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1、医学资料九章算术（注序）昔在庖犠氏始画八卦，以通神明之德，以类万物之情，作九九之数，以合六爻之变。暨于黄帝神而化之，引而伸之，于是建历纪，协律吕，用稽道原，然后两仪四象精微之气可得而效焉。记称隶首作数，其详未之闻也。按周公制礼而有九数，九数之流，则九章是矣。往者暴秦焚书，经术散坏。自时厥后，汉北平侯张苍、大司农中丞耿寿昌皆以善算命世。苍等因旧文之遗残，各称删补。故校其目则与古或异，而所论者多近语也。徽幼习九章，长再详览。观阴阳之割裂，总算术之根源，探赜之暇，遂悟其意。是以敢竭顽鲁，采其所见，为之作注。事类相推，各有攸归，故枝条虽分而同本榦知，发其一端而已。又所析理以辞，解体用图，庶亦约而能周，

2、通而不黩，览之者思过半矣。且算在六艺，古者以宾兴贤能，教习国子；虽曰九数，其能穷纤入微，探测无方；至于以法相传，亦犹规矩度量可得而共，非特难为也。当今好之者寡，故世虽多通才达学，而未必能综于此耳。周官大司徒职，夏至日中立八尺之表。其景尺有五寸，谓之地中。说云，南戴日下万五千里。夫云尔者，以术推之。案：九章立四表望远及因木望山之术，皆端旁互见，无有超邈若斯之类。然则苍等为术犹未足以博尽群数也。徽寻九数有重差之名，原其指趣乃所以施于此也。凡望极高、测绝深而兼知其远者必用重差、句股，则必以重差为率，故曰重差也。立两表于洛阳之城，令高八尺，南北各尽平地。同日度其正中之时。以景差为法，表高乘表间为实，实

3、如法而一。所得加表高，即日去地也。以南表之景乘表间为实，实如法而一，即为从南表至南戴日下也。以南戴日下及日去地为句、股，为之求弦，即日去人也。以径寸之筒南望日，日满筒空，则定筒之长短以为股率，以筒径为句率，日去人之数为大股，大股之句即日径也。虽夫圆穹之象犹曰可度，又况泰山之高与江海之广哉。徽以为今之史籍且略举天地之物，考论厥数，载之于志，以阐世术之美，辄造重差，并为注解，以究古人之意，缀于句股之下。度高者重表，测深者累矩，孤离者三望，离而又旁求者四望。触类而长之，则虽幽遐诡伏，靡所不入，博物君子，详而览焉。九章算术（卷一）方田（以御田畴界域）今有田广十五步，从十六步。问为田几何？答曰：一亩。又

4、有田广十二步，从十四步。问为田几何？答曰：一百六十八步。图：从十四，广十二。方田 术曰：广从步数相乘得积步。此积谓田幂。凡广从相乘谓之幂。淳风等按：经云广从相乘得积步，注云广从相乘谓之幂。观斯注意，积幂义同。以理推之，固当不尔。何则？幂是方面单布之名，积乃众数聚居之称。循名责实，二者全殊。虽欲同之，窃恐不可。今以凡言幂者据广从之一方；其言积者举众步之都数。经云相乘得积步，即是都数之明文。注云谓之为幂，全乖积步之本意。此注前云积为田幂，于理得通。复云谓之为幂，繁而不当。今者注释，存善去非，略为料简，遗诸后学。以亩法二百四十步除之，即亩数。百亩为一顷。淳风等按：此为篇端，故特举顷、亩二法。余术不复

5、言者，从此可知。一亩之田，广十五步，从而疏之，令为十五行，则每行广一步而从十六步。又横而截之，令为十六行，则每行广一步而从十五步。此即从疏横截之步，各自为方，凡有二百四十步。一亩之地，步数正同。以此言之，则广从相乘得积步，验矣。二百四十步者，亩法也；百亩者，顷法也。故以除之，即得。今有田广一里，从一里。问为田几何？答曰：三顷七十五亩。又有田广二里，从三里。问为田几何？答曰：二十二顷五十亩。里田 术曰：广从里数相乘得积里。以三百七十五乘之，即亩数。按：此术广从里数相乘得积里。方里之中有三顷七十五亩，故以乘之，即得亩数也。今有十八分之十二，问约之得几何？答曰：三分之二。又有九十一分之四十九，问约之

