微积分Ⅰ第2版.docx

1、微积分第2版本章从排列、对换等概念入手，引入n阶行列式的定义，介绍n阶行列式的性质、计算方法以及利用n阶行列式求解n元线性方程组的克拉默（Cramer）法则. 1.1排列1.1.1排列的定义在中学的时候，我们曾学过乘法原理.所谓乘法原理就是： 如果一个过程可以分成两个阶段进行，第一阶段有m种不同的做法，第二阶段有n种不同的做法，且第一阶段的任何一种做法都可以与第二阶段的任何一种做法搭配成整个过程的一种做法，那么整个过程有mn种做法. 例1.1用数字1，2，3，4可以组成多少个没有重复数字的三位数?解这个问题相当于： 把四个数字分别放在百位、十位、个位上，有几种不同的放法?我们可以将每种放法分为

2、三个阶段进行.第一阶段，百位可以从四个数字中任选一个，有4种放法； 第二阶段，十位可以从余下的三个数字中任选一个，有3种放法； 第三阶段，个位可以从余下的两个数字中任选一个，有2种放法. 根据乘法原理，共有432=24种放法，即有24个没有重复数字的三位数. 这里的数字1，2，3，4是我们考察的对象. 数学中把考察的对象称为元素. 例1.1即为： 从4个不同的元素中任取3个排成一列，共有几种不同的排法?将例1.1推广到n个不同元素的情形，可得下面定义.定义1.1从n个不同的元素中，任取r(0rn)个按照一定的顺序排成一列，这样的一列元素叫做从n个不同元素中取r个组成的一种排列. 通常将所有不同

3、排列的种数记为Prn. 例1.2从数字1，2，n中任取r个排成一列，共有多少种不同的排法?解这个问题相当于： 从n个不同的元素中任取r个，放在r个不同的位置，共有多少种不同的放法?显然，第一个位置可以从n个元素中任选一个放在该位置上，有n种放法； 第r个位置可以从余下的n-r+1个元素中任选一个放在该位置上，有n-r+1种放法.根据乘法原理，共有n(n-1)(n-r+1)种放法. 由此，我们可以得出计算Prn的方法，即Prn=n(n-1)(n-r+1)，0rn.如果将例1.2中的r取为n，可以得到一种特殊的排列，即全排列. 定义1.2把n个不同的元素排成一列，叫做这n个元素的一个全排列（简称排

4、列或n元排列）. 排列种数记为Pn. 由例1.2可得Pn=n(n-1)321=n!.在以后的实际应用中，通常只考虑由元素1，2，n组成的全排列. 1.1.2逆序数定义1.3对于元素1，2，n，我们规定各元素之间有一个标准次序（称为标准排列或自然排列，通常规定为由小到大的次序）. 在这n个元素所构成的一个排列p1pipjpn中，当ij时，pipj，就称pi与pj构成一个顺序，反之，就称pi与pj构成一个逆序. pi前比pi大的元素的个数称为pi的逆序数. 排列p1p2pn中各个元素的逆序数的总和称为该排列的逆序数，记为t(p1p2pn). 显然t(p1p2pn)=p1的逆序数+p2的逆序数+pn

5、的逆序数. 例1.3求t(n(n-1)1). 解在排列n(n-1)1中，n-1的逆序数为1，n-2的逆序数为2，1的逆序数为n-1，于是t(n(n-1)1)=1+(n-1)=n(n-1)2. 例1.4求t(53214). 解在排列53214中，3的逆序数为，2的逆序数为2，1的逆序数为3，4的逆序数为1，于是t(53214)=1+2+3+1=7. 逆序数为奇数的排列称为奇排列，逆序数为偶数的排列称为偶排列. 1.2对换我们来看两个三元排列： 312，213. 显然排列213可以看成是将排列312中的元素3，2互换得到的，我们把这种互换称为一个对换. 定义1.4把一个排列中的某两个元素互换，而其

