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1、数量关系讲义整理数量关系讲义整理魏华刚 联系方式个人邮箱：weihuagang 个人博客： 行测解题逻辑以选项为中心：注意选项的布局题目难度分析 数字推理5=3+2、10=5+3+2 数学运算10=5+3+2、15=8+4+3 资料分析4=2+1+1不要奢望全部都会做，先扫视一遍题目重点做熟悉的题，适当放弃。题目越难越没有陷阱，简单题要注意陷阱。两则理论：一、条件反射 要强化记忆基本公式、技巧，提高熟练程度，形成条件反射。 二、内外兼修 通过反复的练习，化为内在素质。上篇 数学运算第一节 代入排除思想代入排除法： 是指将题目的选项直接代入题干当中判断选项正误的方法。这是处理客观单选题”非常行之

2、有效的方法，广泛应用到各种题型当中。可以与数字特征等其它方法配合使用。 第二节 特例思想如果题中比例关系较多，可用特例法去做。如果是加水溶液浓度是减小的，且减小幅度是递减的;如果是蒸发水，溶液浓度是增加的，且增加幅度是递增的。第三节 数字特性思想 数字特性法是指不直接求得最终结果，而只需要考虑最终计算结果的某种 数字特性”，从而达到排除错误选项的方法。掌握数字特性法的关键，是掌握一些最基本的数字特性规律。 （下列规律仅限自然数内讨论） 奇偶运算基本法则 【基础】奇数奇数=偶数 偶数偶数=偶数 偶数奇数=奇数 奇数偶数=奇数 【推论】 一、任意两个数的和如果是奇数，那么差也是奇数；如果和是偶数，

3、那么差也是偶数。 二、任意两个数的和或差是奇数，则两数奇偶相反；和或差是偶数，则两数奇偶相同。 整除判定基本法则 一、能被2、4、8、5、25、125 整除的数的数字特性 能被2（或 5 ）整除的数，末一位数字能被2（或 5 ）整除； 能被4（或25）整除的数，末两位数字能被4 （或25）整除； 能被8（或125）整除的数，末三位数字能被8（或125）整除； 一个数被2（或 5 ）除得的余数，就是 末一位数字被2（或 5）除得的余数一个数被4 （或25）除得的余数，就是 末两位数字被4（或25）除得的余数 一个数被8（或125）除得的余数，就是 末三位数字被8（或125）除得的余数 二、能被3

4、、9 整除的数的数字特性 能被3 （或9）整除的数，各位数字和能被3（或9）整除。 一个数被3（或9）除得的余数，就是其各位相加后被3（或9）除得的余数。 倍数关系核心判定特征 如果a :b= m :n (m,n互质) ，则 a 是m的倍数； b是n的倍数。 如果a= b(m,n互质) ，则 a 是m的倍数； b 是n的倍数。 如果a :b= m :n (m,n互质) ，则a b 应该是 m n 的倍数。求3个连续自然然数的最小公倍数，用它们的乘积除以其中两个的最大公约数。第四节 方程思想广泛适用于：经济利润类问题、和差倍比问题、行程问题、牛吃草问题、比例问题等。 一、设未知数原则 1 以便于

5、理解为准，设出来的未知数要便于列方程； 2 设题目所求的量为未知量。 二、消未知数原则 1 方程组消未知数时，应注意保留题目所求未知量，消去其它未知量 2 消未知数时注重整体代换 三、在实际做题时，还可以用有意义的汉字来代替未知数，这样会使题目更加简单直观 定方程(一般求其中的一个数量)，主要运用整体消去法。 不定方程（一般求整体），我们可以假设其中系数比较大的一个未知数等于0，使不定方程转化成定方程，则方程可解。第一章 计算问题模块第一节 裂项相加法裂项和=() （“小”指分母中最小的一个数，“大”指分母中最大的一个数，“差”指分母中一组的大数减小数）第二节 乘方尾数问题 乘方尾数问题核心口