6、得几何？答曰：十三分之七。约分按：约分者，物之数量，不可悉全，必以分言之；分之为数，繁则难用。设有四分之二者，繁而言之，亦可为八分之四；约而言之，则二分之一也，虽则异辞，至于为数，亦同归尔。法实相推，动有参差，故为术者先治诸分。术曰：可半者半之；不可半者，副置分母、子之数，以少减多，更相减损，求其等也。以等数约之。等数约之，即除也。其所以相减者，皆等数之重叠，故以等数约之。今有三分之一，五分之二，问合之得几何？答曰：十五分之十一。又有三分之二，七分之四，九分之五，问合之得几何？答曰：得一、六十三分之五十。又有二分之一，三分之二，四分之三，五分之四，问合之得几何？答曰：得二、六十分之四十三。合分

7、淳风等按：合分知，数非一端，分无定准，诸分子杂互，群母参差。粗细既殊，理难从一，故齐其众分，同其群母，令可相并，故曰合分。术曰：母互乘子，并以为实。母相乘为法。母互乘子。约而言之者，其分粗；繁而言之者，其分细。虽则粗细有殊，然其实一也。众分错杂，非细不会。乘而散之，所以通之。通之则可并也。凡母互乘子谓之齐，群母相乘谓之同。同者，相与通同，共一母也；齐者，子与母齐，势不可失本数也。方以类聚，物以群分。数同类者无远；数异类者无近。远而通体知，虽异位而相从也；近而殊形知，虽同列而相违也。然则齐同之术要矣：错综度数，动之斯谐，其犹佩觿解结，无往而不理焉。乘以散之，约以聚之，齐同以通之，此其算之纲纪乎？

8、其一术者，可令母除为率，率乘子为齐。实如法而一。不满法者，以法命之。今欲求其实，故齐其子，又同其母，令如母而一。其余以等数约之，即得知，所谓同法为母，实余为子，皆从此例。其母同者，直相从之。今有九分之八，减其五分之一，问余几何？答曰：四十五分之三十一。又有四分之三，减其三分之一，问余几何？答曰：十二分之五。减分淳风等按：诸分子、母数各不同，以少减多，欲知余几，减余为实，故曰减分。术曰：母互乘子，以少减多，余为实。母相乘为法。实如法而一。母互乘子知，以齐其子也。以少减多知，齐故可相减也。母相乘为法者，同其母也。母同子齐，故如母而一，即得。今有八分之五，二十五分之十六，问孰多？多几何？答曰：二十五

9、分之十六多，多二百分之三。又有九分之八，七分之六，问孰多？多几何？答曰：九分之八多，多六十三分之二。又有二十一分之八，五十分之十七，问孰多？多几何？答曰：二十一分之八多，多一千五十分之四十三。课分淳风等按：分各异名，理不齐一，较其相近之数，故曰课分也。术曰：母互乘子，以少减多，余为实。母相乘为法。实如法而一，即相多也。淳风等按：此术母互乘子，以少分减多分，与减分义同；惟相多之数，意与减分有异：减分知，求其余数有几；课分知，以其余数相多也。今有三分之一，三分之二，四分之三。问减多益少，各几何而平？答曰：减四分之三者二，三分之二者一，并，以益三分之一，而各平于十二分之七。又有二分之一，三分之二，四

10、分之三。问减多益少，各几何而平？答曰：减三分之二者一，四分之三者四、并，以益二分之一，而各平于三十六分之二十三。平分淳风等按：平分知，诸分参差，欲令齐等，减彼之多，增此之少，故曰平分也。术曰：母互乘子，齐其子也。副并为平实。淳风等按：母互乘子，副并为平实知，定此平实主限，众子所当损益知，限为平。母相乘为法。母相乘为法知，亦齐其子，又同其母。以列数乘未并者各自为列实。亦以列数乘法。此当副置列数除平实，若然则重有分，故反以列数乘同齐。淳风等按：问云所平之分多少不定，或三或二，列位无常。平三知，置位三重；平二知，置位二重。凡此之例，一准平分不可豫定多少，故直云列数而已。以平实减列实，余，约之为所减。