6、余的元素保持不变得到另一个排列的过程称为一个对换. 相邻两个元素对换，叫做相邻对换. 定理1.1对换改变排列的奇偶性. 证先证相邻对换的情形. 设排列为p1pnpqq1qm，对换p，q后变为p1pnqpq1qm. 显然，对换后p1，pn，q1，qm这些元素的逆序数不变，而p,q两元素的逆序数变为下面两种情形： 当pq时，对换后p的逆序数不变，q的逆序数减少1，所以原排列与p1pnqpq1qm的奇偶性相反. 再证一般对换的情形. 设排列为p1pnpq1qmqr1rk，将q与qm，q1依次作m次相邻对换，变为p1pnpqq1qmr1rk； 再将p与q，q1，qm依次作m+1次相邻对换变为p1pnq

7、q1qmpr1rk. 总之，原排列经过2m+1次相邻对换后变为p1pnqq1qmpr1rk，所以这两个排列的奇偶性相反. 推论1.1任意一个n元排列都可以经过一系列对换变成标准排列，且所作对换的次数与这个排列有相同的奇偶性. 证由定理1.1知，排列奇偶性的变化数即为对换的次数，而标准排列为偶排列，故推论成立. 推论1.2在全部n！个n元排列中，奇、偶排列的个数相等，各为n!2个. 证假设在n!个n元排列中，有s个奇排列和t个偶排列，则s+t=n!. 将s个奇排列的前两个元素都对换，即将p1p2p3pn变为p2p1p3pn，就得s个偶排列，显然st，同理可得ts，所以s=t=n!2. 1.3行列

8、式1.3.1行列式的定义对于二元一次方程组a11x1+a12x2=b1，a21x1+a22x2=b2，(1.1)当a11a22-a12a210时，用消元法可求出方程组（1.1）的解为x1=b1a22-a12b2a11a22-a12a21，x2=a11b2-b1a21a11a22-a12a21.(1.2)在（1.2）式中，分母a11a22-a12a21是方程组（1.1）的4个系数所确定的，把这4个数按其在方程组（1.1）中的位置排成2行2列（横排称为行、竖排称为列）的数表a11a12a21a22(1.3)表达式a11a22-a12a21称为数表（1.3）所确定的二阶行列式，记为a11a12a21

9、a22，即a11a12a21a22=a11a22-a12a21，(1.4)这里，数aij(i，j=1，2)称为行列式（1.4）的元素，第一个下标i称为行标，表明该元素位于第i行； 第二个下标j称为列标，表明该元素位于第j列. 等式的右端称为二阶行列式的展开式. 二阶行列式可以按图1.1所示的对角线法则展开. 把a11和a22用实线（称为主对角线）连接，a12和a21用虚线（称为副对角线）连接，二阶行列式就是主对角线上的两个元素之积与副对角线上的两个元素之积的差. 图1.1利用二阶行列式，方程组（1.1）的解可以表示为x1=D1D=b1a12b2a22a11a12a21a22，x2=D2D=a1

10、1b1a21b2a11a12a21a22. 这里分母D是由方程组的系数所确定的二阶行列式（称为系数行列式），D1是用常数项b1，b2替换D中x1的系数a11，a21后所得的二阶行列式，D2是用常数项b1，b2替换D中x2的系数a12，a22后所得的二阶行列式. 例1.5求解二元一次方程组2x1+x2=1，x1+2x2=0.解x1=D1D=11022112=12-1022-11=23，x2=D2D=21102112=20-1122-11=-13.定义1.5将9个数aij(i，j1，2，3)排成3行3列的数表a11a12a13a21a22a23a31a32a33(1.5)表达式a11a22a33+

11、a12a23a31+a13a21a32-a11a23a32-a12a21a33-a13a22a31称为数表（1.5）所确定的三阶行列式，记为a11a12a13a21a22a23a31a32a33，即a11a12a13a21a22a23a31a32a33=a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32-a11a23a32-a12a21a33-a13a22a31，等式的右端称为三阶行列式的展开式. 三阶行列式可以按图1.2所示的对角线法则展开. 图1.2例1.6计算三阶行列式D=111201321.解直接用定义计算可得D=101+113+122-112-121-103=3. 分析二阶行

