勾股定理思维导图题型总结.docx

1、勾股定理思维导图题型总结（ 一 ） 勾股定理1：勾股定理 如果直角三角形的两条直角边长分别为 a、b，斜边长为 c,那么 a2+b2c2较长的直角边称为“股”，斜边称为“弦”我国古代学者把直角三角形较短的直角边称为“勾”要点诠释：2、勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系， 是直角三角形的重要性质之一， 其主要应用：1）已知直角三角形的两边求第三边（在 ABC中， C 90 ，则c a2 b2 ，b c2 a2 ，a c2 b2 )（2）已知直角三角形的一边与另两边的关系，求直角三角形的另两边（3）利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题3：勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方

2、法，用拼图的方法验证勾股定理的思路是图形经过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理常见方法如下：方法4SS正方形 EFGHS正方形 ABCD，4 12ab(ba)22c，化简可证方法二：四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为S 4 1ab c2222ab c2 2 2 2 2 2大正方形面积为 S (a b)2 a2 2ab b2 所以 a2 b2 c2方法三：S梯形2(a b) (a b)， S梯形2S ADE S ABE2 12abc2 ，化简得证ba4：勾股数2

3、22能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即 a2 b2 c2中， a，b，c为正整数时，称 a，b ， c为一组勾股数记住常见勾股数可以提高解题速度， 如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25 ；8,15,17 ；9,40,41 等22 用含字母的代数式表示 n组勾股数： n2 1,2n,n2 1（n 2, n为正整数）；2 2 2 2 2 22n 1,2n 2n,2n 2n 1（ n为正整数） m n ,2 mn, m n （m n, m ， n为正整数）5、注意：（1）勾股定理的证明实际采用的是图形面积与代数恒等式的关系相互转化证明的。（2）勾股定理反映的是

4、直角三角形的三边的数量关系，可以用于解决求解直角三角形边边关 系的题目。的主要错误。（4）推理格式：3）勾股定理在应用时一定要注意弄清谁是斜边谁直角边，这是这个知识在应用过程中易犯 ABC为直角三角形 AC2+BC2=AB2. （或 a2+b2=c2）二）勾股定理的逆定理如果三角形的三边长分别为：a、b、c，且满足 a2+b2c2，那么这个三角形是直角三角形。要点诠释：勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法， 它通过“数转化为形” 来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时应注意：（ 1）首先确定最大边，不妨设最长边长为： c；（2）验证 c2与 a2+b2是否具有相等关

5、系，若 c2a2+b2，则 ABC是以 C为直角的直角三 角形若 c2a2+b2，则 ABC是以 C为钝角的钝角三角形；若 c2a2+b2，则 ABC为锐角三角形）222（定理中 a，b，c及 a2 b2 c2只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长 a，2 2 2b， c满足a c b ，那么以 a，b， c为三边的三角形是直角三角形，但是 b为斜边） 3：勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系 区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理； 联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，都与直角三角形有关。4：互逆命题的概念如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的

6、结论和题设， 这样的两个命题叫做互逆命 题。如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。六、随堂练习1在 Rt ABC 中， C 90 ， A、 B、 C 的对边分别为 a、b和c若 a 2，b 4，则 c= ； 斜边上的高为 .若b 3，c 4，则 a= . 斜边上的高为 .2正方形的边长为 3，则此正方形的对角线的长为 .3正方形的对角线的长为 4，则此正方形的边长为 .4有一个边长为 dm 50 的正方形洞口，想用一个圆盖去盖住这个洞口，求圆的直径至少多长8m 处，求旗杆折断之前有多高？AO的5一旗杆离地面 6m 处折断，旗杆顶部落在离旗杆底部6.如图，一个 3m长的梯子 AB斜

7、靠在一竖直的墙 AO上，这时距离为2.5m ，如果梯子顶端 A沿墙下滑 0.5m ，那么梯子底端 B也外移 0.5m吗？勾股定理典型例题及专项训练 专题一：直接考查勾股定理1已知等腰三角形腰长是 10，底边长是 16，求这个等腰三角形的面积。已知：如图， B=D=90， A=60， AB=4，CD=2。求：四边形 ABCD的面积。 A5、如图，在 RtABC中，ACB=90，CDAB于D，设 AB=c，AC=b， BC=a，CD=h。1122求证：（ 1） a2 b13)以 a b，h，ch为三边的三角形是直角三角形练习2）BE平分 ABC,交AC于 E，求 CE长题二 勾股定理的证明如图，直

8、线 l 上有三个正方形 a，b， 面积分别为 5和 11，则b的面积为（） 4 （） 6 （） 16 （）55专题三 网格中的勾股定理1、如图 1，在单位正方形组成的网格图中标有 AB、CD、EF、GH四条线段，其中能构成一个直 角三角形三边的线段是（ ）2、如图是 2002年 8 月在北京召开的第 24届国际数学家大会会标中的图案，其中四边形 ABCD 和 EF都是正方形 . 证： ABF DAE3、（ 2010 年四川省眉山市）如图，每个小正方形的边长为 1，A、B、C是小正方形5、如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是 1，每个小格的顶点称为格点，请以图中的格点为顶点画一个边长为 3