11、并所减以益于少。以法命平实，各得其平。今有七人，分八钱三分钱之一。问人得几何？答曰：人得一钱二十一分钱之四。又有三人三分人之一，分六钱三分钱之一、四分钱之三。问人得几何？答曰：人得二钱八分钱之一。经分淳风等按：经分者，自合分已下，皆与诸分相齐，此乃直求一人之分。以人数分所分，故曰经分也。术曰：以人数为法，钱数为实，实如法而一。有分者通之。母互乘子知，齐其子；母相乘者，同其母。以母通之者，分母乘全内子。乘，散全则为积分，积分则与子相通，故可令相从。凡数相与者谓之率。率知，自相与通。有分则可散，分重叠则约也；等除法实，相与率也。故散分者，必令两分母相乘法实也。重有分者同而通之。又以法分母乘实，实分

12、母乘法。此谓法、实俱有分，故令分母各乘全分内子，又令分母互乘上下。今有田广七分步之四，从五分步之三，问为田几何？答曰：三十五分步之十二。又有田广九分步之七，从十一分步之九，问为田几何？答曰：十一分步之七。又有田广五分步之四，从九分步之五，问为田几何？答曰：九分步之四。乘分淳风等按：乘分者，分母相乘为法，子相乘为实，故曰乘分。术曰：母相乘为法，子相乘为实，实如法而一。凡实不满法者而有母、子之名。若有分，以乘其实而长之，则亦满法，乃为全耳。又以子有所乘，故母当报除。报除者，实如法而一也。今子相乘则母各当报除，因令分母相乘而连除也。此田有广从，难以广谕。设有问者曰：马二十匹，直金十二斤。今卖马二十匹

13、，三十五人分之，人得几何？答曰：三十五分斤之十二。其为之也，当如经分术，以十二斤金为实，三十五人为法。设更言马五匹，直金三斤。今卖马四匹，七人分之，人得几何？答曰：人得三十五分斤之十二。其为之也，当齐其金、人之数，皆合初问入于经分矣。然则分子相乘为实者，犹齐其金也；母相乘为法者，犹齐其人也。同其母为二十，马无事于同，但欲求齐而已。又，马五匹，直金三斤，完全之率；分而言之，则为一匹直金五分斤之三。七人卖四马，一人卖七分马之四。金与人交互相生。所从言之异，而计数则三术同归也。今有田广三步三分步之一，从五步五分步之二，问为田几何？答曰：十八步。又有田广七步四分步之三，从十五步九分步之五，问为田几何？

14、答曰：一百二十步九分步之五。又有田广十八步七分步之五，从二十三步十一分步之六，问为田几何？答曰：一亩二百步十一分步之七。大广田淳风等按：大广田知，初术直有全步而无余分；次术空有余分而无全步；此术先见全步，复有余分，可以广兼三术，故曰大广。术曰：分母各乘其全，分子从之，分母各乘其全，分子从之者，通全步内分子。如此则母、子皆为实矣。相乘为实。分母相乘为法。犹乘分也。实如法而一。今为术广从俱有分，当各自通其分。命母入者，还须出之，故令分母相乘为法而连除之。今有圭田广十二步，正从二十一步，问为田几何？答曰：一百二十六步。又有圭田广五步二分步之一，从八步三分步之二，问为田几何？答曰：二十三步六分步之五。

15、术曰：半广以乘正从。半广知，以盈补虚为直田也。亦可半正从以乘广。按：半广乘从，以取中平之数，故广从相乘为积步。亩法除之，即得也。今有邪田，一头广三十步，一头广四十二步，正从六十四步。问为田几何？答曰：九亩一百四十四步。又有邪田，正广六十五步，一畔从一百步，一畔从七十二步。问为田几何？答曰：二十三亩七十步。术曰：并两斜而半之，以乘正从若广。又可半正从若广，以乘并。亩法而一。并而半之者，以盈补虚也。今有箕田，舌广二十步，踵广五步，正从三十步，问为田几何？答曰：一亩一百三十五步。又有箕田，舌广一百一十七步，踵广五十步，正从一百三十五步，问为田几何？答曰：四十六亩二百三十二步半。术曰：并踵、舌而半之，

16、以乘正从。亩法而一。中分箕田则为两邪田，故其术相似。又可并踵、舌，半正从，以乘之。今有圆田，周三十步，径十步。淳风等按：术意以周三径一为率，周三十步，合径十步。今依密率，合径九步十一分步之六。问为田几何？答曰：七十五步。此于徽术，当为田七十一步一百五十七分步之一百三。淳风等按：依密率，为田七十一步二十三分步之一十三。又有圆田，周一百八十一步，径六十步三分步之一。淳风等按：周三径一，周一百八十一步，径六十步三分步之一。依密率，径五十七步二十二分步之一十三。问为田几何？答曰：十一亩九十步十二分步之一。此于徽术，当为田十亩二百八步三百一十四分步之一百十三。淳风等按：依密率，当为田十亩二百五步八十八分