6、诀 1) 底数留个位 2) 指数末两位除以4 留余数(余数为0 则看作4)3) 尾数是0、1、5、6的数，乘方尾数是不变的。第三节 整体消去法例题：1996199719971996-1996199619971997（把大数字改写成小数字加1）例题：（1+）（+）-（1+）（+）（可把减号左右公共部分分设为a、b）注意知识点：1、四位重复数字等于本身乘10001（即先写一个1，再补3个0和1个1，三、五位重复数字可依次类推）如：20092009=200910001 678678=6781001 200920092009=2009100010001 1001=711132、平均数思想：看到平均数就

7、应该算出总和，等差数列中，总项数为奇数项平均数为（总项数+1）2项，总项数为偶数项则为总项数除以2所得项与后一项的平均数。第二章 初等数学模块第一节 多位数问题多位数问题常用方法： 直接代入法在解决多位数问题时显得非常重要。 对于数页码问题，解题思路是：把个位页码、十位页码、百位页码分开来数。 页码（3位数）=+36 页码（4位数）=9第二节 余数相关问题余数问题核心基础公式 余数基本关系式：被除数除数=商余数 （0余数除数） 余数基本恒等式：被除数=除数商余数 同余问题核心口诀 “余同加余，和同加和，差同减差，除数最小公倍数作周期”余数问题：求具体数字，运用直接代入法。求数字个数：第一步，求

8、一共有多少数字。第二步求最小公倍数。第三步一共有多少个数字除以最小公倍数，商是几就有几个，余数不看。第三节 星期日期问题一年有52个星期加1天。一年以后是星期几：平年加1，闰日加2.第四节 等差数列问题求和公式：和=平均数项数=中位数项数项数公式：项数=+1末项=首项+（项数-1）公差级差公式：第N项第M项=（NM）公差第五节 周期相关问题第三章 比例问题模块 第一节 工程问题工程总量设为最小公倍数。第二节 浓度问题特例法十字交叉法：当出现了两种比例混合为总体比例时（即用增长之后增长率求得增长之前量的比），往往是十字交叉的应用，需要注意两点：1.分母要保持一致。2.减完之后的差距之比是前一个时

9、间点的人数(质量)之比。3.如是下降率则以为负数，大小顺序可改变。可解决所有混合型问题。第三节 概率问题1. 单独概率 2. 分步概率满足条件的每个步骤概率之积 3. 总体概率满足条件的各种情况概率之和 第四章 行程问题模块 第一节 平均速度问题 等距离平均速度公式： = 速度平均数比平均速度略小。= 当=1时， =（即时间相等时，路程比等于速度比） 当=1时， =（即速度相等时，路程比等于时间比） 当=1时， =（即路程相等时，时间和速度成反比）第三节 流水行船问题 流水行船问题提示： 船速 （静水速）+水速=顺水速、船速 （静水速）-水速=逆水速； 船速 （静水速）= 、水速= 第四节 环

10、形运动问题 环形运动问题中：异向而行，则相邻两次相遇的路程和为周长 同向而行，则相邻两次相遇的路程差为周长 同向而行相遇时间=周长速度和 异向而行相遇时间=周长速度差第五节 钟面问题1.快慢钟问题：用比例关系求解2.相交（重合）问题：分针速度每分钟1格，时针速度每分钟格，相对速度差为，可以把它转为追及问题求解。基本公式为T=+. (T为追及所用时间，为假设时针不动，分针和时针达到题目所要求的状态时分针所单独走的时间，即初始时间。)分、时针每隔小时重合一次，12小时重合11次，垂直22次。3.角度问题：分钟每走1分钟，时针转动0.5度，5分钟即一大格是30度，所有求角度问题均可变为已知角度加减时

