平面几何四心讲义.docx
《平面几何四心讲义.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《平面几何四心讲义.docx（18页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
平面几何四心讲义
角形四心竞赛讲义
、“四心”分类讨论
外心
内心
垂心
重心
外心与内心
重心与内心
夕卜心与垂心
夕卜心与重心
垂心与内心
1、
2、
3、
4、
5、
6、
7、
8、
9、
10、垂心、重心、外心
旁心
二、“四心”的联想
1、由内心、重心性质产生的联想
2、重心的巧用
3、三角形“四心”与一组面积公式
三角形各心间的联系
与三角形的心有关的几何命题的证明
.1
1
2
3
5
6
6
7
7
7
.8
8
.8
..8
9
10
13
13
三角形的内心、外心、垂心及重心（以下简称“四心”）是新颁发的初中数学竞赛大纲特别加强的内容。
由于与四心有关的几何问题涉及知识面广、难度大、应用的技巧性强、方法灵活，是考查学生逻辑思维能力和创造思维能力的较佳题型，因此，它是近几年来升学、竞赛的热点。
92、93、94、95连续四年的全国初中数学联赛均重点考察了这一内容。
本讲拟分别列举四心在解几何竞赛中的应用，以期帮助同学们掌握这类问题的思考方法，提高灵活运用有关知识的能力。
“四心”分类讨论
1、外心
三解形三条垂直平分线的交点叫做三角形的外心，即外接圆圆心。
△ABC的外心一般用
字母O表示，它具有如下性质：
（1）外心到三顶点等距，即OA=OB=OC
111
（2）/A=1BOCB1AOCC丄
2'2'2
AOB。
如果已知外心或通过分析“挖掘”出外心，与外心有关的几何定理，尤其是圆周角与圆心角关系定理，就可以大显神通了。
下面我们举例说明。
例2证明三角形三边的垂直平分线相交于一点，此点称为三角形的外心
已知：
△ABC中,XX，YY，ZZ’分别是BC,ACAB边的垂直平分线，求证：
XX，YY，ZZ'相交于一点（图3-111）.
C
3-111
例1、如图9-1所示，在^ABC中,AB=AC任意延长CA到P,再延长AB到Q,使AP=BQ求证：
△ABC的外心0与点AP、Q四点共圆。
三角形三条角平分线的交点叫做三角形的内心，即内切圆圆心。
^母I表示，它具有如下性质：
（1）内心到三角形三边等距，且顶点与内心的连线平分顶角。
（2）/A的平分线和△ABC的外接圆相交于点D,则D与顶点B、△BCI的外心）。
（3）/BIC=98+-/A,/CIA=90+1/B，/AIB=90o+-/C。
222
例1证明：
三角形三内角平分线交于一点，此点称为三角形的内心.已知：
△ABC中,AXBY,CZ分别是/A，/B，
证：
AX,BYCZ交于一点（图3-110）.
ABC的内心一般用字
C、
内心I等距（即D为
2、内心
说明若证明几条直线共点，可先证其中两条直线相交，再证这个交点分别在其余各条直线上，则这几条直线必共点于此交点.
由于三角形三内角平分线的交点与三边距离相等，所以以此交点为圆心，以此点到各边的距离为半径作圆，此圆必与三角形三边内切，所以称此交点为三角形内切圆圆心，简称内心.
求证：
四边形O1O2O3O4是一个矩形。
3.AABC中,I是内心，过I作DE直线交AB于D,交AC于E.求证：
DE=DB+EC
3、垂心
△ABC的垂心一般用字母H表示,
CHIABo
DE、F,则A、F、H、E;B、D
三角形三条高线所在的直线的交点叫做三角形的垂心。
它具有如下的性质：
⑴顶点与垂心连线必垂直对边，即AH1BC,BH1AC
（2）若H在^ABC内，且AHBHCH分别与对边相交于
HF;CE、H、D;B、C、E、F;C、A、F、D;A、B、DE共六组四点共圆。
（3）△ABH的垂心为C,ABHC勺垂心为A,AACH的垂心为Bo
⑷三角形的垂心到任一顶点的距离等于外心到对边距离的2倍。
例4证明：
三角形三条高线交于一点，这点称为三角形的垂心.
已知：
如图3-114,^ABC中，三边上的高线分别是AXBYCZX,Y,Z为垂足，求证：
AX,BYCZ交于一点.
分析要证AXBY,CZ相交于一点,可以利用前面的证明方法去证,也可以转化成前面几例的条件利用已证的结论来证明.为此，可以考虑利用三角形三边垂直平分线交于一点的现有命题来证,只须构造出一个新三角形AB'C',使AXBYCZ恰好是△AB'C的边上的垂直平分线,则AXBYCZ必然相交于一点.
A
3-114
例1、设H是等腰三角形ABC的垂心。
在底边BC保持不变的情况下,让顶点A至底边BC的距离变小，问这时乘积SABCShbc的值变大？
变小？
还是不变？
证明你的结论。
例4、如图9-8所示，已知△ABC的高ADBE交于H,AABC
△ABH的外接圆分别为OO和O01,求证：
O0与O01的半径相等。
4.设G为^ABC的垂心，D,E分别为AB,AC边的中点，如果Ssbc=1，那么Smd=?
4、重心
三角形三条中线的交点叫三角形的重心。
△ABC的重心一般用字母G表示，它有如下的性质：
（1）顶点与重心G的连线必平分对边。
⑵重心定理：
三角形重心与顶点的距离等于它与对边中点的距离的2倍。
1
（3）SBGCSCGASAGB—SABC。
3
例3证明：
三角形的三条中线相交于一点，此点称为三角形的重心.重心到顶点与到对边中点的距离之比为2：
1.