17、步之八十七。术曰：半周半径相乘得积步。按：半周为从，半径为广，故广从相乘为积步也。假令圆径二尺，圆中容六觚之一面，与圆径之半，其数均等。合径率一而外周率三也。又按：为图，以六觚之一面乘一弧半径，三之，得十二觚之幂。若又割之，次以十二觚之一面乘一弧之半径，六之，则得二十四觚之幂。割之弥细，所失弥少。割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣。觚面之外，又有余径。以面乘余径，则幂出觚表。若夫觚之细者，与圆合体，则表无余径。表无余径，则幂不外出矣。以一面乘半径，觚而裁之，每辄自倍。故以半周乘半径而为圆幂。此一周、径，谓至然之数，非周三径一之率也。周三者，从其六觚之环耳。以推圆规多少之觉，乃弓之与

18、弦也。然世传此法，莫肯精核；学者踵古，习其谬失。不有明据，辩之斯难。凡物类形象，不圆则方。方圆之率，诚著于近，则虽远可知也。由此言之，其用博矣。谨按图验，更造密率。恐空设法，数昧而难譬，故置诸检括，谨详其记注焉。割六觚以为十二觚 术曰：置圆径二尺，半之为一尺，即圆里觚之面也。令半径一尺为弦，半面五寸为句，为之求股。以句幂二十五寸减弦幂，余七十五寸，开方除之，下至秒、忽。又一退法，求其微数。微数无名知以为分子，以十为分母，约作五分忽之二。故得股八寸六分六厘二秒五忽五分忽之二。以减半径，余一寸三分三厘九毫七秒四忽五分忽之三，谓之小句。觚之半面又谓之小股。为之求弦。其幂二千六百七十九亿四千九百一十九

19、万三千四百四十五忽，余分弃之。开方除之，即十二觚之一面也。割十二觚以为二十四觚 术曰：亦令半径为弦，半面为句，为之求股。置上小弦幂，四而一，得六百六十九亿八千七百二十九万八千三百六十一忽，余分弃之，即句幂也。以减弦幂，其余开方除之，得股九寸六分五厘九毫二秒五忽五分忽之四。以减半径，余三分四厘七秒四忽五分忽之一，谓之小句。觚之半面又谓之小股。为之求小弦。其幂六百八十一亿四千八百三十四万九千四百六十六忽，余分弃之。开方除之，即二十四觚之一面也。割二十四觚以为四十八觚 术曰：亦令半径为弦，半面为句，为之求股。置上小弦幕，四而一，得一百七十亿三千七百八万七千三百六十六忽，余分弃之，即句幂也。以减弦幂，

20、其余，开方除之，得股九寸九分一厘四毫四秒四忽五分忽之四。以减半径，余八厘五毫五秒五忽五分忽之一，谓之小句。觚之半面又谓之小股。为之求小弦。其幂一百七十一亿一千二十七万八千八百一十三忽，余分弃之。开方除之，得小弦一寸三分八毫六忽，余分弃之，即四十八觚之一面。以半径一尺乘之，又以二十四乘之，得幂三万一千三百九十三亿四千四百万忽。以百亿除之，得幂三百一十三寸六百二十五分寸之五百八十四，即九十六觚之幂也。割四十八觚以为九十六觚 术曰：亦令半径为弦，半面为句，为之求股。置次上弦幂，四而一，得四十二亿七千七百五十六万九千七百三忽，余分弃之，即句幂也。以减弦幂，其余，开方除之，得股九寸九分七厘八毫五秒八忽十

21、分忽之九。以减半径，余二厘一毫四秒一忽十分忽之一，谓之小句。觚之半面又谓之小股。为之求小弦。其幂四十二亿八千二百一十五万四千一十二忽，余分弃之。开方除之，得小弦六分五厘四毫三秒八忽，余分弃之，即九十六觚之一面。以半径一尺乘之，又以四十八乘之，得幂三万一千四百一十亿二千四百万忽，以百亿除之，得幂三百一十四寸六百二十五分寸之六十四，即一百九十二觚之幂也。以九十六觚之幂减之，余六百二十五分寸之一百五，谓之差幂。倍之，为分寸之二百一十，即九十六觚之外弧田九十六所，谓以弦乘矢之凡幂也。加此幂于九十六觚之幂，得三百一十四寸六百二十五分寸之一百六十九，则出圆之表矣。故还就一百九十二觚之全幂三百一十四寸以为圆