12、列式和三阶行列式，可以看出其展开式具有以下规律（n为行列式的阶数）： （1） 行列式共有n!项，带正、负号的项各占一半； （2） 行标排列为自然排列； （3） 每项均为n个元素的乘积，且这n个元素分别取自于不同的行和不同的列； （4） 每项前的符号取决于列标排列的奇偶性. 于是，二阶行列式可以表示为D=p1p2(-1)t(p1p2)a1p1a2p2，这里的p1p2表示对数1，2的所有排列p1p2求和. 三阶行列式可以表示为D=p1p2p3(-1)t(p1p2p3)a1p1a2p2a3p3，这里的p1p2p3表示对数1，2，3的所有排列p1p2p3求和. 依此类推，我们可以定义n阶行列式. 定义

13、1.6将n2个数排成n行n列的数表a11a12a1na21a22a2n an1an2ann(1.6)表达式p1p2pn(-1)t(p1p2pn)a1p1a2p2anpn称为数表（1.6）所确定的n阶行列式，记为a11a12a1na21a22a2n an1an2ann，即D=a11a12a1na21a22a2n an1an2ann=p1p2pn（-1）t(p1p2pn)a1p1a2p2anpn.这里p1p2pn表示对数1，2，n的所有排列p1p2pn求和，数aij(i，j=1，2，n)称为行列式D中第i行、第j列的元素. n阶行列式也可简记为det(aij). 行列式左上角到右下角的连线称为主对

14、角线，右上角到左下角的连线称为副对角线. 当n=1时，|a|=a. 例1.7判断以下各项是否是四阶行列式D4=det(aij)展开式中的一项，如是，它们前面的符号如何?（1） a11a23a34； （2） a11a23a22a34； （3） a12a43a31a24. 解（1）、（2）不是； （3）是.因为a12a43a31a24=a12a24a31a43，故（3）的行标排列为标准排列，列标排列为2413，t(2413)=3，所以该项带负号. 例1.8计算上三角行列式（当ij时，aij=0(i，j=1，2，n)，即主对角线以下的元素全为0）D=a11a12a1n0a22a2n 00ann. 解

15、D=p1p2pn(-1)t(p1p2pn)a1p1a2p2anpn.在a1p1a2p2anpn中，pn只有取n时，anpn才可能不为0. 此时，pn-1只有取n-1时，an-1，pn-1才可能不为0，依此类推，p1只有取1时，a1p1才可能不为0，D的展开式中只有一项a11a22ann可能不为0，而这项的列标排列为标准排列，所以D=a11a12a1n0a22a2n 00ann=a11a22ann. 同理可得下三角行列式(当ij时，aij=0(i，j=1，2，n)，即主对角线以上的元素全为0)D=a1100a21a220 an1an2ann=a11a22ann. 特别地，对角行列式（当ij时，a

16、ij=0(i，j=1，2，n)，即主对角线以外的元素全为0，以后常把0元素略去不写）D=a11a22 ann=a11a22ann. 例1.9证明D=a1a2 an(-1)n(n-1)2a1a2an. 证D=a1a2 an记a1=b1n，a2=b2，n-1，an=bn1b1nb2，n-1 bn1=(-1)t(n(n-1)1)b1nb2，n-1bn1=(-1)n(n-1)2a1a2an.例1.10计算D=a11a12a13a14a15a21a22a23a24a25a31a32000a41a42000a51a52000. 解D=p1p2p5(-1)t(p1p2p5)a1p1a2p2a5p5. 在a1

