《连续体力学》习题及解答4分析.docx

1、连续体力学习题及解答4分析4 守恒定律 应力 场方程(一) 概念、理论和公式提要4-1 质量守恒定律 物体只与物体有关，与物体的变形运动无关。假定质量在物体内是连续分布的，不存在集中质量；当物体的体积趋于零时，。 物体的质量是与观察者无关的客观的量。从以上关于的特性，应有 (4-1-1)这是质量守恒质量的总体形式。又有 (4-1-2) (4-1-3)与构形无关，即 (4-1-4)都独立于时间。式(4-1-4)对任意大小的构形都成立，于是可以引出 (4-1-5)上式是质量守恒定律的局部形式，称为Lagrange连续性方程。 对式(4-1-5)求物质导数，可得 (4-1-6)上式是质量守恒定律的动

2、力局部形式，称为Euler连续性方程。4-2 体积分的时间导数 输运定理 (1) 设为单位质量所具有(或携带)的力学(热学)量，内的质量密度，则是区域内所包含的总力学量。时间变化，都变化。此处所谓体积分的时间导数是内所包含的总力学量的时间变率。这个变率有两种不同的情况。如果区域的边界是物质边界，即位在上的质点始终不变，从而内的总质量不变，称这类体积分的时间导数为体积分的物质时间导数，简称为体积分的物质导数，记作，边界的运动速度等于边界上质点的速度。 如果区域是空间边界，位在边界上的质点不总在边界上，从而内的总质量不固定或不守恒；边界的运动速度正交于边界，它不等于边界上质点的速度。称此类体积分的

3、时间导数为体积分的空间时间导数，简称为体积分的空间导数，记作。两种时间导数有如下的关系 (4-2-1)式中横线表示先将点乘。 (2) 输运定理 体积分的物质导数对应于物体或其任何部分所占区域内包含的质量不变，即有。于是可证 (4-2-2)上式称为输运定理；其适用条件为：内的质量守恒，内连续，以及被积函数具有形式。4-3 应力张量 (1) 应力矢 Cauchy应力张量 变形体内任一点处方向上的应力矢为 (4-3-1)此处认为变形体内任一物质面元上所传递的内力可合成一合力，这一看法或假定设称为Euler-Cauchy应力原理，它适用于非极性物质。按此原理定义的应力称为Cauchy应力。假定在给定点

4、处任一方向的线性矢量值张量函数，从而有 (4-3-2)无关的Euler型二阶张量，称为Cauchy应力张量，其分量式为或者按一般习惯，记。Cauchy应力是实际存在于内的应力，一般地它是的函数。将后可以证明，对于非极性物质，是对称张量。 (2) Pila-Kirchhoff应力张量 Cauchy应力是实际存在于内的应力。有时，我们要在内讨论问题，为此要导出内与Cauchy应力等价的应力。记此等价应力张量为，等价的条件是内面元的内力等于面元上的内力，根据式(3-2-30)，可以导出是不对称的两点张量，称为第一Piola-Kirchhoff应力张量或Piola应力张量。有些作者将 (4-3-4)

5、为了得到内对称的应力张量，取 (4-3-5)是对称的Lagrange型张量，称为第二Pila-Kirchhoff应力张量或Pila-Kirchhoff应力张量。记 (4-3-6)称为Kirchhoff应力张量。由于应满足 (4-3-7)是文献中常用到的，用以量度应力状态的应力张量。4-4 动量守恒定律 (1) 线动量守恒定律常称为动量守恒定律，它可陈述为：系统的总动量的时间变率(物质导数)等于施加于系统的力系的合力 (4-4-1)式中的面元。应用输运定理及Green公式 (4-4-2)可得下列动量守恒定律的总体形式 (4-4-3)其局部形式为(即运动方程) (4-4-4)式中时，上式变为Eul

6、er型平衡方程。 在内动量守恒定律可表示为 (4-4-5)式中为Lagrange型矢性算子。上式的局部形式为 (4-4-6)或者 (4-4-7)式中。上式的分量式为 (4-4-8)式(4-4-7)或(4-4-8)是上的运动方程，所有的量都采用Lagrange描述。 (2) 角动量守恒定律 角动量又称为动量矩，它是相对于给定的参考点的。为简单计，取坐标原点为参考点。于是角动量守恒定律表示为 (4-4-9)应用动量守恒方程，经运算后，上式简化为其局部形式为上式要求 (4-4-10)即Cauchy应力张量是对称张量。 下列制约连续介质变形运动的方程称为场方程 Euler场方程(以为变量) (4-4-

7、11) Lagrange场方程(以为变量) (4-4-12)4-5 能量守恒定律 (1) 能量守恒方程的总体形式为 (4-5-1)式中 (4-5-2)分别是系统的总内能和总动能的物质导数，是施加于系统的外功率；是单位质量的内能。此处假定系统与外界没有热、电等非机械能的交换。 由式(4-5-2)的第三式可以导出 (4-5-3)或者记作 (4-5-4)上式称为机械能守恒定律，其中 (4-5-5)是系统的总应变能率或应力功率，是Cauchy应力张量，是伸长率张量。由式(4-5-1)和(4-5-4)可得 (4-5-6)上式的局部形式为 (4-5-7)上式表明，当系统与外界没有非机械能的交换时，内能的变