22、幂之定率而弃其余分。以半径一尺除圆幂，倍之，得六尺二寸八分，即周数。令径自乘为方幂四百寸，与圆幂相折，圆幂得一百五十七为率，方幂得二百为率。方幂二百其中容圆幂一百五十七也。圆率犹为微少。案：弧田图令方中容圆，圆中容方，内方合外方之半。然则圆幂一百五十七，其中容方幂一百也。又令径二尺与周六尺二寸八分相约，周得一百五十七，径得五十，则其相与之率也。周率犹为微少也。晋武库中汉时王莽作铜斛，其铭曰：律嘉量斛，内方尺而圆其外，庣旁九厘五毫，幂一百六十二寸，深一尺，积一千六百二十寸，容十斗。以此术求之，得幂一百六十一寸有奇，其数相近矣。此术微少。而觚差幂六百二十五分寸之一百五。以一百九十二觚之幂为率消息，

23、当取此分寸之三十六，以增于一百九十二觚之幂，以为圆幂，三百一十四寸二十五分寸之四。置径自乘之方幂四百寸，令与圆幂通相约，圆幂三千九百二十七，方幂得五千，是为率。方幂五千中容圆幂三千九百二十七；圆幂三千九百二十七中容方幂二千五百也。以半径一尺除圆幂三百一十四寸二十五分寸之四，倍之，得六尺二寸八分二十五分分之八，即周数也。全径二尺与周数通相约，径得一千二百五十，周得三千九百二十七，即其相与之率。若此者，盖尽其纤微矣。举而用之，上法仍约耳。当求一千五百三十六觚之一面，得三千七十二觚之幂，而裁其微分，数亦宜然，重其验耳。淳风等案：旧术求圆，皆以周三径一为率。若用之求圆周之数，则周少径多。用之求其六觚之

24、田，乃与此率合会耳。何则？假令六觚之田，觚间各一尺为面，自然从角至角，其径二尺可知。此则周六径二与周三径一已合。恐此犹为难晓，今更引物为喻。设令刻物作圭形者六枚，枚别三面，皆长一尺。攒此六物，悉使锐头向里，则成六觚之周，角径亦皆一尺。更从觚角外畔，围绕为规，则六觚之径尽达规矣。当面径短，不至外规。若以径言之，则为规六尺，径二尺，面径皆一尺。面径股不至外畔，定无二尺可知。故周三径一之率于圆周乃是径多周少。径一周三，理非精密。盖术从简要，举大纲，略而言之。刘徽特以为疏，遂改张其率。但周、径相乘，数难契合。徽虽出斯二法，终不能究其纤毫也。祖冲之以其不精，就中更推其数。今者修撰，捃摭诸家，考其是非，冲

25、之为密。故显之于徽术之下，冀学者知所裁焉。又术曰：周、径相乘，四而一。此周与上觚同耳。周、径相乘，各当一半。而今周、径两全，故两母相乘为四，以报除之。于徽术，以五十乘周，一百五十七而一，即径也。以一百五十七乘径，五十而一，即周也。新术径率犹当微少。据周以求径，则失之长；据径以求周，则失之短。诸据见径以求幂者，皆失之于微少；据周以求幂者，皆失之于微多。淳风等按：依密率，以七乘周，二十二而一，即径；以二十二乘径，七而一，即周。依术求之，即得。又术曰：径自相乘，三之，四而一。按：圆径自乘为外方，三之，四而一者，是为圆居外方四分之三也。若令六觚之一面乘半径，其幂即外方四分之一也。因而三之，即亦居外方四

26、分之三也。是为圆里十二觚之幂耳。取以为圆，失之于微少。于徽新术，当径自乘，又以一百五十七乘之，二百而一。淳风等按：密率，令径自乘，以十一乘之，十四而一，即圆幂也。又术曰：周自相乘，十二而一。六觚之周，其于圆径，三与一也。故六觚之周自相乘为幂，若圆径自乘者九方。九方凡为十二觚者十有二，故曰十二而一，即十二觚之幂也。今此令周自乘，非但若为圆径自乘者九方而已。然则十二而一，所得又非十二觚之幂也。若欲以为圆幂，失之于多矣。以六觚之周，十二而一可也。于徽新术，直令圆周自乘，又以二十五乘之，三百一十四而一，得圆幂。其率：二十五者，周幂也；三百一十四者，周自乘之幂也。置周数六尺二寸八分，令自乘，得幂三十九万

