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1、广东省惠州市学年高一上学期期末数学试题广东省惠州市2020-2021学年高一上学期期末数学试题学校:.姓名:.班级:考号:1.单选题1.已知全集=1,2, 3, 4, 5, 6,7, M=g 5, 7, N = 5, 7,则A. 5.7B.2,4C.1,3, 5, 6, 7)D.1,3, 4, 6)2.函数f（X）二返三的泄义域为A.1,+s2B.12，+CCC.-匸,0 5，+s)D.3y=(|)01A.xyzB.C.y a zD.zx0q0,9| v# 的部分图象如图所示，下列说法错误的是()函数y=/W的图彖关于直线x = _2对称B.函数y = /(x)的图象关于点-币,0对称 C.函

2、数y = f(x)在一辛，-?上单调递减D.该图象对应的函数解析式为/ (x) = 2 sin 2x +彳j .12.下列幕函数中满足条件/(芒3 )；./(更(0 v州 勺)的函数是()A fM = X B /(x) = x2 C /(x) = V7 D f(x) = -3.填空题13.已知角&的顶点在坐标原点，始边与轴非负半轴重合，终边经过点P(-JI1)，则 cos a = .14.已知向量0=(1,1),向=(2,0),则 a + 3b = .4.双空题的图象只有1个交点，则实数加的取值范帀是5.解答题17.（1）己知cos& = , 8w5,2兀），求sin&的值.132 1（2）若

3、5=4=10,求二+ ：的值. a b18.已知函数/（x） = .v + -,且/（1） = 2, /（一2）= X /（1） 求/（X）的解析式；（2） 证明/（X）在区间（0,1）上单调递减.19.在平面直角坐标系x0y 中,点A（-l,-2）, 3（2,3）, C（-2,-l）.设实数满足（AB-tOC）rOC,求/的值；（2）若以线段AB, AC为邻边作平行四边形ABDC,求向量刁万与岳所夹角的余弦值.20.已知函数 /(x) = sin(2x + ).bI-1 十八十八十十八十八卄卄八卄一十I I I I I I I a I I I I II I I 1 I I I a I I I

4、 I I（1） 请用“五点法“画出/（X）在一个周期上的图象；（2） 求V）在区间2龙,乎上单调性.21.在充分竞争的市场环境中，产品的定价至关重要，它将影响产品的销虽:，进而影响 生产成本、品牌形彖等某公司根据多年的市场经验，总结得到了其生产的产品月在一 个销售季度的销量y（单位：万件）与售价兀（单位：元）之间满足函数关系14- ,6x16y = 2 ,月的单件成本C（单位：元）与销量y之间满足函数关系22 - x J 6 x 0)有“飘移点”，求a的取值范围.参考答案1.B【分析】根据并集与补集的定义，写出运算结果.【详解】M=1,3, 5, 7), N = 5,6, 7),则MoN =

5、1,3, 5, 6, 7,又全集U =1,2, 3, 4, 5, 6, 7), 则：(MuN) = 2,4.故选B.【点睹】本题考查了集合的立义与运算问题，是基础题.2.D【解析】【分析】直接由根式内部的代数式大于等于0,分式的分母不等于0,联立不等式组求解即可.【详解】2x+10 1解：由 c ，解得一且XH0.兀工0 2函数/(x)= J2X+1 的电义域为_1, 0)2(0, +8).x 2故选：D.【点睛】本题考查函数的龙义域及其求法，考査不等式的解法，是基础题.3.A【分析】结合指数函数与对数函数的性质，即可判断出结果.【详解】因为 x = log5 - r 即xvyvz,故选 A.