11、针角度。第五章 计数问题模块 第一节 排列组合问题 排列组合问题是考生最头 的问题之一，形式多样，对思维的要求相对比较高。 掌握排列组合问题的关键是明确基本概念、熟练基本题型、背诵常用数字。 核心概念： 加法原理：分类用加法 乘法原理：分步用乘法 组合：与顺序无关 排列：与顺序有关第二节 容斥原理容斥原理核心公式： 1. 两个集合容斥：满足条件1 的个数+满足条件2 的个数-两个都满足的个数=总个数-两个 都不满足的个数 2. 三个集合容斥：如果是文字类的三个集合容斥题目，则用图示法解决，填写时从内向外，有时候可用代入法解决某些难题；如果是图形类的三个集合容斥题目，则用公式解决：|A B C|

12、=|A|+|B|+|C|-|A B|-|B C|-|A C|+|A BC|。 第三节 构造类题目注意条件限制 第四节 抽屉原理问题 处理数学运算当中抽屉原理问题最常用方法：运用 “最不利原则”。 第五节 多“1”少“1”问题植树问题：1.线性植树（直线、折线、曲线）特征：首尾不相连：棵树=总长间距+1 2.环形植树（圆、三角形、长方形）特征：首尾相连 ：棵树=总长间距3.楼间植树棵树=总长间距-1 把一张纸连续对折N次，形成2N层。 剪绳问题核心公式 一根绳连续对折n次，从中M 刀，则被剪成了(2M+1)段第六节 方阵问题假设方阵最外层一边人数为N ，则： 1、最外层人数=（N 1）4 ，也可

13、以推知a边形为an-a人。 2、实心方阵人数=N N=（最外层人数4+1）2 每边的人数=四边总人数4+1外边一层每边比里边一层每边多2人，外边一层总共比里边一层总共多8人。第七节 过河问题一、需要有一人将船划回； 二、最后一次过河只去不回”； 三、计算时间的时候多注意是“过一次分钟”还是 往返一次分钟”M个人过河，船上能载N个人，由于需要一人划船，故共需过河次（如a个人划船，就需要减a）。第六章 几何问题模块第一节 周长相关问题在处理三角形周长相关问题时要注意“三角形两边和大于第三边，两边差小于第三边。”第二节 面积相关问题几何最佳理论：1.平面图形中，若周长一定，越接近于圆，面积越大。2.

14、平面图形中，若面积一定，越接近于圆，周长越小。3.立体图形中，若表面积一定，越接近于球，体积越大。4.立体图形中，若体积一定，越接近于球，表面积越小。等比例放缩特性：一个几何图形其尺度变为原来的M倍，1.对应角度不发生变化。2.对应长度变为原来的M倍。3.对应面积变为原来的M2倍。4.对应体积变为原来的M3倍。特殊扇形面积等于半径乘直径。第三节表面积问题无论是堆放正方体还是挖正方体一次多4个面。第四节 体积问题切一刀多两面。第七章 杂题模块 第一节 年龄问题 “年龄”问题核心公式： 一、每过N 年，每个人都长N 岁。（适用于简单列方程解答的年龄问题）。 二、两个人的年龄差在任何时候都是固定不变

15、的。 三、直接代入法。 四、两个年龄之间的倍数关系是随着年份的递增而递减的。 五、等差数列解法。六、多人多时间点问题：运用表格法，从已知条件入手。甲对乙说：当我的岁数是你现在岁数时，你才4 岁。乙对甲说：当我的岁数到你现在岁数时，你将有67 岁。甲乙现在各有？第一步：大数减小数算出3倍年龄差第二步：除以3算出年龄差。第三步：小数字加年龄差是小的现在，大数字减年龄差得大的现在。第二节 经济利润相关问题经济利润相关问题核心公式： 一、总价单价销售量；总利润单件利润销售量 二、利润额售价成本；利润率利润/成本（售价成本）/成本 成本利润率=利润三、“二折”，即现价为原价的20% ，“九折”，即现价为

