高等代数下期末复习072123.docx
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高等代数下期末复习072123
第六章
线性空间
一线性空间的判定
线性空间中两种运算的8条运算规律缺一不可，要
证明一个集合是线性空间必须逐条验证．
若要证明某个集合对于所定义的两种运算不构成线性空间，只需说明在两个封闭性和8条运算规律中有一条不满足即可。
例：
检验以下集合对于所指的线性运算是否构成实数域上的线性空间：
1）次数等于n（n1）的实系数多项式的全体，对于多项式的加法和数量乘法；
2）全体n阶反对称矩阵，对于矩阵的加法和数量乘法；解：
1）否。
因两个n次多项式相加不一定是n次多项式，例如
（xn5）（xn2）3。
2）n阶矩阵的加法和和数量乘法满足线性空间定义的1~8条性质，即全体n阶矩阵对矩阵的加法和和数量乘法是构成线性空间的。
“全体n阶反对称矩阵”是“n阶矩阵”的子集，故只需验证反对称矩阵对加法与数量乘法是否封闭即可。
当A，B为反对称矩阵，k为任意一实数时，有
（A+B）=A+B=-A-B=-（A+B），即A+B仍是反对称矩
（kA）kAk（A）（kA）,所以kA是反对称矩阵
故反对称矩阵的全体构成线性空间。
例：
齐次线性方程组Ax=0的全体解向量的集合，对于向量的加法和数乘向量构成一个线性空间，通常称为解空间。
而非齐次线性方程组Ax=b的全体解向量的集合，在上述运算下则不是线性空间，因为它们的两个解向量的和已经不是它的解向量。
二、基维数坐标
定义:
在线性空间V中，如果存在n个线性无关的向量
1,2丄,n使得：
V中任一向量都可由1,2丄,n线性表示，那么，1,2丄,n就称为线性空间V的一个基，n称为线性空间V的维数。
记作dimV=n。
维数为n的线性空间称为n维线性空间。
定义（向量的坐标）：
设1,2丄，n是线性空间Vn的一
个基。
对于任一元素Vn，总有且仅有一组有序数
Xi,X2,,Xn,使
则Xi,X2,,Xn这组有序数就称为元素a在基底
1,2,L,n下的坐标，并记作XX1,X2,L,XnT
例：
在线性空间R22中，
就是R22的一个基。
R22的维数为4.
任一2阶矩阵
因此A在a,a2,a3,a4这个基下的坐标为a,b,c,dT。
若另取一个基
10
1
0
11
11
B1
c"2
c,B3
“c,B4
0
00
1
0
10
11
则
ac
A
bd
（a
b）B1
（bc）B2
（cd）B3dB4
因此A在B「B2,B3,B4这个基下的坐标为
ab,bc,cd,dT。
例：
考虑全体n阶对称矩阵构成的线性空间的基底
和维数
3）解：
n阶矩阵的加法和和数量乘法满足线性空间定义的1〜8条性质，即全体n阶矩阵对矩阵的加法和和数量乘法是构成线性空间的。
“全体n阶对称矩阵”是“n阶矩阵”的子集，故只需验证对称矩阵对加法与数量乘法是否封闭即可。
从而全体n阶对称矩阵构成的线性空间。
设有线性关系a1b2c3d4,
abcd1
abcd2
则abed1,
abcd1
可得在基1,2,3,4下的坐标为
4°
1-,c
4
例：
在P4中，由齐次方程组确定的解空间的基与维数。
解：
对系数矩阵作行初等变换，有所以解空间的维数是2，它的一组基为
例：
设V1与V2分别是齐次方程组
X1X2...Xn0,X1X2...Xn1X.的解空间，证明：
P0V1V2.
证：
由于治X2...Xn0的解空间是n—1维的，其
基为1（1,1,0,...,0）,2（1,0,1,...,0）,...,n1（1,0,0,...,1）
而由XiX2...Xn1Xn知其解空间是1维的，令X.1,则
其基为（1,1，…,1）.且1，2,…，n1，即为Pn的一组基，从而PnV1V2.
又dim（Pn）dim（VJdim（V2）,（也可由交为零向量知）
三、基变换与坐标变换
基变换：
设1,2,
n及
1,2,
n是线性空间
Vn中的两个基，若
或简记为
a11
a12
a1n
=（1,2,,
n）
a21
a22
a2n
an1
an2
ann
=（1,2,,
n）
A
（☆）
则矩阵A称为由基1,
2
JJ
n到基
1,2,,n的过
渡矩阵。
（☆）式称为基变换公式.
