平面几何四心讲义.docx

1、平面几何四心讲义角形四心竞赛讲义、“四心”分类讨论 外心 内心 垂心 重心 外心与内心 重心与内心 夕卜心与垂心 夕卜心与重心 垂心与内心 1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、垂心、重心、外心 旁心 二、“四心”的联想 1、 由内心、重心性质产生的联想2、 重心的巧用 3、 三角形“四心”与一组面积公式三角形各心间的联系 与三角形的心有关的几何命题的证明.1123566777.88.8.89101313三角形的内心、外心、垂心及重心(以下简称“四心”)是新颁发的初中数学竞赛大纲特 别加强的内容。由于与四心有关的几何问题涉及知识面广、难度大、应用的技巧性强、方法 灵活，是考查学生逻辑思维能

2、力和创造思维能力的较佳题型，因此，它是近几年来升学、竞 赛的热点。92、93、94、95连续四年的全国初中数学联赛均重点考察了这一内容。本讲拟分 别列举四心在解几何竞赛中的应用，以期帮助同学们掌握这类问题的思考方法，提高灵活运 用有关知识的能力。“四心”分类讨论1、外心三解形三条垂直平分线的交点叫做三角形的外心，即外接圆圆心。 ABC的外心一般用字母O表示，它具有如下性质：(1)外心到三顶点等距，即 OA=OB=OC1 1 1(2)/ A=1 BOC B 1 AOC C 丄2 2 2AOB。如果已知外心或通过分析“挖掘”出外心，与外心有关的几何定理，尤其是圆周角与圆 心角关系定理，就可以大显神

3、通了。下面我们举例说明。例2证明三角形三边的垂直平分线相交于一点，此点称为三角形的 外心已知： ABC中, XX，YY，ZZ分别是BC, AC AB边的垂直平 分线，求证：XX，YY，ZZ相交于一点(图3- 111).C3-111例1、如图9-1所示，在 ABC中, AB=AC任意延长CA到P,再延长AB到Q,使AP=BQ 求证： ABC的外心0与点A P、Q四点共圆。三角形三条角平分线的交点叫做三角形的内心，即内切圆圆心。 母I表示，它具有如下性质：(1)内心到三角形三边等距，且顶点与内心的连线平分顶角。(2)/ A的平分线和 ABC的外接圆相交于点D,则D与顶点B、 BCI的外心)。(3)

4、/ BIC=98+- / A,/ CIA=90+1 / B，/ AIB=90o+- / C。2 2 2例1证明：三角形三内角平分线交于一点， 此点称为三角形的内心. 已知： ABC中, AX BY, CZ分别是/ A，/ B，证：AX, BY CZ交于一点(图 3- 110).ABC的内心一般用字C、内心I等距(即D为2、内心说明若证明几条直线共点，可先证其中两条直线相交，再证这个交点分别在其余各条直 线上，则这几条直线必共点于此交点.由于三角形三内角平分线的交点与三边距离相等，所以以此交点为圆心，以此点到各边 的距离为半径作圆，此圆必与三角形三边内切，所以称此交点为三角形内切圆圆心，简称内

5、心.求证：四边形O1O2O3O4是一个矩形。3.A ABC中, I是内心，过I作DE直线交AB于D,交AC于 E.求证：DE=DB+EC3、垂心 ABC的垂心一般用字母H表示,CHI ABoD E、F,则 A、F、H、E; B、D三角形三条高线所在的直线的交点叫做三角形的垂心。 它具有如下的性质： 顶点与垂心连线必垂直对边，即 AH1 BC, BH1 AC(2)若H在 ABC内，且 AH BH CH分别与对边相交于H F; C E、H、D; B、C、E、F; C、A、F、D; A、B、D E共六组四点共圆。(3) ABH的垂心为C,A BHC勺垂心为A,A ACH的垂心为Bo三角形的垂心到任一

6、顶点的距离等于外心到对边距离的 2倍。例4证明：三角形三条高线交于一点，这点称为三角形的垂心.已知：如图3- 114, ABC中，三边上的高线分别是 AX BY CZ X, Y, Z为垂足，求 证：AX, BY CZ交于一点.分析要证AX BY, CZ相交于一点,可以利用前面的证明方法去证,也可以转化成前面几 例的条件利用已证的结论来证明.为此，可以考虑利用三角形三边垂直平分线交于一点的现 有命题来证,只须构造出一个新三角形 A B C,使AX BY CZ恰好是 A B C的 边上的垂直平分线,则AX BY CZ必然相交于一点.A3-114例1、设H是等腰三角形ABC的垂心。在底边BC保持不变

7、的情况下,让顶点 A至底边 BC的距离变小，问这时乘积S ABC S hbc的值变大？变小？还是不变？证明你的结论。例4、如图9-8所示，已知 ABC的高AD BE交于H,A ABC ABH的外接圆分别为O O和O01,求证：O 0与O01的半径相等。4.设G为 ABC的垂心，D, E分别为AB, AC边的中点，如果 Ssbc=1，那么Smd=?4、重心三角形三条中线的交点叫三角形的重心。 ABC的重心一般用字母 G表示，它有如下的 性质：(1)顶点与重心G的连线必平分对边。重心定理：三角形重心与顶点的距离等于它与对边中点的距离的 2倍。1(3) S BGC S CGA S AGB S ABC