16、原价的90%第三节 牛吃草问题牛吃草问题核心公式： 草场原有草量=（牛数-每天长草量）天数 1. 因为我们不知道牛吃草的速度，不妨假设每头牛每单位时间吃草的量是 1”，牛数也就是牛数每单位时间吃草的量； 2. 草场上原有的草量是固定不变的，长草量即每单位时间草的生长速度，一般假设是X， 天数泛指时间，小时、天、年等； 3. 这里存在一个重要的识别特征，当考生看到“若用12 个注水管注水，9 小时可注满水池，若用9 个注水管，24 小时可注满水，现在用8 个注水管注水，那么可用多少小时注满水池？”等类似排比句的出现时，直接代入牛吃草问题公式，原有草量= （牛数-变量）时间，且注意牛吃草速度 1”

17、及变量X 的变化形式。第四节 统筹问题A、B、C、D 四人同时去某单位和总经理洽谈业务，A 谈完要18 分钟，B 谈完要12 分钟，C 谈完要25 分钟，D 谈完要6 分钟。如果使四人留住这个单位的时间总和最少，那么这个时间是多少分钟?（谁用的时间最短谁先谈，浪费其它人时间则为：64+123+182+25=121） 第五节 杂题专辑鸡兔同笼：一般情况下采用列方程的方法 。拆数求积问题的核心法则：将一个正整数拆成若干自然数之和，要使这些自然数的乘积尽可能大，那么我们应该这样来拆：全部拆成若干个3和少量2（1个2或者2个2）之和（也就是说只能拆成2 和3，而且要尽可能多的拆成3，2 的个数不多于两

18、个。）即可。换瓶子问题：把空瓶换酒转化为几空瓶等于几空瓶加一瓶酒。即新换瓶数= (结果只取整数部分，不四舍五入用去尾法)。注意只有求新换的才用去尾法，原来的还要用四舍五入法。翻硬币问题：N （N 必须为偶数）枚硬币，每次同时翻转 中N-1 枚，至少需要N 次才能使其完全改变状态；当N 为奇数时，每次同时翻转 中偶数枚硬币，无论如何翻转都不能使 完全改变状态。比赛计数问题：淘汰赛决出冠、亚军需要N-1场，决1、2、3、4名需N场。循环赛单循环为，双循环为(N为球队数)插板法：例题：把M个相同的球分为N组每组至少一个，有多少种方法？公式为：。注意限制条件：1.球相同。2.每组至少一个。错位排序问题

19、：常数需要记忆。1人0种，2人1种，3人2种，4人9种，5人44种，6人265种。下篇数字推理备考重点方向： 基础数列类型、六大基本题型、基本运算速度、少量计算技巧 数字推理解题逻辑第零章 基础数列类型基本数列： 注意质数数列与等比数列 1、常数数列 【例】7、7、7、7、7、7、7、7、7 2、等差数列 【例】2、5、8、11、14、17、20、23 3、 等比数列 【例】5、15、45、135、405、1215、3645、10935 注意等比数列小数化（只有一组小数可以命题0.5、1、1.5、2、2.5、）数列中有两个一样的数字可能属于等比数列。 4、 质数数列 2、3、5、7、11、13

20、、17、19 合数数列 4、6、8、9、10、12、14、15 【注】 1 既不是质数、也不是合数。 经典分解： 200 以内质数表 91 = 2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41 111= 43、47、53、59、61、67、71、73、79、 119= 101、103、107、109、113、127、131、137、139、149、151 133= 157、163、167、173、179、181、191、193、197、1995、 周期数列或循环数列 【例】1、3、4、1、3、4 6、对称数列 【例】1、3、2、5、2、3、17、 递推数列 【例】1、1、2

21、、3、5、8、13 发展趋势： 大数化、小数化、分数化、振荡化、无理化、综合化第一章 多级数列第一节 二级数列两两加减乘除，出现频率从高到低为：减、除、加、乘。减与除是一回事所以先试减，再试加。第二节 三级数列多级数列是目前数字推理考核中难度较低的一种题型，但缺点是难于识别，考生很难一眼看出就是多级数列。如果数列的题干和选项都是整数且大小波动不剧烈，不存在其它明显特征时，要谨记“两两做差”是数字推理考核的最本原，而做差多级数列也是目前每年必考的题型。三级数列只有减与加，加非常少见。 第二章 多重数列间隔数列的本质规律是奇数项、偶数项各自成规律，其识别特征是：数列比较长（大于等于八项）；数字大小