坐标变换：
设Vn中的元素，在基1,2,,n下的
坐标为X1,X2,,XnT，在基1,2,,n下的坐标为
y1,y2,,yn
标变换公式
若两个基满足关系式（6-2），则有坐
y2
xnynynxn
第七章线性变换
一、线性变换的定义
线性空间V到自身的映射称为V的一个变换.定义：
线性空间V的一个变换A称为线性变换，如果对于V中任意的元素,和数域P中任意数k,都有
A（）=A（）+A（）;
A（k）=Ak（）.
一般用花体拉丁字母A,B,…表示V的线性变换，A（）
或A代表元素在变换A下的像.
例判别下面所定义的变换那些是线性的，那些不是：
1）在线性空间V中，A,其中V是一固
定的向量；
2）在线性空间V中，A其中V是一固定的
向量；
2）当0时,是;当0时,不是。
3）不是.
例如当（1,0,0）,k2时,kA（）（2,0,0）,
A（k）（4,0,0）,
A（k）kA（）。
4）是.因取（x1,x2,x3）,（y1,y2,y3）,有
A（）=A（x1y1,x2y2,x3y3）
=（2x12y1x2y2,x2y2x3y3,x1y1）
=（2x1x2,x2x3,x1）（2y1y2,y2y3,y1）
=A+A，
A（k）A（kx1,kx2,kx3）
=kA（），
3
故A是P3上的线性变换。
二、线性变换关于基的矩阵
定义：
设1,2,,n是数域P上n维线性空间v
的一组基，A是V中的一个线性变换.基向量的像可以被基线性表出：
用矩阵表示就是
A（1,2,）n）=（A（i）,A
（2）,…，A（n））
=（1,2,,n）A
其中
矩阵A称为线性变换A在基1，2，，n下的矩阵.
定理：
设线性变换A在基
1，2,,n下的矩阵是A,向量在基
1,2，，n下的坐标是（Xi，X2,,X门），则A在基
1,2,,n下的坐标（％』2,,Yn）可以按公式
计算.
例：
在空间P[x]n中，线性变换
Df（X）f（X）
x2xn1
在基1,x，"2P，—1）!
下的矩阵是
三、同一个线性变换在不同基下的矩阵的关系.
线性变换的矩阵是与空间中一组基联系在一起的.一
般说来，随着基的改变，同一个线性变换就有不同的矩阵.为了利用矩阵来研究线性变换，有必要弄清楚线性变换的矩阵是如何随着基的改变而改变的.
定理：
设线性空间V中线性变换A在两组
1，2，，n（6）
1,2,,n（7）
下的矩阵分别为A和B，从基（6）到（7）的过渡矩阵是X，于是BX1AX.
定理告诉我们，同一个线性变换A在不同基下的矩阵
之间的关系为相似.
定义：
设A，B为数域P上两个n级方阵，如果可以找到数域P上的n级可逆方阵X，使得
1
BXAX，就说A相似于B，记作A~B.
相似是矩阵之间的一种关系，这种关系具有下面三个性质：
1.反身性：
A~A
2.对称性：
如果A~B，那么B~A.
3.传递性：
如果A~B,B~C,那么A~C.
线性变换在不同基下所对应的矩阵是相似的；反过来，如果两个矩阵相似，那么它们可以看作同一个线性变换在两组基下所对应的矩阵.
矩阵的相似对于运算有下面的性质.
1
如果B1XA1X,
B2XA2X，那么
B1B2X1（A1A2）X,
由此可知，如果BX1AX，且f（x）是数域P上一多项式，那么
利用矩阵相似的这个性质可以简化矩阵的计算.例：
R3上的线性变换T在基
1
0
0
1
21
10
1
1
10下的矩阵为
A
0
12
0
0
1
1
11
则基在
1,2
2,
3下的矩阵为
（
A
）
1
4
1
1
4
1
（A）
0
1
1（B）
0
4
4
1
2
1
1
2
1
1
2
1
2
4
2
（C）
0
1
2
1（D）
0
2
4
1
1
1
2
2
2
3
例：
已知P中线性变换A在基
1=（-1,1,1）,2=（1,0,-1）,3=（0,1,1）下的矩阵是
101
110，求a在基
121
1=（1,0,0）,2=（0,1,0）,3=（0,0,1）下的矩阵。
110
解：
因为（1,2,3）=（1,2，3）101，所以
111
110
BX1AX=101
111121101
112
220。
302
四、线性变换的特征值和特征向量定义：
设A是数域P上线性空间V的一个线性变换,如果对于数域P中一数,存在一个非零向量,使得
A=
（1）
那么称为A的一个特征值,而叫做A的属于特征值的一个特征向量.