8、率等于应变能率。 (2) 功共轭应力 上面提到的是现时或瞬时构形内单位体积的应力功率。记为单位质量的应力功率，则有应用，由上式可以导出 (4-5-8)上式是的功共轭应力。由于不是任何应变的时间变率，所以不是任何应变的功共轭应力。将式(4-5-8)推广 (4-5-9)式中为应变的功共轭应力 已知同轴，其主方向为Lagrange主轴。记 (4-5-10)即同轴。已知(式3-8-23、3-8-27)于是由式(4-5-9)可得 (4-5-11)上式对任意的都成立，于是得到 (4-5-12)式中分别是相对于Euler主轴和Lagrange主轴的分量。例如Biot应变的功共轭应力相对于Lagrange主轴

9、的分量可如下计算：此时，于是代入式(4-5-12)，得到 (4-5-13)4-6 虚功率原理 由式(4-5-2)的第三式，应用Green公式，可以导出 (4-6-1)如果系统处于平衡状态，上式变为变形体的虚功率原理 (4-6-2)其中彼此独立，但分别满足平衡方程和几何方程当同时满足边界条件上标“”表示给定量，则式(4-6-2)可写作 (4-6-3)4-7 间断面和间断条件(1) 守恒方程的统一形式 守恒方程可统一写成 (9-7-1)式中为单位质量所拥有的力学量，它包括质量、动量、动量矩、动能、内能等等。为系统内分布的源，为流经系统边界的流动通量。上式适用于连续可微、质量不变的情况。例如 质量守

10、恒定律： 动量守恒定律： 能量守恒定律： (2) 场量有间断时的输运定理和Green公式 设在各有间断值，分别表示两侧的区域。于是输运定理应改为 (4-7-2)式中为扣去间断面后的区域，在。上式是有间断时的输运定理。 类似地可得有间断时的Green公式 (4-7-3) (3) 场量有间断时的守恒方程 动力连续条件 设在不连续，则守恒方程的统一形式为 (4-7-4)应用式(4-7-2)和(4-7-3)，上式可写成 (4-7-5)由于彼此独立，上式的局部形式为 (4-7-6) (4-7-7) 对于质量守恒定律，式(4-7-6)恒满足，式(4-7-7)变为 (4-7-8) 对于动量守恒定律，；代入式

11、(4-7-6)和(4-7-7)，分别得到 (4-7-9) (4-7-10)在推导式(4-7-10)时，已应用式(4-7-8)。上式称为间断面上的动力连续条件，它是间断面上动量守恒定律的局部形式。 如果，式(4-7-10)变为 (4-7-11)亦即在，应力矢连续，即在上，法向正应力和剪应力连续，只允许切向正应力间断。 当，如在波动问题中，波的传播速度甚大于质点的运动速度，这时式(4-7-10)可近似地写作 (4-7-12)式中。 (4) 间断面上的运动连续条件 设在，间断面的运动速度为应满足下式 (4-7-13)上式称为函数在间断面上的一阶运动条件。 设(质点的位移)，上式变为 (4-7-14)

12、上式称为间断面上的运动连续条件。如果，上式变为 (4-7-15)在小位移梯度情况下，则式(4-7-15)可近似地写成 (4-7-16)式中的是Gauchy应变张量或小变形条件下的应变张量。(二) 习题和解答 4-1 设为现时构形内的质量密度，分别是物体或其任一部分的现时构形和参考构形的体积，试证质量守恒方程可表示为式中是参考构形内的质量密度。 解 根据质量守恒定律，物体或其任一部分的质量保持不变，即有应用，将上式变换到参考构形内，得由于不因时间而变化，上式可写成由于可以是任意大小，从而由上式可得 (a)亦即，在参考构形内，质量密度为，从而有 (b)上式是质量守恒方程的Lagrange形式。 由

13、于不因时间而变，可得考虑到，则展开此式得到注意到，由上式可得 (c) (d)式(c)或(d)称为质量守恒方程的Euler形式，或者称为连续性方程。 4-2 试应用上题的结果(式c)，证明输运定理为矢量。 解 上题的式(c)表明，于是类似地可证式中。 4-3 设某物体在参考构形内的表面(边界)记为；证明式中。 解 已知(参阅第3章式3-6-6)，于是式中。 4-4 设分别是物质线段在参考和现时构形内的长度，证明式中 解 已知(第3章式3-6-5)，则或用分量表示式中。 4-5 设流经物质表面的通量的变化率。 解 在下面的式子中，。于是(要应用式3-6-6，参考习题4-3)式中。注意到及最后得到 4-6 证明式中是Euler时间导数。 解 在现时构形内，总动量为，于是根据输运定理，有 (a)又，应用Green公式，可得 (b)根据局部性假定，由式(a)和(b)，可得证毕。 4-7 证明可表示为 解 证毕。注意式中，表示Euler时间导数。 上式表明，在瞬时，区域(假定不变)内总质量的变率等于单位时间内经区域