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1、高等代数下期末复习072123第六章线性空间一 线性空间的判定线性空间中两种运算的8条运算规律缺一不可，要证明一个集合是线性空间必须逐条验证若要证明某个集合对于所定义的两种运算不构成线 性空间，只需说明在两个封闭性和8条运算规律中有一条 不满足即可。例：检验以下集合对于所指的线性运算是否构成实数域上 的线性空间：1） 次数等于 n（n 1）的实系数多项式的全体，对于多 项式的加法和数量乘法；2） 全体 n 阶反对称矩阵，对于矩阵的加法和数量乘法； 解： 1 ）否。因两个 n 次多项式相加不一定是 n 次多项式， 例如（xn 5）（ xn 2） 3 。2） n 阶矩阵的加法和和数量乘法满足线性空

2、间定义的 18条性质， 即全体 n 阶矩阵对矩阵的加法和和数量乘法 是构成线性空间的。“全体 n 阶反对称矩阵”是“ n 阶矩 阵”的子集，故只需验证反对称矩阵对加法与数量乘法是 否封闭即可。当 A， B 为反对称矩阵， k 为任意一实数时，有（ A+B ）=A +B =-A-B=-（A+B ），即 A+B 仍是反对称矩(kA) kA k( A) (kA),所以kA是反对称矩阵故反对称矩阵的全体构成线性空间。例： 齐次线性方程组 Ax=0 的全体解向量的集合，对于向 量的加法和数乘向量构成一个线性空间，通常称为解空 间。而非齐次线性方程组 Ax=b 的全体解向量的集合，在 上述运算下则不是线性

3、空间， 因为它们的两个解向量的和 已经不是它的解向量。二、基 维数 坐标定义:在线性空间V中，如果存在n个线性无关的向量1, 2丄,n使得：V中任一向量都可由1, 2丄,n 线性表示，那么，1, 2丄,n就称为线性空间V的一个 基，n称为线性空间V的维数。记作dimV= n。维数为n的 线性空间称为n维线性空间。定义(向量的坐标)：设1 , 2丄，n是线性空间Vn的一个基。对于任一元素 Vn ，总有且仅有一组有序数Xi,X2, ,Xn,使则Xi, X2, ,Xn这组有序数就称为元素a在基底1, 2,L , n 下的坐标，并记作 X X1,X2,L ,Xn T例： 在线性空间 R2 2中，就是R

4、2 2的一个基。R2 2的维数为4.任一 2阶矩阵因此A在a, a2 , a3, a4这个基下的坐标为 a,b,c, d T。若另取一个基1 0101 11 1B1c 2c ,B3“ c ,B400 0101 01 1则a cAb d(ab)B1(b c)B2(c d)B3 dB4因此A在BB2,B3, B4这个基下的坐标为a b,b c,c d,d T。例：考虑全体n阶对称矩阵构成的线性空间的基底和维数3）解：n阶矩阵的加法和和数量乘法满足线性空间定 义的18条性质，即全体n阶矩阵对矩阵的加法和和数量 乘法是构成线性空间的。“全体n阶对称矩阵”是“ n阶 矩阵”的子集，故只需验证对称矩阵对加

5、法与数量乘法是 否封闭即可。从而全体 n阶对称矩阵构成的线性空间。设有线性关系 a 1 b 2 c 3 d 4,a b c d 1a b c d 2则 abed 1 ,a b c d 1可得在基1, 2, 3, 4下的坐标为41 -,c4例：在P4中，由齐次方程组 确定的解空间的基与维数。解：对系数矩阵作行初等变换，有 所以解空间的维数是2，它的一组基为例：设V1与V2分别是齐次方程组X1 X2 . Xn 0,X1 X2 . Xn 1 X.的解空间，证明：P0 V1 V2.证： 由于治X2 . Xn 0的解空间是n1维的，其基为 1 ( 1,1,0,.,0), 2 ( 1,0,1,.,0),.

