质量
·刚体的质量分布
·
J1、J2、J3
谁大?
轴的方位
m
3.计算
[例1]求小球m的
转动惯量。
解：
m看作质点
J=mR2
[例2]质量为m的细圆环，求J。
解：
把环分成无限
多个质量为dm
的小段，对每
个dm有dJ=R2dm
对整个环有
J=R2dm=mR2
R
[例3]薄圆盘（质量
m，半径R），求J。
解：
把盘分成无限
多个环。
取其中
一个环（半径r，宽dr，质量dm），
其转动惯量
dJ=r2dm
R2
2
整个盘的转动惯量
★转动惯量表（见教材p166）
o
4.平行轴定理
J=Jc+md2
J—对oo轴的转
动惯量
Jc—对通过质心C的轴的转动惯量
d—两平行轴间的距离
证明：
J=miri2=miriri
=mi（rci+d）（rci+d）
=mirci2+mid2+2（drci）mi
=Jc+md2+2d（mirci）
第3项中mirci=0（为什么?
）
·
[例]求环对oo轴
的转动惯量。
解:
J=Jc+mR2
=2mR2
四.转动定律的应用
M
a
[例1]如图滑轮系统,图中
各量已知。
求绳中张力及
物体加速度（设m2>m1）。
·
解：
·画受力图
a=R（4）
·列动力学方程
·联立各方程可得
2
2
2
注意：
T1T2（m=0时，有T1=T2）
mg
[例2]质量为m、长
为l的棒可绕轴o
转动。
棒由水平自
静止释放。
求：
（1）棒摆至角时的、；
（2）棒在竖直位置时所受的轴力。
解：
（1）求：
棒在位置时所受的力矩
2
2J
由转动定律可得
（2）求
=
）d
2
]1/2
3
其中用了
·
（3）求棒在竖直位置时所受的轴力。
Nx
设轴对棒的力为Nx、Ny（外力），
由质心运动定理
y向Ny-mg=macn
x向Nx=mact
act==0
·=/2时，=0，
Ny=
·
§3定轴转动中的功能关系
一.力矩的功
外力F的元功
dW=Fdr
=Fcosdr
=Fcosrd=Md
末
力矩M的功
反映力矩的空间积累作用效果。
二.转动动能
整个刚体的动能应等于各质元的动能之
Ek=J2
和。
三.定轴转动的动能定理
2
由转动定律
W外=Ek末-Ek初
合外力矩的功等于动能的增量
思考:
上式中“系统”是谁?
式中为何没有W内一项了?
m
四.定轴转动的功能原理
1.刚体的重力势能
在重力场中的刚体
质量为m
·重力势能
Ep=mighi=g（mihi）
m
质心的高度
有Ep=mghc
·机械能
E=J2+mghc
2.功能原理
·对于包括有刚体的系统，功能原理形式
仍为
W外+W非保内=E末-E初
·若系统内只有保守内力作功，其机械能
亦守恒。
[例]用机械能守恒再解棒下摆问题（教材
P270），并对比两种解法。
§4刚体定轴转动的角动量定理和角动量
守恒定律
讨论：
力矩对时间的积累效应
一.刚体对轴的角动量
1.质点系对固定点的角动量
·质点对点的角动量
定义是
L=rm
质点系对某固定点
的角动量为系内各
质点对该固定点的角动量的矢量和。
·如图刚体对固定点o的角动量为
L点=rimii
2.刚体对轴的角动量
---刚体上各质元对各自转动中心的
角动量的矢量和
L轴=ri（mii）
=ri（ri）mi，[利用a（bc）]
=（miri2）
L轴=J
可以证明：
L轴是L点沿z轴的分量。
（以下L轴记作L）
二.刚体对轴的角动量定理
1.微分形式
dt
由转动定律，
dt
J不随t变，
dt
有
刚体所受的（对轴的）外力矩等于刚体（对
轴的）角动量的时间变化率
或写作Mdt=dL
2.积分形式
对于一段时间过程有
末
二.（对固定轴的）角动量守恒定律
1.如合外力矩等于零
则L=J=const.
即转动过程中角动量（大小、方向）保持不
变或L末=L初
J末末=J初初
角动量守恒定律比转动定律适用范围更
广泛，这里可以有
J末J初
2.转动系统由多个物体（刚体或质点）组成
·同样可得角动量守恒定律
·但系统内各物体的角动量必须是对同一
固定轴而言的。
演示:
·茹可夫斯基凳
·回转仪
视频:
1.角动量守恒；2.直升飞机
·
[例]小球m以
速度0撞击质
量M长l上端
悬挂的棒，碰
后两者粘在一
起转动。
求棒端升起的最大高度h。
解：
两过程题
·过程1：
m—M非弹性碰撞
系统：
m—M
条件：
外力—轴力、重力
系统动量不守恒
外力矩为零系统角动量守恒
3
·过程2：
m—M上摆
系统：
m—M---地球
条件：
外力---轴力，但W外=0
内力---重力（保守内力）
E守恒
2
·选择棒最低端Ep=0
·
·联立
（1）、
（2）可得h（略）
*§5旋进（进动）
一.进动（Precession）
1.进动：
高速自转的物体其自转轴绕另一
轴转动的现象。
·飞轮轴的一端放在支架上o点，当飞轮
高速旋转时，在重力矩的作用下，飞轮
轴在水平面内绕o旋转。
·属非固定轴转动问题（属定点转动）
·
2.进动角速度
·飞轮对点o的角动量为L
（飞轮对定点o的角动量应为自转角动量与
进动角动量之和，飞轮高速转动时，
L自转>>L进动，故可认为飞轮的角动量仍
为L=J）
dt时间内L的增量为dL，
飞轮所受的重力矩（对点o）为
M=mgr
·由角动量定理
dL=Mdt
·dt内飞轮转过的角度
L
=
L
·进动角速度
可见，M
L
注：
飞轮对o点的角动量应为
Lo=L进动对o+L自转对o
在飞轮高速转动时
L自转对o>>L进动对o（后者可略）
对质量分布相对于自转轴对称的飞轮
L自转对o=L自转对轴
故LoL自转对轴
二.应用
·陀螺定向
·枪膛来复线
视频：
车轮进动；来复线
转起来更稳（生活中的物理）
★以上只是近似讨论，当进动发生时，还有
章动现象。
实际上飞轮的总角动量L应
等于自旋角动量与进动角动量的矢量和，
而上面只考虑了前者。
第五章结束
力学部分全部结束
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