空间几何体表面积与体积公式大全.docx

1、空间几何体表面积与体积公式大全S全 2S底 S侧空间几何体的表面积与体积公式大全全（表）面积（含侧面积）1、 柱体1棱柱4 S侧 ch2圆柱J 2、 锥体1棱锥：S棱锥侧*c底h2圆锥：S圆锥侧托底l3、 台体1棱口： s棱台侧2圆台：s棱台侧4、 球体1球：S球4 r22球冠：略3球缺：略二、体积1、 柱体1棱柱卜V柱Sh2圆柱J 2、 锥体1棱锥 1” V柱 3S h2圆锥J 33、 台体球缺：略侧面积计算时使用母线|计算 三、拓展提高1、 祖暅原理：（祖暅：祖冲之的儿子）夹在两个平行平面间的两个几何体，如果它们在任意高度上的平行截 面面积都相等，那么这两个几何体的体积相等。最早推导出球体

2、体积的祖冲之父子便是运用这个原理实现的。2、 阿基米德原理：（圆柱容球）圆柱容球原理：在一个高和底面直径都是2r的圆柱形容器内装一个最大的 球体，则该球体的全面积等于圆柱的侧面积，体积等于圆柱体积的 -。3分析：圆柱体积：V圆柱S h （ r2）2r 2 r3 圆柱侧面积：S圆柱侧ch （2 r） 2r 4 f 因此：球体体积：V球-2 r3 4 r33 3球体表面积：S球4 r2即底面直径和高相等的圆柱体积等于与它等底等高的圆锥与同直径的球体积之和3、 台体体积公式公式： V台2h（S上JSS下S下）证明：如图过台体的上下两底面中心连线的纵切面为梯形 ABCD延长两侧棱相交于一点P。设台体上

3、底面积为S上，下底面积为St 高为h。易知：PDC s PAB，设 PE hi ,则 pf hi h由相似三角形的性质得：CD 匹PAB PF即：s上 h_（相似比等于面积比的算术平方根）S下 hi h整理得：hiShS VS上又因为台体的体积二大锥体体积一小锥体体积. 1 11 1二V台 3ST（h1 h） 3S上h1 3h（S下 S上） 下hS上 h 1 , S上 h 1代入：h1 TSHS上得: V台 SSJS（St z 3Sth 即：V台；S h（ S下 S上）3s下h 3h（S上 S上 S下 S下）二 V台 3h（S上 S上 St St）4、 球体体积公式推导分析：将半球平行分成相同

4、高度的若干层（n层），n越大，每一层越近似于圆柱，n 时，每一层都可以看作是一个圆柱。这些圆柱的高为 -，则:n每个圆柱的体积Vi Sh = r2丄半球的体积等于这些圆柱的体积之和22 2 0 n r ( r) n22 2 1r2 r ( r) n22 2 2 3 r (r)n2rn（口r)半球体积为：V20nr3nV2“ 1n 1 ().()n(n 1)半球3nrn3r 16(n(1时,r31二球体积为:5、1)n (2n 1) n(2丄)3r 1丄）（2n64 3V球3 r(1球体表面积公式推导分析：球体可以切割成若干（r . 2 27(r1 r22(口)n(n 1)(2n 1)26nr3

5、(1n)近似棱锥，当n 时，这些棱锥的高为球体半径，底面积为球面面积的-，则每一个棱锥的体积V1n v则所有的小棱锥体积之和为球体体积。即有:6、 正六面体（正方体）与正四面体1 13 ns球r1 4 3（1）体积关系如图：正方体切下四个三棱锥后,剩下的部分为正四面体 设正方体棱长为a， 则其体积为：v正方体a3 四个角上切下的每一个三棱锥体积为:1 1 1 2 1 3V三棱锥 3S h 3（2a）a 6a2猪妁1a中间剩下的正四面体的体积为：V正三棱锥 3sh 3 2 (2a) sin60 (、2a) 这样一个正方体可以分成四个三棱锥与中间一个正四面体 即：丄 4打3 a36a 3a a（2