27、四千三百八十四分。又置圆幂三万一千四百分。皆以一千二百五十六约之，得此率。淳风等按：方面自乘即得其积。圆周求其幂，假率乃通。但此术所求用三、一为率。圆田正法，半周及半径以相乘。今乃用全周自乘，故须以十二为母。何者？据全周而求半周，则须以二为法。就全周而求半径，复假六以除之。是二、六相乘，除周自乘之数。依密率，以七乘之，八十八而一。今有宛田，下周三十步，径十六步。问为田几何？答曰：一百二十步。又有宛田，下周九十九步，径五十一步。问为田几何？答曰：五亩六十二步四分步之一。术曰：以径乘周，四而一。此术不验，故推方锥以见其形。假令方锥下方六尺，高四尺。四尺为股，下方之半三尺为句。正面邪为弦，弦五尺也。

28、令句弦相乘，四因之，得六十尺，即方锥四面见者之幂。若令其中容圆锥，圆锥见幂与方锥见幂，其率犹方幂之与圆幂也。按：方锥下六尺，则方周二十四尺。以五尺乘而半之，则亦锥之见幂。故求圆锥之数，折径以乘下周之半，即圆锥之幂也。今宛田上径圆穹，而与圆锥同术，则幂失之于少矣。然其术难用，故略举大较，施之大广田也。求圆锥之幂，犹求圆田之幂也。今用两全相乘，故以四为法，除之，亦如圆田矣。开立圆术说圆方诸率甚备，可以验此。今有弧田，弦二十步，矢十五步。问为田几何？答曰：一亩九十七步半。又有弧田，弦七十八步二分步之一，矢十三步九分步之七。问为田几何？答曰：二亩一百五十五步八十一分步之五十六。术曰：以弦乘矢，矢又自乘

29、，并之，二而一。方中之圆，圆里十二觚之幂，合外方之幂四分之三也。中方合外方之半，则朱青合外方四分之一也。弧田，半圆之幂也。故依半圆之体而为之术。以弦乘矢而半之，则为黄幂，矢自乘而半之，则为二青幂。青、黄相连为弧体，弧体法当应规。今觚面不至外畔，失之于少矣。圆田旧术以周三径一为率，俱得十二觚之幂，亦失之于少也，与此相似。指验半圆之幂耳。若不满半圆者，益复疏阔。宜句股锯圆材之术，以弧弦为锯道长，以矢为锯深，而求其径。既知圆径，则弧可割分也。割之者，半弧田之弦以为股，其矢为句，为之求弦，即小弧之弦也。以半小弧之弦为句，半圆径为弦，为之求股。以减半径，其余即小弦之矢也。割之又割，使至极细。但举弦、矢相

30、乘之数，则必近密率矣。然于算数差繁，必欲有所寻究也。若但度田，取其大数，旧术为约耳。今有环田，中周九十二步，外周一百二十二步，径五步。此欲令与周三径一之率相应，故言径五步也。据中、外周，以徽术言之，当径四步一百五十七分步之一百二十二也。淳风等按：依密率，合径四步二十二分步之十七。问为田几何？答曰：二亩五十五步。于徽术，当为田二亩三十一步一百五十七分步之二十三。淳风等按：依密率，为田二亩三十步二十二分步之十五。术曰：并中、外周而半之，以径乘之，为积步。此田截而中之周则为长。并而半之知，亦以盈补虚也。此可令中、外周各自为圆田，以中圆减外圆，余则环实也。又有环田，中周六十二步四分步之三，外周一百一十三步二分步之一，径十二步三分步之二。此田环而不通匝，故径十二步三分步之二。若据上周求径者，此径失之于多，过周三径一之率，盖为疏矣。于徽术，当径八步六百二十八分步之五十一。淳风等按：依周三径一考之，合径八步二十四分步之一十一。依密率，合径八步一百七十六分步之一十三。问为田几何？答曰：四亩一百五十六步四分步之一。于徽术，当为田二亩二百三十二步五千二十四分步之七百八十七也。依周三径一，为田三亩二十五步六十四分步之二十五。淳风等按：密率，为田二亩二百三十一步一千四百八分步之七百一十七也。术曰：置中、外周步数，分