6、, n 1 ( 1,0,0,.,1)而由Xi X2 . Xn 1 Xn知其解空间是1维的，令X. 1,则其基为 (1,1，,1).且1，2,，n 1，即为Pn的一组基，从 而 Pn V1 V2.又dim(Pn) dim(VJ dim(V2),(也可由交为零向量知)三、基变换与坐标变换基变换： 设 1, 2,n及1, 2, n 是线性空间Vn中的两个基，若或简记为a11a12a1n=( 1, 2, ,n)a21a22a2nan1an2ann=( 1, 2, ,n)A()则矩阵 A 称为由基 1,2J Jn 到基1, 2, , n的过渡矩阵。()式称为基变换公式.坐标变换：设Vn中的元素，在基1,

7、 2, , n下的坐标为X1, X2 , ,Xn T，在基1, 2, , n下的坐标为y1,y2, ,yn标变换公式若两个基满足关系式( 6-2)，则有 坐y2xn yn yn xn第七章 线性变换一、线性变换的定义线性空间 V 到自身的映射称为 V 的一个变换 . 定义： 线性空间 V 的一个变换 A 称为线性变换，如果 对于V中任意的元素,和数域P中任意数k ,都有A ( )=A ( )+ A ( );A(k )=Ak( ).一般用花体拉丁字母A, B,表示V的线性变换，A ()或A代表元素 在变换A下的像.例 判别下面所定义的变换那些是线性的，那些不是：1) 在线性空间V中，A ,其中

8、V是一固定的向量；2) 在线性空间V中，A 其中 V是一固定的向量；2)当 0时,是; 当 0时,不是。3) 不是 .例 如 当 (1,0,0) , k 2 时 , k A ( ) (2,0,0) ,A(k ) (4,0,0) ,A(k ) k A( ) 。4)是. 因取 (x1,x2,x3), (y1,y2,y3), 有A( )= A(x1 y1,x2 y2,x3 y3)= (2x1 2y1 x2 y2,x2 y2 x3 y3,x1 y1)= (2x1 x2,x2 x3,x1) (2y1 y2,y2 y3,y1)= A + A ，A(k ) A (kx1,kx2 ,kx3)= kA( )，3

9、故 A 是 P3 上的线性变换。二、线性变换关于基的矩阵定义：设1, 2, , n是数域P上n维线性空间v的一组基，A是V中的一个线性变换.基向量的像可以被 基线性表出：用矩阵表示就是A ( 1, 2, )n) = (A(i), A(2),，A( n)=( 1, 2, , n)A其中矩阵A称为线性变换A在基1，2， ，n下的矩阵.定理：设线性变换A在基1，2 , , n下的矩阵是A ,向量 在基1, 2， ，n下的坐标是(Xi，X2, ,X门)，则A 在基1, 2, , n下的坐标(2, , Yn)可以按公式计算.例：在空间Pxn中，线性变换D f(X) f (X)x2 xn 1在基1,x，2

10、P ，1)!下的矩阵是三、同一个线性变换在不同基下的矩阵的关系.线性变换的矩阵是与空间中一组基联系在一起的 .一般说来，随着基的改变，同一个线性变换就有不同的矩阵. 为了利用矩阵来研究线性变换，有必要弄清楚线性变换的 矩阵是如何随着基的改变而改变的.定理：设线性空间V中线性变换A在两组1， 2， ， n (6)1, 2 , , n (7)下的矩阵分别为A和B，从基(6 )到(7)的过渡矩阵 是 X ，于是 B X 1AX .定理告诉我们，同一个线性变换A在不同基下的矩阵之间的关系为 相似 .定义：设A，B为数域P上两个n级方阵，如果 可 以找 到 数 域 P 上 的 n 级 可 逆 方阵 X

11、， 使 得1B X AX，就说A相似于B，记作A B.相似是矩阵之间的一种关系， 这种关系具有下面三个 性质：1. 反身性：A A2. 对称性：如果A B，那么B A.3. 传递性：如果A B , B C,那么A C.线性变换在不同基下所对应的矩阵是相似的；反过 来，如果两个矩阵相似，那么它们可以看作同一个线性变 换在两组基下所对应的矩阵 .矩阵的相似对于运算有下面的性质 .1如果 B1 X A1X ,B2 X A2X ，那么B1 B2 X 1(A1 A2)X ,由此可知，如果B X 1AX，且f (x)是数域P上一 多项式，那么利用矩阵相似的这个性质可以简化矩阵的计算. 例：R3上的线性变换

12、T在基10012 11 0,11,1 0下的矩阵为A01 200111 1则基在1,22 ,3下的矩阵为(A)141141(A)011 ( B)044121121121242(C)0121 ( D)0241112223例：已知P中线性变换A在基1 =(-1,1,1), 2 =(1,0,-1), 3 =(0,1,1)下的矩阵是1 0 11 1 0， 求a在基1 2 11=(1,0,0), 2 =(0,1,0), 3 =(0,0,1)下的矩阵。1 1 0解：因为(1 , 2 , 3 )=( 1 , 2， 3) 1 0 1，所以1 1 1110B X 1AX = 1 0 11 1 1 1 2 1 1

