《连续体力学》习题及解答4分析.docx

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《连续体力学》习题及解答4分析

4守恒定律应力场方程

（一）概念、理论和公式提要

4-1质量守恒定律

物体

只与物体有关，与物体的变形运动无关。

假定质量在物体内是连续分布的，不存在集中质量；当物体的体积趋于零时，

。

物体的质量

是与观察者无关的客观的量。

从以上关于

的特性，应有

（4-1-1）

这是质量守恒质量的总体形式。

又有

（4-1-2）

（4-1-3）

与构形无关，即

（4-1-4）

都独立于时间。

式（4-1-4）对任意大小的构形都成立，于是可以引出

（4-1-5）

上式是质量守恒定律的局部形式，称为Lagrange连续性方程。

对式（4-1-5）求物质导数，可得

（4-1-6）

上式是质量守恒定律的动力局部形式，称为Euler连续性方程。

4-2体积分的时间导数输运定理

（1）设

为单位质量所具有（或携带）的力学（热学）量，

内的质量密度，则

是区域

内所包含的总力学量。

时间变化，

都变化。

此处所谓体积分的时间导数是

内所包含的总力学量的时间变率。

这个变率有两种不同的情况。

如果区域的边界

是物质边界，即位在

上的质点始终不变，从而

内的总质量不变，称这类体积分的时间导数为体积分的物质时间导数，简称为体

积分的物质导数，记作

，边界的运动速度等于边界上

质点的速度。

如果区域

是空间边界，位在边界上的质点不总在边界上，从而

内的总质量不固定或不守恒；边界的运动速度

正交于边界，

，它不

等于边界上质点的速度

。

称此类体积分的时间导数为体积分的空间时间导数，简称为体积分的空间导数，记作

。

两种时间导数有如下的关系

（4-2-1）

式中横线表示先将

点乘。

（2）输运定理体积分的物质导数对应于物体或其任何部分所占区域

内包含的质量不变，即有

。

于是可证

（4-2-2）

上式称为输运定理；其适用条件为：

内的质量守恒，

内连续，以及被积函数具有形式

。

4-3应力张量

（1）应力矢Cauchy应力张量变形体内任一点处方向

上的应力矢为

（4-3-1）

此处认为变形体内任一物质面元上所传递的内力可合成一合力，这一看法或假定设称为Euler-Cauchy应力原理，它适用于非极性物质。

按此原理定义的应力称为Cauchy应力。

假定在给定点处任一方向

的线性矢量值张量函数，从而有

（4-3-2）

无关的Euler型二阶张量，称为Cauchy应力张量，其分量式为

或者按一般习惯，记

。

Cauchy应力是实际存在于

内的应力，一般地它是

的函数。

将后可以证明，对于非极性物质，

是对称张量。

（2）Pila-Kirchhoff应力张量Cauchy应力是实际存在于

内的应力。

有时，我们要在

内讨论问题，为此要导出

内与Cauchy应力等价的应力。

记此等价应力张量为

，等价的条件是

内面元

的内力

等于

面元上的内力

，根据式（3-2-30）

，可以导出

是不对称的两点张量，称为第一Piola-Kirchhoff应力张量或Piola应力张量。

有些作者将

（4-3-4）

为了得到

内对称的应力张量，取

（4-3-5）

是对称的Lagrange型张量，称为第二Pila-Kirchhoff应力张量或Pila-Kirchhoff应力张量。

记

（4-3-6）

称为Kirchhoff应力张量。

由于

应满足

（4-3-7）

是文献中常用到的，用以量度应力状态的应力张量。

4-4动量守恒定律

（1）线动量守恒定律常称为动量守恒定律，它可陈述为：

系统的总动量的时间变率（物质导数）等于施加于系统的力系的合力

（4-4-1）

式中

的面元。

应用输运定理及Green公式

（4-4-2）

可得下列动量守恒定律的总体形式

（4-4-3）

其局部形式为（即运动方程）

（4-4-4）

式中

时，上式变为Euler型平衡方程。

在

内动量守恒定律可表示为

（4-4-5）

式中

为Lagrange型矢性算子。

上式的局部形式为

（4-4-6）

或者

（4-4-7）

式中

。

上式的分量式为

（4-4-8）

式（4-4-7）或（4-4-8）是

上的运动方程，所有的量都采用Lagrange描述。

（2）角动量守恒定律角动量又称为动量矩，它是相对于给定的参考点的。

为简单计，取坐标原点为参考点。

于是角动量守恒定律表示为

（4-4-9）

应用动量守恒方程，经运算后，上式简化为

其局部形式为

上式要求

（4-4-10）

即Cauchy应力张量是对称张量。

下列制约连续介质变形运动的方程称为场方程

Euler场方程（以

为变量）

（4-4-11）

Lagrange场方程（以

为变量）

（4-4-12）

4-5能量守恒定律

（1）能量守恒方程的总体形式为

（4-5-1）

式中

（4-5-2）

分别是系统的总内能和总动能的物质导数，

是施加于系统的外功率；

是单位质量的内能。

此处假定系统与外界没有热、电等非机械能的交换。

由式（4-5-2）的第三式可以导出

（4-5-3）

或者记作

（4-5-4）

上式称为机械能守恒定律，其中

（4-5-5）

是系统的总应变能率或应力功率，

是Cauchy应力张量，

是伸长率张量。