已知：
△ABC中,AXBY,CZ分别是BC,AC,AB边上的中线，求证：
AX,BYCZ相交于一点G,并且AG：
GX=21（图3-112）.
ABC为一个质量均匀
明为什么称G点为△ABC的重心呢？
这可以从力学得到解释.设△
的三角形薄片，并设其重量均匀集中于A,B,C三点，如果把B,C两点的重量集中于BC边中点X时，那么△ABC的三顶点A,B,C的集中重量作了重新分配.若A点为1,则X点为2,因此在AX上的重心支撑点必在AG：
GX=2：
1处的G点.这样一来，如果在G点支起三角形，那么△ABC必保持平衡，所以G点为三角形的重心（图3-113）.
已知G是△ABC的中心，过AG的圆与BG切于GCG的延长线交圆于D,求证:
例1、
分析、
延长GP至F,使PF=PG边FBFCAD（图9-9）。
例2、设G是等腰△ABC底边上的高、AD与腰AC上的中线BE的交点。
若AD=18BE=15则这个等腰三角形的面积为多少？
例3、平行四边形ABCD勺面积是60，E、F分别是ABBC的中点，AF分别与EDBD交于GH,则四边形BHGE勺面积是。
例7如图3-118.设ABC的重心，从各顶点及G向形外一直线I弓I垂线AA,BB，
CC，GG（其中A，B‘，C，G为垂足）.求证：
AA+BB+CC=3GG.
分析由于图中有许多可以利用的梯形，故可考虑利用梯形中位线定理来证明.
说明当本题中AA，BB，CC，GG不垂直于I，但仍保持互相平行时，本题结论是否还成立？
试作出你的猜想，并加以证明.
5、外心与内心
例1、已知△ABC中，0为外心，I为内心，且AB+AC=2B。
求证：
01丄Al（图9-10）。
2.如图3-119.在^ABC中,0为外心，I为内心，且AB>BOCA求证:
（1）/0AI>/OBI;
（2）/0AI>/OCI.
6、重心与内心
CA
例1、如图9-11所示，已知△ABC的重心G与内心I的连线GI//BCo求证：
ABBC成等差数列。
7、外心与垂心
例1、如图9-12所示，在△ABC中，H为垂心，0为外心，/BAC=60,求证：
AH=AO
例6如图3-116.已知H是^ABC的垂心，0是外心，0」BC于L求证：
AH=20L
8、外心与重心
AZ为/BAC的平分线（图3
CF的交点，卩是^ABC所在平面上的任一点，作PL丄AD于L,PMLBE于M,PNICF于N。
试证：
PL、PMPN中较大的一条线段等于其它两条线段的和。
10、垂心、重心、外心
例题、证明：
△ABC勺垂心H、重心G和外心0在同一条直线上。
旁心
例5证明：
三角形两外角平分线和另一内角平分线交于一点，此点称为三角形的旁心.已知：
BXCY分别是△ABC的外角/DBC和/ECB的平分线，
AZBXCY相交于一点.
—115），求证：
Sa
△APB的面积分别为Sa,Sb,Sc，则塑o（探）
PDC
APSbSc
PDSa
1
-ABr（r为内切圆半径），于
2
2。
故（探）式是三角形内心。
2、重心的巧用
命题3:
如果平面上有n个质点P（Xi,yi）（i1,2,,n）,它们的质量
11
（探）式中，当P为内心时，Sa丄BCr,Sb丄CAr,Sc
22
是APACAB；当p为重心时，SaSbSc,于是竺
PDBCPD
重心性质的推广，我们不妨称之为三角形内点性质。
利用它，许多数学竞赛题都可求解。
例1、已知R为锐角△ABC外接圆半径，O是外心，AOBOCO分别
3
交对边于A1,B1,C1（图9-20）。
求证：
OA1OB1OC1-R。
2
n
miXi
i1
XG,yG
mi
i1
n
miXi
i1
n
mi
i1
这几个命题看似简单，但它却为解平面几何问题提供了一种崭新的
思路。
例1、三只苍蝇沿△ABC的三边爬行，使由这三只苍蝇构成的三角形的与△ABC的重心保持不变，求证：
如果某只苍蝇爬过了三角形的三条边，那么三只苍蝇构成的三角形的重心与原三角形的重心重合。
例2、如图9-23所示，已知△P1P2P3和其内任一点P,直线P1PP2P和P3P分别与对
边交于Q1,Q2Q3证明：
在比值空，空，空中至少有一个不大于2。
PQ1PQ2PQ3
例3、从三角形的一个顶点到对三等分点作线段，过第二顶点的中线被这些线段分成边比x:
y:
Z,设x>y>z,求x:
y:
z（图9-24）。
例4、如图9-25所示，在△ABC中DE分别为BCCA上一点，且BD：
DC=m：
1,CE：
EA=n：
1,AD与BE相交于F,求：
Sabf是Sabc的几倍？
3、三角形“四心”与一组面积公式
有这样一道竞赛题：
△ABC为锐角三角形，过A、B、C分别作此三角形外接圆三条直径
AA,BB,CC，求证：
SABCSABCSABCSABC。
该题中，三直径之交点即为△ABC的外心，若就外心这一条件进行一些联想和变化，经探索可得一系列与面积有关的结果。
我们归纳如下（证明略去）。
定理：
设卩为^ABC平面内的点，APBP、CP所在直线分别交△ABC的外接圆于A,B,C，
那么
（1）若卩为^ABC的外心，则对锐角三角形，有SabcSabcSabcSabc。
①
对非锐角三角形（不妨设/A>90o,下同），有SabcSabcSabcSabc。
②
（2）若卩为^abc的垂心，则对锐角三角形，有①式成立，对非锐角三角形，有②式成立。
⑶
升级会员 