17、p1a2p2a5p5中，p5只有取1或2时，a5p5才可能不为0，此时，p4只有取2或1时，a4p4才可能不为0，由于展开式中的项为取自不同行、列的元素的乘积，所以p3只能在3，4，5中选择，即a3p3必为0，所以D=0. 1.3.2行列式的等价定义对于n阶行列式D=p1p2pn(-1)t(p1p2pn)a1p1a2p2anpn，由于a1p1a2p2anpn是n个数的乘积，满足交换律，故可以将a1p1a2p2anpn中的元素进行交换. 当a1p1a2p2anpn经过m次交换化为ai1j1ai2j2ainjn时，a1p1a2p2anpn的行标排列12n变为i1i2in，行标排列的奇偶性变换m次；

18、 列标排列p1p2pn变为j1j2jn，列标排列的奇偶性也变换m次. 于是(-1)t(p1p2pn)a1p1a2p2anpn=(-1)t(12n)+t(p1p2pn)a1p1a2p2anpn=(-1)t(i1i2in)+m+t(j1j2jn)+mai1j1ai2j2ainjn=(-1)t(i1i2in)+t(j1j2jn)ai1j1ai2j2ainjn.又a1p1a2p2anpn与ai1j1ai2j2ainjn是相互惟一确定的，故D=p1p2pn(-1)t(p1p2pn)a1p1a2p2anpn=i1i2in(或j1j2jn)(-1)t(i1i2in)+t(j1j2jn)ai1j1ai2j2a

19、injn由此可得n阶行列式的等价定义.定义1.6D=i1i2in（或j1j2jn）(-1)t(i1i2in)+t(j1j2jn)ai1j1ai2j2ainjn. 特别地，当列标排列为标准排列时，可得下面结论.定义1.6D=q1q2qn(-1)t(q1q2qn)aq11aq22aqnn. 1.4行列式的性质n阶行列式的展开式中共有n!项，当n较大时，用定义计算行列式是很困难的，此时通常利用行列式的性质来计算. 记D=a11a1n an1ann，DT=a11an1 a1nann，DT称为D的转置行列式. 性质1.1行列式与其转置行列式相等. 证记DT=b11b1n bn1bnn，这里bij=aji

20、（i，j=1，2，n），由行列式的定义知DT=p1p2pn(-1)t(p1p2pn)b1p1b2p2bnpn=p1p2pn(-1)t(p1p2pn)ap11ap22apnn，而由行列式的等价定义1.6可知D=p1p2pn(-1)t(p1p2pn)ap11ap22apnn，故DT=D. 性质1.1表明，行列式对行成立的性质对列也成立，反之亦然. 性质1.2行列式的两行（列）互换，其值反号. 证设D交换第i，j行后得到D1=b11b1n bn1bnn，这里，当ki，j时，bkp=akp； 当k=i，j时，bip=ajp，bjp=aip. 于是D1=(-1)t(p1pipjpn)b1p1bipibj

21、pjbnpn=(-1)t(p1pipjpn)a1p1ajpiaipjanpnaipj与ajpi交换(-1)t(p1pipjpn)a1p1aipjajpianpn=(-1)1+t(p1pjpipn)a1p1aipjajpianpn=-(-1)t(p1pjpipn)a1p1aipjajpianpn=-D，故D1=-D. 性质1.3行列式的某一行（列）中所有元素都乘以同一数k，等于用数k乘此行列式.即a11a1n kai1kain an1ann=ka11a1n ai1ain an1ann. 推论1.3行列式的某两行（列）对应元素成比例，其值为零. 性质1.4行列式的某一行（列）中所有元素都是两个数之和，则该行列式等于相应的两个行列式之和.例如 D=a11a1n ai1+bi1ain+bin an1ann=a11a1n ai1ain an1ann+a11a1n bi1bin an1ann. 性质1.3、性质1.4都很容易用行列式的定义证明. 推论1.4行列式某一行（列）的各元素乘以同一数后加到另一行（列）的对应元素上，其值不变.即 a11a1n ai1ain aj1ajn an1ann=a11a1n ai1+kaj1ain+kajn aj1ajn an1ann.