6、【点睛】本题主要考查比较函数值大小的问题，可结合指数函数与对数函数的单调性确左，属于基础题型.4.D【分析】把系数2提取出来，即y = sin（2x-） = sin2（x-）即可得结论.10【详解】y = sin（2x-|）= sin2（x-器）,因此要把y = sin 2x图象向右平移器个单位.故选D.【点睛】 本题考査三角函数的图象平移变换.要注意平移变换是尤加减平移单位，即=sin向右平移0个单位得图象的解析式为V = sin 0）而不是，=sin（Qr 0）.5.D【分析】选项勺为偶函数，但在区间（0,+8）上单调递减；选项氏卩=空为奇函数：选项C, y=cosx 为偶函数，但在区间（

7、0, +oo）上没有单调性：选项。满足题意.【详解】1选项儿y=2npq为偶函数，但在区间（0, +8）上单调递减，故错误；选项吕为奇函数，故错误：选项G y=cos.v为偶函数，但在区间（0, +8）上没有单调性，故错误；选项2 y=2 ”为偶函数，当王0时，解析式可化为y=2显然满足在区间（0, +oo）上 单调递增，故正确.故选D【点睛】本题考査函数的奇偶性和单调性，属于基础题.6.A【分析】先根据奇偶性左义判左函数对称性，舍去B, C；再根据函数值在(0,1)上的正负舍去D,即 得选项.【详解】f(-x) = sin(-A-)In|-.r| = -sinxlny = -/(x),所以函

8、数/(x)为奇函数，函数的图象关 于原点对称，故排除B, C；函数的最小正零点为1,当0vxv 1时，/(x)为负值，故排 除D.故选：A.【点睛】本题考查函数奇偶性以及函数图像，考查基本分析判断能力，属基础题.7.C【分析】直接把卩的值代入所给的函数验证即可【详解】解：由表可知：卩随着/的增大而增大，所以B不适合；对于 A, log21.992Jog230.3,log24 = 2 ,所以 A 不接近:对于C,1,9921 一 37 军一1 “ 5.12-1 a 1.5, = 4, = 7.5, 2 2 2 2心1256.122-12182,C接近:对于 D, 2x1.99-2 = 1.9&2

9、x3-2 = 4.2x4-2 = 6,2x5l 2 = 822x62-2 = 1024, D不接近.故选：C.【点睛】此题考査函数的应用，由所给数据选择函数关系式，属于基础题8.D【详解】设 BC=DE=m, V ZA=30t 且 B, C, D 三点共线，贝iCD=AB=JJ 加，AC=EC=2m, ZACB=ZCED=60, ZACE=9CT,.CD = y/3BC. CA CE = 0, AB UDE .故 A B、C 成立；ij CA CB = 2m in cos 60 = in1 CE CD = 2m - cos 30 = 3m2 即CA CB = CE CD不成立，故选D.9.C【

10、解析】【分析】由条件利用正切函数的增区间，求得函数的单调区间.【详解】对于函数 f (x) =tan (x+) 令 & n 4 2 4 2求得- +-9可得函数的单调增区间为(Jen 9 An +-), k凯4 4 4 4故选C.【点睛】本题主要考查正切函数的增区间，属于基础题.10D【分析】根据条件列指数函数，再解指数不等式得结果.【详解】设快递行业产生的包装垃圾为y万吨，表示从2021年开始增加的年份数，由题意可得3 3 3y = 400 X (1 + 50%)n = 400 x (-) , 400x(-),r 400010,2 2 2两边取对数可得 n(lg3-lg2) 1, A (0.

11、4771 -0.3010) 1,得 0.176w l,解得“5.682,.从2015+6=2021年开始，快递行业产生的包装垃圾超过4000万吨.故选：D.【点睛】本题考查指数函数解析式以及解指数不等式，考査基本分析求解能力，属中档题.11.ABC【分析】先根据图象求振幅、周期，解得A, 再根据最值点求0,最后根据三角函数性质判断选择.【详解】1 2龙 龙 龙由函数的图象可得A=2,由-ii =y,血0,得e = 2. 再由最值得2x-+（p = 2k+-, keZ,又（p,得0 =彳,12 2 2 3得函数/（兀） = 2sin（2x + f故选项D正确.当x = -时，/（x） = ot不