由式（4-5-1）和（4-5-4）可得

（4-5-6）

上式的局部形式为

（4-5-7）

上式表明，当系统与外界没有非机械能的交换时，内能的变率等于应变能率。

（2）功共轭应力上面提到的

是现时或瞬时构形内单位体积的应力功率。

记

为单位质量的应力功率，则有

应用

，由上式可以导出

（4-5-8）

上式是

的功共轭应力。

由于

不是任何应变的时间变率，所以

不是任何应变的功共轭应力。

将式（4-5-8）推广

（4-5-9）

式中

为应变

的功共轭应力

已知

同轴，其主方向为Lagrange主轴

。

记

（4-5-10）

即

同轴。

已知（式3-8-23、3-8-27）

于是由式（4-5-9）可得

（4-5-11）

上式对任意的

都成立，于是得到

（4-5-12）

式中

分别是

相对于Euler主轴

和Lagrange主轴

的分量。

例如Biot应变

的功共轭应力

相对于Lagrange主轴

的分量可如下计算：

此时

，于是

代入式（4-5-12），得到

（4-5-13）

4-6虚功率原理

由式（4-5-2）的第三式，应用Green公式，可以导出

（4-6-1）

如果系统处于平衡状态，

，上式变为变形体的虚功率原理

（4-6-2）

其中

彼此独立，但分别满足平衡方程和几何方程

当

同时满足边界条件

上标“

”表示给定量，则式（4-6-2）可写作

（4-6-3）

4-7间断面和间断条件

（1）守恒方程的统一形式守恒方程可统一写成

（9-7-1）

式中

为单位质量所拥有的力学量，它包括质量、动量、动量矩、动能、内能等等。

为系统内分布的源，

为流经系统边界的流动通量。

上式适用于

连续可微、质量不变的情况。

例如

质量守恒定律：

动量守恒定律：

能量守恒定律：

（2）场量有间断时的输运定理和 Green公式

设在

各有间断值

，

，

分别表示

两侧的区域。

于是输运定理应改为

（4-7-2）

式中

为扣去间断面后的区域，在

。

上式是

有间断时的输运定理。

类似地可得

有间断时的Green公式

（4-7-3）

（3）场量有间断时的守恒方程动力连续条件设在

不连续，则守恒方程的统一形式为

（4-7-4）

应用式（4-7-2）和（4-7-3），上式可写成

（4-7-5）

由于

彼此独立，上式的局部形式为

（4-7-6）

（4-7-7）

对于质量守恒定律，

，式（4-7-6）恒满足，式（4-7-7）变为

（4-7-8）

对于动量守恒定律，

；代入式（4-7-6）和（4-7-7），分别得到

（4-7-9）

（4-7-10）

在推导式（4-7-10）时，已应用式（4-7-8）。

上式称为间断面上的动力连续条件，它是间断面上动量守恒定律的局部形式。

如果

，式（4-7-10）变为

（4-7-11）

亦即在

，应力矢连续，即在

上，法向正应力和剪应力连续，只允许切向正应力间断。

当

，如在波动问题中，波的传播速度

甚大于质点的运动速度

，这时式（4-7-10）可近似地写作

（4-7-12）

式中

。

（4）间断面上的运动连续条件

设在

，间断面的运动速度为

应满足下式

（4-7-13）

上式称为函数

在间断面上的一阶运动条件。

设

（质点的位移），上式变为

（4-7-14）

上式称为间断面上的运动连续条件。

如果

，上式变为

（4-7-15）

在小位移梯度情况下，

，则式（4-7-15）

可近似地写成

（4-7-16）

式中的

是Gauchy应变张量或小变形条件下的应变张量。

（二）习题和解答

4-1设

为现时构形内的质量密度，

分别是物体或其任一部分的现时构形和参考构形的体积，试证质量守恒方程可表示为

式中

是参考构形内的质量密度。

解根据质量守恒定律，物体或其任一部分的质量保持不变，即有

应用

，将上式变换到参考构形内，得

由于

不因时间而变化，上式可写成

由于

可以是任意大小，从而由上式可得

（a）

亦即

，在参考构形内，质量密度为

，从而有

（b）

上式是质量守恒方程的Lagrange形式。

由于

不因时间而变，可得

考虑到

，则展开此式得到

注意到

，由上式可得

（c）

（d）

式（c）或（d）称为质量守恒方程的Euler形式，或者称为连续性方程。

4-2试应用上题的结果（式c），证明输运定理

为矢量。

解上题的式（c）表明

，于是

类似地可证

式中

。

4-3设某物体在参考构形内的表面（边界）记为

；证明

式中

。

解已知

（参阅第3章式3-6-6），于是

式中

。

4-4设

分别是物质线段在参考和现时构形内的长度，证明

式中

解已知

（第3章式3-6-5），则

或用分量表示

式中

。

4-5设

流经物质表面

的通量的变化率。

解在下面的式子中，

。

于是（要应用式3-6-6，参考习题4-3）

式中

。

注意到

及

最后得到

4-6证明

式中

是Euler时间导数。

解在现时构形内，总动量为

，于是根据输运定理，有

（a）

又

，应用Green公式，可得

（b）

根据局部性假定，由式（a）和（b），可得

证毕。

4-7证明

可表示为

解

证毕。

注意式中

，表示Euler时间导数。

上式表明，在

瞬时，区域

（假定不变）内总质量的变率等于单位时间内经区域