如果是线性变换A的属于特征值的特征向量，那么的任何一个非零倍数k也是A的属于特征值的特征向量.这说明特征向量不是被特征值所唯一决定的.相反，特征值却是被特征向量所唯一决定的，因为，一个特征向量只能属于一个特征值.
特征值与特征向量的求法：
确定一个线性变换A的一个特征值与特征向量的方法可以分成以下几步：
1.在线性空间V中取一组基
2.求出A的特征多项式EA在数域P中全部的
根，它们也就是线性变换A的全部特征值;
3.把所求得的特征值逐个地代入方程组
Xi
X2
（☆），对于每一个特征值，
Xn
解方程组（☆），求出一组基础解系，它们就是属于这个
特征值的几个线性无关的特征向量在基1，2，，门下
的坐标，这样，也就求出了属于每个特征征的全部线性无关的特征向量•
A的特征值，
A的属于这个
矩阵A的特征多项式的根有时也称为而相应的线性方程组（☆）的解也就称为特征值的特征向量.
例设线性变换A在基1,2,3下的矩阵是
求A的特征值与特征向量
例设矩阵A为
1
4
2
A0
3
4
0
4
1
3
（1）问A能否相似于对角阵？
（2）
若能，求一个可逆矩阵
1
P,使得PAP为对角阵.
例在空间P[x]n中，线性变换
Df（x）f（x）
x2xn1在基1，xr2!
，，（T1）!
下的矩阵是
D的特征多项式是
因此，D的特征值只有0.通过解相应的齐次线性方程组知道，属于特征值0的线性无关的特征向量组只能是任一非零常数.这表明微商为零的多项式只能是零或非零的常数•
五、线性变换的值域与核
定义：
设A是线性空间V的一个线性变换，A的全体
像组成的集合称为A的值域，用AV表示.所有被A变成零向量的向量组成的集合称为A的核，用A1（0）表示.
若用集合的记号则
AV=A|V
A1（0）=|A0,V
线性变换的值域与核都是V的子空间.
1
AV的维数称为A的秩，A（0）的维数称为A的零度.
第九章欧氏空间
、欧氏空间举例例1在线性空间Rn中，对于向量
（a1,a2,,an）,
（bi,b2,,bn）,
（,）a1b1a2b2
anbn.
（1）
定义内积
则内积
（1）适合定义中的条件，这样Rn就成为一个欧几里得空间.仍用来表示这个欧几里得空间.
例2在Rn里,对于向量
（a1,a2,,an）,（b1,b2,,bn）定
义内积
（,）a1b12a2b2nanbn.
则内积
（1）适合定义中的条件，这样Rn就也成为一个欧几里得空间.
对同一个线性空间可以引入不同的内积,使得它作成不同的欧几里得空间.
例3在闭区间【a，b】上的所有实连续函数所成的空间
C（a,b）中,对于函数f（x）,g（x）定义内积
b
（f（x）,g（x））af（x）g（x）dx.
■
C（a，b）构成一个欧几里得空间.
柯西-布涅柯夫斯基不等式：
即对于任意的向量,有
当且仅当,线性相关时，等式才成立.
对于例1的空间Rn，（5）式就是
对于例2的空间C（a,b），（5）式就是
要求：
正交矩阵的定义、判断、性质
定理：
对于任意一个n级实对称矩阵，A都存在正交矩阵T,使T1ATTAT成对角形。
定理：
任意一个实二次型
都可以经过正交的线性替换变成平方和
222
1y12y2nyn,
其中平方项的系数1，2，，n就是矩阵A的特征多项式全部的根
列举
注意：
正定矩阵的判断与性质正定二次型的判断判断条件）
二．例题选讲例．求齐次线性方程组的解空间的一组标准正交基。
解：
首先可求得基础解系为的交化得
单位化得
1,2,3即为所求的标准正交基
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