12、是最值，故人不成立；6当x = 时，/（x） = -2,不等于零，故B不成立；1厶-+2k 2x + - +2k 得巴+k 兀 5x5 巴+k 兀,keZ,故 C 不成立；2 3 2 12 12故选:ABC.【点睛】本题考査根据图象求三角函数解析式以及三角函数性质，考查综合分析判断能力，属中档题.12.BD【分析】先明确题目中条件对应函数的性质，再根据性质进行判断选择.【详解】由题意可知，当X0时，满足条件/（土产） ；/也（0x, 吃）的函数f（X）的2 2图象是凹形曲线.对于A,函数f（x） = x的图彖是一条直线故当吃 州 0时，/（乂）= W2 :2 2对于B,函数f（x） = x2的

13、图象是凹形曲线，故当x2 x, 0时，/（芒卫） /也:对于c,函数fM = x/7的图象是凸形曲线，故当勺召0时，/（州+吃） “勺）+ /（勺）对于D,在第一象限，函数/（A-） = 1的图象是一条凹形曲线，故当吃州 0时， f（X|+）V /3）+ /（勺） 2 2 ， 故选：BD.【点睛】本题考査函数图象与性质，考査综合分析判断能力，属中档题.13.逼2【分析】根据三角函数左义直接求结果.【详解】由三角函数的左义可得COSG =故答案为:-f-【点睛】 本题考査根据三角函数左义求三角函数值，考査基本分析求解能力，属基础题.14.52【解析】【分析】根据向量坐标运算以及模的立义得结果.【

14、详解】由题得方+ 3厶二(7,1),所以0 + 3科=厲+12 =原=5近,故答案为：5/2【点睹】本题考查向量的模，考查基本分析求解能力，属基础题.115.5【解析】cos(-a) = - 7 51-cosa =-1sin a + = cos a =2) 516.3 0U2严)【分析】 根据自变量范用代入对应解析式，求得/(8)；作出函数于(x)图象，再结合图象确左参数取 值范围.【详解】/(8) = log28 = 3t若直线y = tn与函数f(x)的图彖只有1个交点，则 m 2 或z = 0,故答案为：3, 0U2,s)【点睛】本题考査求分段函数值以及根据函数零点个数求参数，考查综合分

15、析求解能力，属中档题.17.(1) (2) 213【分析】(1)根据同角三角函数平方关系求解：(2)先将指数式化为对数式，再根据对数性质进行运算求解.【详解】(1)由(龙,2龙),得sin&vO根据同角三角函数的基本关系式sin? & + COS? 0 = 1得sin 0 = /l-cos2 0 =-盲(2)根拯题设得 = logs10, /7 = log410,所以丄= Ig5, ； = lg4a b2 1所以一+ = 21g5 + lg4a b=lg52 +lg4=lglOO = 2【点睛】本题考査同角三角函数关系、指对数式化简以及利用对数性质求解，考查综合分析求解能力, 属中档题.18.

16、(1) f(x) = x + - (xhO) (2)证明见解析【分析】(1)根据条件列方程组，解得“=1,方=1,即得结果：(2)根据单调性立义，作差变形，根据差的符号确左单调性.【详解】f a+b=2(1)由已知有4 b 5-2a=2 2解得 “ =1, b = :.f(x) = x+- (xhO).X(2)证明：设任意xpx2e(0,l),且a-,x2则 fMf(X2)= xi-x2+ X x2又xpx2 e(O,l),且A- x2 所以x-x20, xxx2 1, xrv2-l0,即 f(Xl)f(X2)XlX2所以/(X)在(0,1)上单调递减.【点睛】本题考査函数解析式以及函数单调性

17、左义，考査综合分析论证与求解能力，属中档题.19.(1)r = -；(2)仝.55【分析】(1)利用向量的坐标运算得AB-tOC = (3 + 2t,5 + t)9根据条件得(3 + 2/,5 + /)(一2,1) = 0,即可得解：(2)由 AD = AB + AC 和= 求得向Mad和西的坐标表示，进而利用坐标运算得向量模长和数量积，由cos =ADCB 阿冋即可得解.【详解】由题设知oC = (-2,-l), AB = (3,5),AB-rOC =(3+2/,5 + r),由(AB-tOC)丄况得(AB-tOCOC = 0 即(3 + 2/,5+/)(一2,1) = 0,所以/ = 由题