6、）外接球正方体与其体内最大的正四面体有相同的外接球。 （理由：过不共面的四点确定一个球。）正方体与其体内最大的正面体有四个公共顶点。所以它们共球。(b)正方体内切球与正四面体的四条棱相切。(c)与正四面体四条棱相切的球半径 二正方体棱长的一半(d)设正四面体棱长为a，则与其棱都相切的球半径为ri有. 1 a 2有：r1 2 2 Ta7、 利用祖暅原理推导球体体积。构造一个几何体，使其截面与半球截面处处相等，根据祖暅原理可得两物体体积相等。证明：作如下构造：在底面半径和高都是r的圆柱内挖去一个与圆柱等底等高的圆锥。如图:在半球和挖去圆锥后的组合体的相同截面上作研究，设圆柱和半球底面半 径均为R，

7、截面高度均为h，倒圆锥的截面半径为r衛，半球截面半径为即：S1 S2，也就是说：半球与挖去倒圆锥后有圆柱在相同的高度上有相(1)正方体的内切球正方体的体对角线 3a3(d、兰 3(?)2 a3 :2(3)规律：1正方体的内切球与外接球的球心为同一点；2正方体的内切球与外接球的球心在体对角线上;3正四面体的内切球与外接球的的半径之比为：1： . 34正四面体内切球与外接球体积之比为：1： 3 35正四面体内切球与外接球表面积之比为：1： 36正方体外接球半径、正方体棱长、内切球半径比为： 、3：2： 17正四面体外接球、正四面体、内切球体积比为： 3、.3 :6:8正四面体外接球、正四面体、内切

8、球表面积比为： 3 :6:(1)正四面体的内切球9、 正四面体与球解题关键：利用体积关系思考内切球的球心到各个面的距离相等，球心与各顶点的连线恰好把一个正四面体分成四个三棱锥，每个三棱锥的底面为原正四面体的底面，高为内切球的半径r利用体积关系得： 4 (1 1 a2sin60 r) 1 (丄a2sin60) h3 2 3 2所以：r 1h，其中h为正四面体的高。由相关计算得：2 _h I； （；a、3）于a. 1r ；h612 aV正四机体:球18 ： 3(2)正四面体的外接球(3)规律:1正四面体的内切球与外接球的球心为同一点;2正四面体的内切球与外接球的球心在高线上;3正四面体的内切球与外

9、接球的的半径之和等于高；4正四面体的内切球与外接球的半径之比等于 1： 35正四面体内切球与外接球体积之比为：1： 276正四面体内切球与外接球表面积之比为：1： 97正四面体外接球半径、正四面体棱长、内切球半径比为：3.6:12:、. 69正四面体外接球、正四面体、内切球表面积比为： 9 :6.2:10、 圆柱与球(1)圆柱容球(阿基米德圆柱容球模型)(2)球容圆柱四、方法总结下面举例说明立体几何的学习方法思路：先分析球心的位置。因为正四面体是特殊的四面体，显然内切球与外接球的球心是重合的。且是正四面体的高线交点。再分析球心与一些特 殊的点、线、面的位置、数量关系。在内切球这种情况下，球心垂

10、直于每 一个面，且到每一个面的距离相等；在外接球这种情况下，球心到每个顶 点的距离相等。方法1展平分析：（最重要的方法）如图：取立体图形中的关键平面图形进行分析！连接DO并延长交平面ABC于点G,连接Go 连接DO并延长交BC于点E,则A、 在平面AED中，由相似知识可得：方法2:体积分析：（最灵活的方法）如图：设正四面体ABCD的内切球球心为0,连接AO、BO、CO、DO,则正四面体被分成四个完全一样的三棱锥设内切球半径为r，正四面体的棱长为a则正面四体的高为：ha2 (2、3a)卩3 2则:4个完全一样的三棱锥体积有:4 3 (-a2sin60 )3 2ar兰a12V内切球6216V外接球