9、、 、 的三角形所画的三角形是直角三角形吗 ?说明理由6、如图，每个小正方形的边长是 1，在图中画出面积为 2 的三个形状不 同的三角形（要求顶点在交点处，其中至少有一个钝角三角形） 专题四 实际应用建模测长1、如图（8），水池中离岸边 D 点 1.5 米的 C 处，直立长着一根芦苇，出水部分 BC的长是 0.5 米，把芦苇拉到岸边，它的顶端 B 恰好落到 D点，并求水池的深度 AC.2、有一个传感器控制的灯，安装在门上方，离地高 4.5 米的墙上，任何东西只要移至 5 米以 内，灯就自动打开，一个身高 1.5 米的学生，要走到离门多远的地方灯刚好打开？3、台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆

10、心在周围数十千米范围内形成气旋风暴，有极强 的破坏力，如图，据气象观测，距沿海某城市 A的正南方向 220 千米 B处有一台风中心，其中 心最大风力为 12级，每远离台风中心 20千米，风力就会减弱一级，该台风中心现正以 15 千 米/ 时的速度沿北偏东 30o 方向往 C移动，且台风中心风力不变，若城市所受风力达到或走过 四级，则称为受台风影响 .（ 1）该城市是否会受到这交台风的影响？请说明理由 .（2）若会受到台风影响，那么台风影响该城市持续时间有多少？（3）该城市受到台风影响的最大风力为几级？专题五 梯子问题1、如果梯子的底端离建筑物 9 米，那么 15 米长的梯子可以到达建筑物的高度

11、是多少米？3、如图，有一个圆柱体，底面周长为 20 ，高 AB为 10 ，在圆柱的下 面 A 点处有一只蚂蚁， 它想绕圆柱体侧面一周爬行到它的顶端 C 点处，那 它所行走的路程是多少？4、如图，假如这是一个圆柱体的玻璃杯， 蚂蚁从外部点 A处爬到杯子的内壁到达高 子的厚度不计）5、如图，一只蚂蚁从一个棱长为 1 米， 顶点 B 爬行，问这只蚂蚁爬行的最短路程为多少米？A6、如图，长方体的长为 15cm，宽为 10cm，高 为 20cm，点 B到点 C的距离为 5cm，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从 A 点爬到 B 点，需要爬行的最短距离是多少7、如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分

12、别为 2m、0.3m、0.2m，A和 B是台阶上两个相对的顶点， A 点有一只蚂蚁，想到 B 点去吃可口的食物，问蚂蚁沿着台阶爬行到 B 点 的最短路程是多少？专题七 折叠三角形1、如图，一块直角三角形的纸片，两直角边 叠，使它落在斜边 AB上，且与 AE重合，求 2、如图，小颍同学折叠一个直角三角形的纸片，使 A 与 B重合 折痕为 DE，若已知 AC=10cm，BC=6cm你, 能求出 CE的长吗？专题八 折叠四边形折叠矩形 ABCD的一边 AD,点 D落在 BC边上的点 F处,已知 AB=8CM,BC=10C求M,（1）CF的 （2）EC的长在矩形纸片 ABCD中， AD=4cm，AB=

13、10cm，按图所示方式折叠 点 B 与点 D 重合，折痕为EF，求（ 1）DE的长；（ 2）EF的长。3. 矩形纸片 ABCD的边长 AB=4，AD=2将矩形纸片沿 EF折叠点 C 重合，折叠后在其一面着色（如图），则着色部分的面积4、如图 2-3 ，把矩形 ABCD沿直线 BD向上折叠，使点 C落在 C 置上，已知 AB=?3，BC=7，重合部分 EBD的面积为 5、如图 5，将正方形 ABCD折叠，使顶点 A 与 CD边上的点 M 合，折痕交 AD于E，交BC于F，边 AB折叠后与 BC边交于点 G。如果 M CD边的中点，且 DE=6，求正方形 ABCD的面积6、矩形 ABCD中， AB

14、=6，BC=8，先把它对折，折痕为 EF，展开后再沿 BG折叠，使 A落在 EF 上的 A1，EP是等边三角形 ABC内一点，PA=2,PB=2 3 ,PC=4,DG2、如图， ABC为等腰直角三角形， BAC=90， E、F是BC上的点，且 EAF2 2 2试探究 BE2、CF2、EF 2间的关系，并说明理由 .3、如图所示， ABC是等腰直角三角形， AB=AC， D是斜边 BC的中点， 上的点，且 DEDF，若 BE=12， CF=5求线段 EF 的长。4、如图所示，已知在 ABC中， AB=AC， BAC=90 ，D是 BC上任一点，2 2 2 求证： BD2 CD2 2AD 2。6. 如图， ABC中， AB=AC， A=45o，AC的垂直平分线分别交 AB、 BD等于( )A1? B ?C ? D7. 已知一直角三角形的斜边长是 2，周长是 2+ 6 7 ，求这个三角形的面积8.如图Rt ABC， C 90 AC 3,BC 4 ,分别以各边为直径作半圆，求阴影部分面积6.如图， ABC中， AB=AC=2，0 BC=32，D是BC上一点，且 ADAC，求 BD的长7.如图， ABC中， ACB=90， AC=BC，P是 ABC内一点，满足 PA=3， BPC的度数