8、。3例3证明：三角形的三条中线相交于一点，此点称为三角形的重心.重心到顶点与到对 边中点的距离之比为2 ： 1.已知： ABC中, AX BY, CZ分别是BC, AC, AB边上的中线，求 证：AX, BY CZ相交于一点 G,并且 AG： GX=2 1(图 3- 112).ABC为一个质量均匀明为什么称G点为 ABC的重心呢？这可以从力学得到解释.设的三角形薄片，并设其重量均匀集中于 A, B, C三点，如果把B, C两点的重量集中于BC边 中点X时，那么 ABC的三顶点A, B, C的集中重量作了重新分配.若A点为1,则X点为2, 因此在AX上的重心支撑点必在 AG： GX=2： 1处的

9、G点.这样一来，如果在 G点支起三角形， 那么 ABC必保持平衡，所以G点为三角形的重心(图3- 113).已知G是 ABC的中心，过 A G的圆与BG切于G CG的延长线交圆于 D,求证:例1、分析、延长 GP至 F,使 PF=PG 边 FB FC AD（图 9-9）。例2、设G是等腰 ABC底边上的高、AD与腰AC上的中线BE的交点。若AD=18 BE=15 则这个等腰三角形的面积为多少？例3、平行四边形ABCD勺面积是60，E、F分别是AB BC的中点，AF分别与ED BD交 于G H,则四边形BHGE勺面积是 。例7如图3- 118.设ABC的重心，从各顶点及G向形外一直线I弓I垂线A

10、A , BB，CC，GG （其中 A，B，C，G 为垂足）.求证：AA +BB +CC =3GG .分析由于图中有许多可以利用的梯形，故可考虑利用梯形中位线定理来证明.说明当本题中AA，BB，CC，GG不垂直于I，但仍保持互相平行时，本题结论是 否还成立？试作出你的猜想，并加以证明.5、外心与内心例1、已知 ABC中，0为外心，I为内心，且 AB+AC=2B。求证：01丄Al（图9-10）。2.如图3- 119.在 ABC中, 0为外心，I为内心，且 ABBO CA 求证: (1) / 0AI/ OBI; (2) / 0AI/ OCI.6、重心与内心CA例1、如图9-11所示，已知 ABC的重

11、心G与内心I的连线GI/ BCo求证：AB BC 成等差数列。7、外心与垂心例1、如图9-12所示，在 ABC中，H为垂心，0为外心，/ BAC=60,求证：AH=AO例6如图3- 116.已知H是 ABC的垂心，0是外心，0BC于L 求证：AH=20L8、外心与重心AZ为/ BAC的平分线（图3CF的交点，卩是ABC所在平面上的任一点，作 PL丄AD于L, PMLBE于M, PNICF于N。试 证：PL、PM PN中较大的一条线段等于其它两条线段的和。10、垂心、重心、外心例题、证明： ABC勺垂心H、重心G和外心0在同一条直线上。旁心例5证明：三角形两外角平分线和另一内角平分线交于一点，此

12、点称为三角形的旁心. 已知：BX CY分别是 ABC的外角/ DBC和/ECB的平分线，AZ BX CY相交于一点.115），求证：Sa APB的面积分别为Sa,Sb,Sc，则塑 o （探）PD CAP Sb ScPD Sa1-AB r（r为内切圆半径），于22。故（探）式是三角形内心。2、重心的巧用命题3:如果平面上有n个质点P（Xi,yi）（i 1,2, ,n）,它们的质量1 1（探）式中，当P为内心时，Sa丄BC r,Sb丄CA r,Sc2 2是AP AC AB ；当p为重心时，Sa Sb Sc,于是竺PD BC PD重心性质的推广，我们不妨称之为三角形内点性质。利用它，许多数学 竞赛题

13、都可求解。例1、已知R为锐角 ABC外接圆半径，O是外心，AO BO CO分别3交对边于 A1, B1,C1（图 9-20）。求证：OA1 OB1 OC1 -R。2nmi Xii 1XG , yGmii 1nmi Xii 1nmii 1这几个命题看似简单，但它却为解平面几何问题提供了一种崭新的思路。例1、三只苍蝇沿 ABC的三边爬行，使由这三只苍蝇构成的三角形的与 ABC的重心保 持不变，求证：如果某只苍蝇爬过了三角形的三条边，那么三只苍蝇构成的三角形的重心与 原三角形的重心重合。例2、如图9-23所示，已知 P1P2P3和其内任一点P,直线P1P P2P和P3P分别与对边交于Q1, Q2 Q

14、3证明：在比值 空，空，空 中至少有一个不大于2。PQ1 PQ2 PQ3例3、从三角形的一个顶点到对三等分点作线段，过第二顶点的中线被这些线段分成边 比 x : y : Z,设 xyz,求 x : y : z （图 9-24）。例 4、如图 9-25 所示，在 ABC中 D E分别为 BC CA上一点，且 BD： DC=m： 1, CE：EA=n： 1, AD与 BE相交于F,求：S abf是S abc的几倍？3、三角形“四心”与一组面积公式有这样一道竞赛题： ABC为锐角三角形，过A、B、C分别作此三角形外接圆三条直径AA , BB , CC，求证：S ABC S A BC S AB C S ABC。该题中，三直径之交点即为 ABC的外心，若就外心这一条件进行一些联想和变化，经 探索可得一系列与面积有关的结果。我们归纳如下（证明略去）。定理：设卩为 ABC平面内的点，AP BP、CP所在直线分别交 ABC的外接圆于A,B,C，那么(1)若卩为 ABC的外心，则对锐角三角形，有 S abc S abc S abc S abc。对非锐角三角形(不妨设/ A 90o,下同)，有S abc S abc S abc S abc。(2)若卩为 abc的垂心，则对锐角三角形，有式成立，对非锐角三角形，有式成立。