11、(h3r)43(3 1283(1方法3:方程分析：（最常见的做法）如图：显然AO、DO是外接球半径，O。是内切球半径。在Rt DOo3中，由勾股写得可得以下方程:2DO2OOi2DO2i其中:DOiDO DOi AOiABCD代入方程解得:DOOOi、6a14V外接球33DO4V内切球33OOi.6216方法4:补形分析（最巧妙的思考） 把正四面体补成正方体进行分析。如图： 此时，正四面体与正方体有共同的外接球。正四面体的棱长为a，则正方体棱长为：；正方体的外接球直径为其体对角线二正四面体的外接球半径为:、64内切球半径为:4V外接球32_684V内切球33 6r 216方法5:坐标分析（最意

12、外的解法）建立如图所示的空间直角坐标系:6则 A (0, 0,齐)，B (0,0),C (1a , -6-a , 0) , D ( 1a ,0）,设球心位置为z ,)由 |0A | |OB| |0C| |OD |R 得:2OA OB2OC20D即:y (z 3)(yya)（X21a)22a) z=(x1 a 2(y解得:z竺a12，即：r12 a， 6 . 6 6a a a3 12 4.68V外接球V内切球4 3 、6 33 r 216 a主要方法:1、 公式的统一对于每个几何形体的面积与体积公式，我们很想找出一个万能公式全部适用于所有形体，但是这只是一个理想状况，实际上不可能，最多只可能适用

13、于一部分而已。即使是这样，也只减小我们对 公式的记忆难度，增强学习的灵活性。（1）梯形的面积公式：S 1（a b）h，同样适用于三角形、平行四2边形、长方形、正方形、扇形的面积计算。只是在使用时作微调而已。在分析三角形时，上底变为0;分析长方形、正方形、 平行四边形时，上下底变成一样；在分析扇形时，上底变为0, 下底变成弧长，高为半径。（2）台体的侧面积公式：s侧!（c c）h，同样适用于圆柱、棱柱、 圆锥、棱锥、球的侧面积计算。只是在使用时作微调而已。在分析圆柱、棱柱时，上下底周长变成一样；在分析棱锥时，上 底周长变为0;在分析圆锥时，上底周长变为 0,斜高变成母线；在分析球体的面积时，上下

14、底都取最大圆的周长，高取直径，即：S球 1（2 r 2 r）2r 4 J（3）台体的体积公式：v 3（s上 s上S下）h，同样适用于圆3柱、棱柱、圆锥、棱锥、球的体积计算。只是在使用时作微调 而已。在分析圆柱、棱柱时，上下底面积变成一样；在分析棱 锥时，上底面积变为0;在分析圆锥时，上底面积变为 0;在 分析球体的体积时，上底面积取0,下底取最大圆面积的2倍, 咼取直径，即：s球3（2 r）2r r2、 字母的统一在进行分析时，一般要把字母统一，这样便于进行比较！3、 关系的统一一注意相似的关系：面积比等于相似比的平方，体积比等于相似比的立方。球体、正方体、正多面体相似！二、转换思想1、 平面

15、与立体的转换这是立体几何的一种重要思想，即把立体的问题交给平面来解 决。但是要在特殊的面中进行，有时还要把面与面的关系交给 线与线来分析。如二面角的大小研究，通常会作垂直于两面的 交线的直线来分析。异面直线的有关系也要平移到同一面中研 究。在立体与平面的转换中平移是一种很实用的手段。通过平 移不在同一平面内的可转换为同一平面内， 不垂直的可转换为垂直来分析！2、 位置的转换3、形体的转换三、特殊思想1、特殊点（1）中点：特殊的线的中点是解题的钥匙！特别要关注！（ 2）顶点：几何体的顶点也是重要的点， 作用。其连线在分析时很有（ 3）垂足：高与面交点是比较特殊的点，解题时也要注意！2、特殊线（1）高线（2）中线（3）角平分线3、特殊面（1）平行的面（ 2）垂直的面（ 3）二面角特殊的面4、特殊关系（ 1）相似关系（ 2）比值关系四、标准化思想1、三视图的规则2、斜二测画法的规则3、空间直角坐标规则