18、设知疋=(1,1), 则AD = AB + AC = (Z6), CB = AB-AC = (4,4) 故阿=2皿 |c5| = 4/2 ,设向量AD与CB所夹角为&，c 而刀 32故所求余弦值辭=阿同=2g価=20. (1)见解析(2) 2不 J 上单调递增,6字，耳上单调递减o 2【分析】(1)先列表，再描点，最后连线得图象:(2)先根据正弦函数性质求单调区间，再确立区间2上对应的单调区间.【详解】(1)列表如下:2x + -60n2n3龙T2兀Y71n5”2龙I n人12612312/W010-10g在一存辛 上的图象如图所示:丄 1 .一丄.I L -丄-J 1 11 11 1111A

19、0X571：2!11龙1 11 11 17 T 1 11 1T -1y* rr l L:3 :12 *1 11 11 1丄 X_ 丄- i i 1 兀/1 11 1A T 2 ：ii166八h iI i.1 1T*T-1 1 書111 t1111 111 q r1 11 11 1J x _ 1 _L_L L._l 11 1 J 1 1 _-J 一i ii ii i 111I II 1111i ii i 1111 11 11 1I . T1 rI r T T(2)由2-2x + -2 + -, (RwZ)2 6 2得 k7r-xk7r + ( k gZ )3 6k- ,k + fl 2,-1=L

20、 3 6L 2L 6所以/（兀）在区间2上单调递增同理，f（x）在区间 子 上单调递减【点睛】本题考査五点作图法以及正弦函数单调性，考査综合分析判断能力，属中档题.21.（1） 6a526 x 516 x 21解得，6x1616x17.即6x17 答：当产品A的售价xg6J7时，英销量y不低于5万件.（2）由题意，总利润L = rL-I yx(28-x) -30,6x16=xy-30 = 2 x(22-x)-30J6 x 211当6x16时，L = -i(x-14)2+6868,当且仅当x = 14时等号成立.22当 16x2W,乙单调递减，L = x(22-x)-30 16x6-30 = 6

21、6所以，x = 14时，利润厶最大.答：当产品A的售价为14元时，总利润最大.【点睹】该题考査的是有关函数的应用问题，涉及到的知识点有根据题意列岀函数解析式，根据函数 解析式求函数的最值，注意认真分析题意，最后求得结果.22.（ I ）函数/仗）=疋有“飘移点”，函数f（x）=没有“飘移点”。证明过程详见解析 （II ） 0 a 0 = 2 - 2a,可求 %0 =今一1,解得a范围.a-2【详解】（J ）函数/（X）= ”有“飘移点”，函数/（X）=扌没有“飘移点”，证明如下:设(x) = X2在定义域内有“飘移点”牝,所以：f(xo + 1) = /(%0)+ 7(1) 即:(尤0 + 1

22、)2 = Oo)2 + 1?,解得：x0 = 0,所以函数/(X)=x2在左义域内有“飘移点”是0： 设函数张)=堵“飘移点%0则占=丁+1，X 叫)T丄 *0即xS + x0 + l = 0由此方程无实根，与题设矛盾，所以函数= 没有飘移点(II)函数心=山(角) 0)的定义域是xk -1,因为函数Z(x)=山(角) 0)有“飘移点”，所以：/(x0 + l)= Ao)+ /(!) 即：山(磊)=】n(缶)+ In扌，化简可得：忌捋(缶)，可得：忌二盘因为Q 0,所以：胡1=詁1?所以：(-20 = 2-2,因为当a = 2时，方程无解，所以a丰2,所以廿需，因为函数ZU)=山(角)9 0)的泄义域是x|x -1,所以：今一1,即：三 0,所以a-2 0,即：0 a 0)有“飘移点”【点睛】本题考査了函数的方程与函数间的关系，即利用函数思想解决方程根的问题，利用方程思想 解决函数的零点问题，由山(急 =In(為)+ 1巧转化为关于牝方程彩三=務丁在 (1,+co)有解是本题关键.