13、 0 11 1 22 2 0 。302四、线性变换的特征值和特征向量 定义：设A是数域P上线性空间V的一个线性变换,如果 对于数域 P 中一数 , 存在一个非零向量 , 使得A = （ 1）那么 称为 A 的一个特征值 , 而 叫做 A 的属于特征值 的一个特征向量 .如果 是线性变换 A 的属于特征值 的特征向量，那 么 的任何一个非零倍数 k 也是 A 的属于特征值 的特 征向量 . 这说明特征向量不是被特征值所唯一决定的 . 相 反，特征值却是被特征向量所唯一决定的，因为，一个特 征向量只能属于一个特征值 .特征值与特征向量的求法： 确定一个线性变换 A 的一个特 征值与特征向量的方法可

14、以分成以下几步：1. 在线性空间 V 中取一组基2. 求出A的特征多项式 E A在数域P中全部的根，它们也就是线性变换 A的全部特征值;3. 把所求得的特征值逐个地代入方程组XiX2（），对于每一个特征值，Xn解方程组（），求出一组基础解系，它们就是属于这个特征值的几个线性无关的特征向量在基 1，2，门下的坐标，这样，也就求出了属于每个特征征的全部线性无 关的特征向量A的特征值，A的属于这个矩阵A的特征多项式的根有时也称为 而相应的线性方程组（）的解也就称为 特征值的特征向量.例设线性变换A在基1, 2, 3下的矩阵是求A的特征值与特征向量例设矩阵A为142A 0340413(1)问A能否相似

15、于对角阵？(2)若能，求一个可逆矩阵1P ,使得P AP为对角阵.例在空间Pxn中，线性变换D f(x) f (x)x2 xn 1 在基1，xr2!，(T1)!下的矩阵是D的特征多项式是因此，D的特征值只有0.通过解相应的齐次线性方程组 知道，属于特征值0的线性无关的特征向量组只能是任一 非零常数.这表明微商为零的多项式只能是零或非零的常 数五、线性变换的值域与核定义：设A是线性空间V的一个线性变换，A的全体像组成的集合称为 A 的值域，用 AV 表示.所有被 A 变成 零向量的向量组成的集合称为 A 的核，用 A 1(0)表示.若用集合的记号则AV = A | VA 1(0)= | A 0,

16、 V线性变换的值域与核都是 V 的子空间 .1AV的维数称为A的秩，A (0)的维数称为A的零度.第九章 欧氏空间、欧氏空间举例 例1在线性空间Rn中，对于向量(a1,a2, ,an),(bi,b2, ,bn),( , ) a1b1 a2b2anbn. (1)定义内积则内积(1)适合定义中的条件，这样Rn就成为一个欧 几里得空间 . 仍用来表示这个欧几里得空间 .例2在Rn里,对于向量(a1,a2, ,an), (b1,b2, ,bn) 定义内积( , ) a1b1 2a2b2 nanbn.则内积(1)适合定义中的条件，这样Rn就也成为一个欧几 里得空间.对同一个线性空间可以引入不同的内积 ,

17、 使得它作成 不同的欧几里得空间 .例3在闭区间【a，b】上的所有实连续函数所成的空间C(a,b)中,对于函数f(x),g(x)定义内积b( f(x),g(x) a f(x)g(x)dx.C(a，b)构成一个欧几里得空间.柯西- 布涅柯夫斯基不等式 ：即对于任意的向量 , 有当且仅当 , 线性相关时，等式才成立 .对于例 1 的空间 Rn， (5) 式就是对于例 2 的空间 C(a,b)， (5) 式就是要求：正交矩阵的定义、判断、性质定理：对于任意一个n级实对称矩阵，A都存在正交 矩阵T,使T 1AT TAT 成对角形。定理： 任意一个实二次型都可以经过正交的线性替换变成平方和2 2 21y1 2 y2 n yn,其中平方项的系数 1，2， ，n就是矩阵A的特征多 项式全部的根列举注意：正定矩阵的判断与性质 正定二次型的判断 判断条件）二例题选讲 例 求齐次线性方程组 的解空间的一组标准正交基。解： 首先可求得基础解系为 的交化得单位化得1, 2 , 3即为所求的标准正交基