22、比较接近；有时有两个括号。分组数列也存在类似的识别特征，往往是两两分组的加减乘除。所谓奇偶项一体成规律是指：奇数项和偶数项互相依赖成规律，并不是各自单独成规律。有时候会出现偶数项等于前后两数之和或差。第三章 分式数列当一列数几乎都是分数时 ，它基本就是分式数列，我们要注意观察分式数列的分子、分母是一直递增、递减或者不变，并以此为依据找到突破口，通过“约分”、“反约分”实现分子、分母的各自成规律。第四章 幂次数列第一节 普通幂次数列【总结】负幂次数列存在一个明显的识别特征：当一列数中出现几个整数，而只有一两个分数而且是几分之一的形式时，这列数往往是负幂次数列。 负数开头，中间有0，则考虑用负数开

23、头的等差数列乘以幂指数列。第三节 幂次修正数列【总结】幂次数列的本质特征是：底数和指数各自成规律，然后再加减修正系数。对于幂次数列，考生要建立起足够的幂数敏感性。6？、12？、14？、21？、25？、34？、51？、312？，就优先考虑43 、112 （53 ）、122、63 、44 、73、83 、55 。 第五章递推数列(重难点)核心 递推数列具有加、减乘除倍数和乘方六种基本形态并包括 变式。 有三种考核方式：1.一项推一项。2.两项推一项。3.三项推一项。重点是二推一，然后是一推一，三推一很少。 提示 修正项要么是一个常数，要么就是一个基本数列。 前2项相同通常有2种思路：1.后项除以前

24、项。2.递推数列。一般不要做差。如果数列的题干和选项都是整数且大小波动不剧烈，不存在其它明显特征时，要优先考虑“两两做差”或者“两两做和”的多级数列，其次是两项推一项的倍数递推,常用公式为=()n和=n这是两个泛化公式，n一般是2或3，特殊情况是和（题中出现小数时用）。乘除可以出现小数，负数可用减法小减大出现。注意圈三法的应用，不要圈太大或太小的三个数。如果数列的题干和选项都是整数且大小波动很剧烈时（一般是5倍以上），往往是两项推一项涉及到乘法或者乘方的递推数列。 在递推数列中，如果题干两两数字间的倍数关系非常明显的话，往往是一项推一项的倍数递推，倍数往往是两倍或者三倍。 第六章 特殊数列小数

25、数列是整数与小数部分各自呈现规律，日期数列是年、月、日各自成规律，且注意临界点 （月份的28、29、30 或31 天）。在数字推理中，当题干和选项都是个位数，往往是取尾数列。取尾数列一般具有相加取尾、相乘取尾两种形式。当一列数都是几十、几百或者几千的“清一色”整数，且大小变动不稳定时，往往是与数位有关的数列。(省考出现较多)数字因数分解法：把数字分解开，观察规律，注意乘号前后分开看。对于图形数列，三角形、正方形、圆形等其本质都是一样的，其运算法则：加、减、乘、除、倍数和乘方。三角形数列的规律主要是：中间= （左角+右角-上角）N、中间= （左角-右角）上角；圆圈推理和正方形推理的运算顺序是：先观察对角线(百分之八十)成规律，然后再观察上下半部和左右半部成规律；九宫格则是每行或每列成规律（百分之八十每行成规律）当数列选项中有两个整数、两个小数时，答案往往是小数，且一般是通过乘除来实现的。当然如果出现了两个正数、两个负数诸如此类的标准配置时，答案也是负数。数字推理如果没有任何线索的话，记得要选择相对其他比较特殊的选项，譬如：正负关系、整分关系等等。